備考2022數(shù)學(xué)專題27 涉及圓的證明與計算問題（解析版）

1、專題27 涉及圓的證明與計算問題圓的證明與計算是中考必考點，也是中考的難點之一?？v觀全國各地中考數(shù)學(xué)試卷，能夠看出，圓的證明與計算這個專題內(nèi)容有三種題型：選擇題、填空題和解答題。一、與圓有關(guān)的概念1圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。定點稱為圓心，定長稱為半徑。圓的半徑或直徑?jīng)Q定圓的大小，圓心決定圓的位置。 2圓心角：頂點在圓心上的角叫做圓心角。圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)。3.圓周角：頂點在圓周上，并且兩邊分別與圓相交的角叫做圓周角。4. 外接圓和外心：經(jīng)過三角形的三個頂點可以做一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心，叫做三角形的外心。外心是三角形三條邊垂直平分

2、線的交點。外心到三角形三個頂點的距離相等。5若四邊形的四個頂點都在同一個圓上，這個四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形，這個圓叫做這個四邊形的外接圓。6.和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內(nèi)切圓，其圓心稱為內(nèi)心。內(nèi)心是三角形三個角的角平分線的交點。內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。二、與圓有關(guān)的規(guī)律1.圓的性質(zhì)：（1）圓具有旋轉(zhuǎn)不變性；（2）圓具有軸對稱性；（3）圓具有中心對稱性。2.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。3推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧4在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。 在同圓或等圓中，如果兩條弧相

3、等，那么他們所對的圓心角相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對的圓心角相等，所對的弧相等，所對的弦心距也相等。 5.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半6半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑7圓內(nèi)接四邊形的特征 圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；圓內(nèi)接四邊形任意一個外角等于它的內(nèi)對角。三、點和圓、線和圓、圓和圓的位置關(guān)系1. 點和圓的位置關(guān)系 點在圓內(nèi)點到圓心的距離小于半徑 點在圓上點到圓心的距離等于半徑 點在圓外點到圓心的距離大于半徑2.直線與圓有3種位置關(guān)系如果o的半徑為r，圓心o

4、到直線的距離為d，那么 直線和o相交； 直線和o相切； 直線和o相離。3圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓的半徑為，圓的半徑為，兩個圓的圓心距，則：兩圓外離 ；兩圓外切 ；兩圓相交 ；兩圓內(nèi)切 ；兩圓內(nèi)含 四、切線的規(guī)律1.切線的性質(zhì)（1）經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2）經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。（3）圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。2.切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。3.切線長定理： 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，并且圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。 四、求解圓的周長和面積的公式設(shè)圓的周長為r，則：1. 求圓的直徑公式d=2r2.求

5、圓的周長公式 c=2r 3.求圓的面積公式s=r2五、解題要領(lǐng)1.判定切線的方法（1）若切點明確，則“連半徑，證垂直”。常見手法有全等轉(zhuǎn)化；平行轉(zhuǎn)化；直徑轉(zhuǎn)化；中線轉(zhuǎn)化等；有時可通過計算結(jié)合相似、勾股定理證垂直；（2）若切點不明確，則“作垂直，證半徑”。常見手法有角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱藏角平分線；總而言之，要完成兩個層次的證明：直線所垂直的是圓的半徑（過圓上一點）；直線與半徑的關(guān)系是互相垂直。在證明中的關(guān)鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化,要善于進(jìn)行由此及彼的聯(lián)想、要總結(jié)常添加的輔助線.2.與圓有關(guān)的計算計算圓中的線段長或線段比，通常與勾股定理、垂徑定理與三角形的全等、相似等知

6、識的結(jié)合，形式復(fù)雜，無規(guī)律性。分析時要重點注意觀察已知線段間的關(guān)系，選擇定理進(jìn)行線段或者角度的轉(zhuǎn)化。特別是要借助圓的相關(guān)定理進(jìn)行弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化，找出所求線段與已知線段的關(guān)系，從而化未知為已知，解決問題。其中重要而常見的數(shù)學(xué)思想方法有：（1）構(gòu)造思想：構(gòu)建矩形轉(zhuǎn)化線段；構(gòu)建“射影定理”基本圖研究線段（已知任意兩條線段可求其它所有線段長）；構(gòu)造垂徑定理模型：弦長一半、弦心距、半徑；構(gòu)造勾股定理模型；構(gòu)造三角函數(shù).（2）方程思想：設(shè)出未知數(shù)表示關(guān)鍵線段，通過線段之間的關(guān)系，特別是發(fā)現(xiàn)其中的相等關(guān)系建立方程，解決問題。（3）建模思想：借助基本圖形的結(jié)論發(fā)現(xiàn)問題中的線段關(guān)系，把問題分解為若干基

7、本圖形的問題，通過基本圖形的解題模型快速發(fā)現(xiàn)圖形中的基本結(jié)論，進(jìn)而找出隱藏的線段之間的數(shù)量關(guān)系。3.攻克典型基本模型圖是解決圓的所有難題的寶劍類型1圖形：（1）如圖1,ab是o的直徑，點e、c是o上的兩點.基本結(jié)論有：在“ac平分bae”；“adcd”；“dc是o的切線”三個論斷中，知二推一。（2） 如圖2、3，de等于弓形bce的高；dc=ae的弦心距of（或弓形bce的半弦ef）。（3）如圖（4）：若ckab于k，則：ck=cd；bk=de；ck=be=dc；ae+ab=2bk=2ad;adcacbac2=adab（4）在(1)中的條件、中任選兩個條件，當(dāng)bgcd于e時（如圖5），則：de

8、=gb；dc=cg；ad+bg=ab；adbg=dc2 類型2圖形：如圖：rtabc中，acb=90°。點o是ac上一點，以oc為半徑作o交ac于點e，基本結(jié)論有：（1）在“bo平分cba”;“bode”;“ab是o的切線”;“bd=bc”。四個論斷中，知一推三。（2）g是bcd的內(nèi)心； ；bcocdebode=coce=ce2；（3）在圖（1）中的線段bc、ce、ae、ad中，知二求四。（4）如圖（3），若bc=ce，則：=tanade；bc：ac：ab=3：4：5 ；（在、中知一推二）設(shè)be、cd交于點h，,則bh=2eh類型3圖形：如圖：rtabc中，abc=90°,

9、以ab為直徑作o交ac于d，基本結(jié)論有：如圖：（1）de切oe是bc的中點；（2）若de切o，則：de=be=ce； d、o、b、e四點共圓ced=2acd·ca=4be2, 圖形特殊化：在（1）的條件下如圖：deababc、cde是等腰直角三角形；如圖：若de的延長線交ab的延長線于點f，若ab=bf，則：;類型4圖形：如圖，abc中，ab=ac，以ab為直徑作o，交bc于點d，交ac于點f， 基本結(jié)論有：（1）deacde切o；（2）在deac或de切o下，有：dfc是等腰三角形；ef=ec；d是 的中點。與基本圖形1的結(jié)論重合。連ad，產(chǎn)生母子三角形。類型5圖形：以直角梯形ab

10、cd的直腰為直徑的圓切斜腰于， 基本結(jié)論有：（1）如圖1：ad+bccd； cod=aeb=90°； od平分adc（或oc平分bcd）；（注：在、及“cd是o的切線”四個論斷中，知一推三）ad·bc2=r2；（2）如圖2，連ae、co，則有：coae，coae=2r2(與基本圖形2重合)（3）如圖3，若efab于f，交ac于g，則：eg=fg.類型6圖形：如圖：直線pro的半徑ob于e，pq切o于q，bq交直線pq于r。基本結(jié)論有：（1）pq=pr (pqr是等腰三角形)；（2）在“prob”、“pq切o”、“pq=pr”中，知二推一（3）2pr·re=br&#

11、183;rq=be·2r=ab2類型7圖形：如圖，abc內(nèi)接于o，i為abc的內(nèi)心。基本結(jié)論有：（1）如圖1，bd=cd=id；di2de·da；aib=90°+acb;（2）如圖2，若bac=60°，則：bd+ce=bc.類型8圖形：已知，ab是o的直徑，c是 中點，cdab于d。bg交cd、ac于e、f?；窘Y(jié)論有：（1）cd=bg；be=ef=ce；gf=2de(反之，由cd=bg或be=ef可得：c是 中點)（2）oe=af，oeac；odeagf（3）be·bg=bd·ba（4）若d是ob的中點，則：cef是等邊三角形； 【

12、例題1】（2020武漢）如圖，在半徑為3的o中，ab是直徑，ac是弦，d是ac的中點，ac與bd交于點e若e是bd的中點，則ac的長是（）a523b33c32d42【答案】d【解析】連接od，交ac于f，根據(jù)垂徑定理得出odac，afcf，進(jìn)而證得dfbc，根據(jù)三角形中位線定理求得of=12bc=12df，從而求得bcdf2，利用勾股定理即可求得ac連接od，交ac于f，d是ac的中點，odac，afcf，dfe90°，oaob，afcf，of=12bc，ab是直徑，acb90°，在efd和ecb中dfe=acb=90°def=becde=be efdecb（aa

13、s），dfbc，of=12df，od3，of1，bc2，在rtabc中，ac2ab2bc2，ac=ab2-bc2=62-22=42，【對點練習(xí)】（2019山東省聊城市）如圖，bc是半圓o的直徑，d，e是上兩點，連接bd，ce并延長交于點a，連接od，oe如果a70°，那么doe的度數(shù)為（）a35°b38°c40°d42°【答案】c【解析】考點是圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)。連接cd，由圓周角定理得出bdc90°，求出acd90°a20°，再由圓周角定理得出doe2acd40°即可，連接cd，如圖所示：bc

14、是半圓o的直徑，bdc90°，adc90°，acd90°a20°，doe2acd40°【例題2】（2020牡丹江）ab是o的弦，omab，垂足為m，連接oa若aom中有一個角是30°，om23，則弦ab的長為 【答案】12或4【解析】分oam30°，aom30°，兩種情況分別利用正切的定義求解即可omab，ambm，若oam30°，則tanoam=omam=23am=33，am6，ab2am12；若aom30°，則tanaom=amom=am23=33，am2，ab2am4【對點練習(xí)】(2019

15、安徽)如圖，abc內(nèi)接于o，cab30°，cba45°，cdab于點d，若o的半徑為2，則cd的長為 【答案】【解析】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵連接co并延長交o于e，連接be，于是得到ea30°，ebc90°，解直角三角形即可得到結(jié)論連接co并延長交o于e，連接be，則ea30°，ebc90°，o的半徑為2，ce4，bcce2，cdab，cba45°，cdbc【例題3】（2020貴州黔西南）古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為：“一切平面圖形中最美的是圓”請研究如下

16、美麗的圓如圖，線段ab是o的直徑，延長ab至點c，使bcob，點e是線段ob的中點，deab交o于點d，點p是o上一動點（不與點a，b重合），連接cd，pe，pc（1）求證：cd是o的切線；（2）小明在研究的過程中發(fā)現(xiàn)是一個確定的值回答這個確定的值是多少？并對小明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論加以證明【答案】（1）見解析；（2），解析【解析】本題考查了切線的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)（1）連接od，db，由已知可得de垂直平分ob，于是dbdo，而obod，所以dbdoob，即odb是等邊三角形，于是bdo60°，再由等腰三角形的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)可得cdb30°，從而可得odc9

17、0°，所以odcd，所以cd是o的切線；（2）連接op，由已知條件得opobbc2oe，再利用“兩組邊成比例，夾角相等”證明oepopc，最后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到結(jié)論【詳解】解：（1）如答圖，連接od，db，點e是線段ob的中點，deab交o于點d，de垂直平分ob，dbdodoob，dbdoob，odb是等邊三角形，bdodbo60°bcobbd，且dbe為bdc的外角，bcdbdcdbodbo60°，cdb30°odcbdobdc60°30°90°，odcd，cd是o的切線；（2）這個確定的值是證明：如答圖，連

18、接op，opobbc2oe，又coppoe，oepopc，【點撥】本題考查切線的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵【對點練習(xí)】（2019湖北十堰）如圖，abc中，abac，以ac為直徑的o交bc于點d，點e為c延長線上一點，且cdebac（1）求證：de是o的切線；（2）若ab3bd，ce2，求o的半徑【答案】見解析。【解析】本題考查了圓的切線的判定定理、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造直角三角形或等腰三角形（1）如圖，連接od，ad，ac是直徑，adc90°，adbc，abac，cadbadbac，cd

19、ebaccdecad，oaod，cadado，ado+odc90°，odc+cde90°ode90°又od是o的半徑de是o的切線；（2）解：abac，adbc，bdcd，ab3bd，ac3dc，設(shè)dcx，則ac3x，ad2x，cdecad，decaed，cdedae，即de4，x，ac3x14，o的半徑為7一、選擇題1（2020宜昌）如圖，e，f，g為圓上的三點，feg50°，p點可能是圓心的是（）a b c d【答案】c【解析】利用圓周角定理對各選項進(jìn)行判斷feg50°，若p點圓心，fpg2feg100°2（2020營口）如圖，a

20、b為o的直徑，點c，點d是o上的兩點，連接ca，cd，ad若cab40°，則adc的度數(shù)是（）a110°b130°c140°d160°【答案】b【解析】連接bc，如圖，利用圓周角定理得到acb90°，則b50°，然后利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求adc的度數(shù)如圖，連接bc，ab為o的直徑，acb90°，b90°cab90°40°50°，b+adc180°，adc180°50°130°3（2020荊門）如圖，o中，ocab，apc28

21、6;，則boc的度數(shù)為（）a14°b28°c42°d56°【答案】d【解析】根據(jù)垂徑定理，可得ac=bc，apc28°，根據(jù)圓周角定理，可得boc在o中，ocab，ac=bc，apc28°，boc2apc56°4（2020臨沂）如圖，在o中，ab為直徑，aoc80°點d為弦ac的中點，點e為bc上任意一點則ced的大小可能是（）a10°b20°c30°d40°【答案】c【解析】連接od、oe，設(shè)boex，則coe100°x，doe100°x+40°

22、;，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出deo和ceo，即可求出答案連接od、oe，ocoa，oac是等腰三角形，點d為弦的中點，doc40°，boc100°，設(shè)boex，則coe100°x，doe100°x+40°，ocoe，coe100°x，oecoce40°+12x，odoe，doe100°x+40°140°x，oed20°+12x，cedoecoed（40°+12x）（20°+12x）20°，cedabc40°，20°ce

23、d40°5（2020內(nèi)江）如圖所示，點a、b、c、d在o上，aoc120°，點b是ac的中點，則d的度數(shù)是（）a30°b40°c50°d60°【答案】a【解析】連接ob，如圖，利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得到aobcob=12aoc60°，然后根據(jù)圓周角定理得到d的度數(shù)連接ob，如圖，點b是ac的中點，aobcob=12aoc=12×120°60°，d=12aob30°6（2020湖州）如圖，已知四邊形abcd內(nèi)接于o，abc70°，則adc的度數(shù)是（）a70°b110

24、°c130°d140°【答案】b【解析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論四邊形abcd內(nèi)接于o，abc70°，adc180°abc180°70°110°7（2020泰安）如圖，abc是o的內(nèi)接三角形，abbc，bac30°，ad是直徑，ad8，則ac的長為（）a4b43c833d23【答案】b【分析】連接cd，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到acbbac30°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到d180°b60°，求得cad30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論【解析】連接cd

25、，abbc，bac30°，acbbac30°，b180°30°30°120°，d180°b60°，cad30°，ad是直徑，acd90°，ad8，cd=12ad4，ac=ad2-cd2=82-42=43，8（2020嘉興）如圖，正三角形abc的邊長為3，將abc繞它的外心o逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到a'b'c'，則它們重疊部分的面積是（）a23b343c323d3【答案】c【解析】根據(jù)重合部分是正六邊形，連接o和正六邊形的各個頂點，所得的三角形都是全等的等邊三角形，據(jù)

26、此即可求解作ambc于m，如圖：重合部分是正六邊形，連接o和正六邊形的各個頂點，所得的三角形都是全等的等邊三角形abc是等邊三角形，ambc，abbc3，bmcm=12bc=32，bam30°，am=3bm=332，abc的面積=12bc×am=12×3×332=934，重疊部分的面積=69abc的面積=69×934=332；9（2020隨州）設(shè)邊長為a的等邊三角形的高、內(nèi)切圓的半徑、外接圓的半徑分別為h、r、r，則下列結(jié)論不正確的是（）ahr+rbr2rcr=34adr=33a【答案】c【解析】根據(jù)等邊三角形的內(nèi)切圓和外接圓是同心圓，設(shè)圓心為

27、o，根據(jù)30°角所對的直角邊是斜邊的一半得：r2r；等邊三角形的高是r與r的和，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論如圖，abc是等邊三角形，abc的內(nèi)切圓和外接圓是同心圓，圓心為o，設(shè)oer，aor，adh，hr+r，故a正確；adbc，dac=12bac=12×60°30°，在rtaoe中，r2r，故b正確；odoer，abacbca，ae=12ac=12a，（12a）2+r2（2r）2，（12a）2+（12r）2r2，r=3a6，r=33a，故c錯誤，d正確；10（2020涼山州）如圖，等邊三角形abc和正方形adef都內(nèi)接于o，則ad：ab（）a22：3b2

28、：3c3：2d3：22【答案】b【分析】連接oa、ob、od，過o作ohab于h，由垂徑定理得出ahbh=12ab，證出aod是等腰直角三角形，aohboh60°，ahbh=12ab，得出ad=2oa，ah=32oa，則ab2ah=3oa，進(jìn)而得出答案【解析】連接oa、ob、od，過o作ohab于h，如圖所示：則ahbh=12ab，正方形abcd和等邊三角形aef都內(nèi)接于o，aob120°，aod90°，oaodob，aod是等腰直角三角形，aohboh=12×120°60°，ad=2oa，ahoasin60°=32oa，a

29、b2ah2×32oa=3oa，adab=2oa3oa=23二、填空題11（2020黑龍江）如圖，ad是abc的外接圓o的直徑，若bca50°，則adb °【答案】50【解析】根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論ad是abc的外接圓o的直徑，點a，b，c，d在o上，bca50°，adbbca50°12（2020無錫）已知圓錐的底面半徑為1cm，高為3cm，則它的側(cè)面展開圖的面積為 cm2【答案】2【解析】先利用勾股定理求出圓錐的母線l的長，再利用圓錐的側(cè)面積公式：s側(cè)rl計算即可根據(jù)題意可知，圓錐的底面半徑r1cm，高h(yuǎn)=3cm，圓錐的母線l=r2+h2=

30、2，s側(cè)rl×1×22（cm2）13（2020湖州）如圖，已知ab是半圓o的直徑，弦cdab，cd8，ab10，則cd與ab之間的距離是 【答案】3【分析】過點o作ohcd于h，連接oc，如圖，根據(jù)垂徑定理得到chdh4，再利用勾股定理計算出oh3，從而得到cd與ab之間的距離【解析】過點o作ohcd于h，連接oc，如圖，則chdh=12cd4，在rtoch中，oh=52-42=3，所以cd與ab之間的距離是314（2020棗莊）如圖，ab是o的直徑，pa切o于點a，線段po交o于點c連接bc，若p36°，則b 【答案】27°【解析】直接利用切線的性質(zhì)得

31、出oap90°，再利用三角形內(nèi)角和定理得出aop54°，結(jié)合圓周角定理得出答案pa切o于點a，oap90°，p36°，aop54°，b=12aop27°15（2020連云港）用一個圓心角為90°，半徑為20cm的扇形紙片圍成一個圓錐的側(cè)面，這個圓錐的底面圓半徑為 cm【答案】5【分析】設(shè)這個圓錐的底面圓半徑為r，利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長和弧長公式得到2r=90×20180，然后解關(guān)于r的方程即可【解析】設(shè)這個圓錐的底面圓半徑為r，根據(jù)題意得2r=90×20180，解得

32、r5（cm）16.（2019南京）如圖，pa.pb是o的切線，a.b為切點，點c.d在o上若p102°，則a+c 【答案】219°【解析】連接ab，根據(jù)切線的性質(zhì)得到papb，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到pabpba（180°102°）39°，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到dab+c180°，于是得到結(jié)論連接ab，pa.pb是o的切線，papb，p102°，pabpba（180°102°）39°，dab+c180°，pad+cpab+dab+c180°+39°219°

33、;17. （2019山東東營）如圖，ac是o的弦，ac=5，點b是o 上的一個動點，且abc=45°，若點m、n分別是 ac、bc的中點，則 mn的最大值是_【答案】【解析】mn是abc的中位線，mn=ab當(dāng)ab為o的直徑時，ab有最大值，則mn有最大值當(dāng)ab為直徑時，acb=90°，abc=45°，ac=5，ab=，mn=18.（2019黑龍江省龍東地區(qū)）如圖，在o中，半徑oa垂直于弦bc，點d在圓上，且adc30°，則aob的度數(shù)為_【答案】60°.【解析】oabc， ，aob2adc,adc30°，aob60°.19.

34、（2020山東濟(jì)寧模擬 ）如圖，o 為rt abc 直角邊 ac 上一點，以 oc 為半徑的o 與斜邊 ab 相切于點 d，交 oa 于點 e，已知 bc，ac3則圖中陰影部分的面積是 【答案】 【解析】本題考查了切線的性質(zhì)定理、切線長定理以及勾股定理的運用，熟記和圓有關(guān)的各種性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵在rt abc 中，bc，ac3ab 2 ，bcoc，bc 是圓的切線，o 與斜邊 ab 相切于點 d，bdbc，adabbd2 ；在 rt abc 中，sina ，a30°，o 與斜邊 ab 相切于點 d，odab，aod90°a60°， tanatan30°

35、， ，od1，s 陰影 20.（2019湖北省鄂州市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知c（3，4），以點c為圓心的圓與y軸相切點a、b在x軸上，且oaob點p為c上的動點，apb90°，則ab長度的最大值為 【答案】16【解析】連接oc并延長，交c上一點p，以o為圓心，以op為半徑作o，交x軸于a、b，此時ab的長度最大，c（3，4），oc5，以點c為圓心的圓與y軸相切c的半徑為3，opoaob8，ab是直徑，apb90°，ab長度的最大值為16。三、解答題21.（2020咸寧）如圖，在rtabc中，c90°，點o在ac上，以oa為半徑的半圓o交ab于點d，交ac于

36、點e，過點d作半圓o的切線df，交bc于點f（1）求證：bfdf；（2）若ac4，bc3，cf1，求半圓o的半徑長【解析】見解析?！痉治觥浚?）連接od，由切線性質(zhì)得odf90°，進(jìn)而證明bdf+aa+b90°，得bbdf，便可得bfdf；（2）設(shè)半徑為r，連接od，of，則oc4r，求得df，再由勾股定理，利用of為中間變量列出r的方程便可求得結(jié)果【解析】（1）連接od，如圖1，過點d作半圓o的切線df，交bc于點f，odf90°，ado+bdf90°，oaod，oadoda，oad+bdf90°，c90°，oad+b90°

37、;，bbdf，bfdf；（2）連接of，od，如圖2，設(shè)圓的半徑為r，則odoer，ac4，bc3，cf1，oc4r，dfbf312，od2+df2of2oc2+cf2，r2+22（4r）2+12，r=138故圓的半徑為13822（2020懷化）如圖，在o中，ab為直徑，點c為圓上一點，延長ab到點d，使cdca，且d30°（1）求證：cd是o的切線（2）分別過a、b兩點作直線cd的垂線，垂足分別為e、f兩點，過c點作ab的垂線，垂足為點g求證：cg2aebf【解析】見解析?！痉治觥浚?）連接oc，cadd30°，由ocoa，進(jìn)而得到ocacad30°，由三角形外

38、角定理得到coda+oca60°，在ocd中由內(nèi)角和定理可知ocd90°即可證明；（2）證明ac是eag的角平分線，cb是fcg的角平分線，得到cecg，cfcg，再證明aeccfb，對應(yīng)線段成比例即可求解【解答】（1）證明：連接oc，如右圖所示，cacd，且d30°，cadd30°，oaoc，cadaco30°，codcad+aco30°+30°60°，ocd180°dcod180°30°60°90°，occd，cd是o的切線；（2）cob60°，且oc

39、ob，ocb為等邊三角形，cbg60°，又cgad，cgb90°，gcbcgbcbg30°，又gcd60°，cb是gcd的角平分線，bfcd，bgcg，bfbg，又bcbc，rtbcgrtbcf（hl），cfcgd30°，aeed，e90°，ead60°，又cad30°，ac是eag的角平分線，ceae，cgab，cecg，ebfc90°，eac30°bcf，aeccfb，aecf=cebf，即aebfcfce，又cecg，cfcg，aebfcg223（2020銅仁市）如圖，ab是o的直徑，c為

40、o上一點，連接ac，ceab于點e，d是直徑ab延長線上一點，且bcebcd（1）求證：cd是o的切線；（2）若ad8，bece=12，求cd的長【答案】見解析?！痉治觥浚?）連接oc，根據(jù)圓周角定理得到acb90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到aecb，求得abcd，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到aaco，等量代換得到acobcd，求得dco90°，于是得到結(jié)論；（2）設(shè)bck，ac2k，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論【解析】（1）證明：連接oc，ab是o的直徑，acb90°，ceab，ceb90°，ecb+abcabc+cab90°，aecb，bcebc

41、d，abcd，ocoa，aaco，acobcd，aco+bcobco+bcd90°，dco90°，cd是o的切線；（2）解：abce，tana=bcac=tanbce=bece=12，設(shè)bck，ac2k，dd，abcd，acdcbd，bcac=cdad=12，ad8，cd424（2020溫州）如圖，c，d為o上兩點，且在直徑ab兩側(cè)，連結(jié)cd交ab于點e，g是ac上一點，adcg（1）求證：12（2）點c關(guān)于dg的對稱點為f，連結(jié)cf當(dāng)點f落在直徑ab上時，cf10，tan1=25，求o的半徑【答案】見解析?！痉治觥浚?）根據(jù)圓周角定理和ab為o的直徑，即可證明12；（2）

42、連接df，根據(jù)垂徑定理可得fdfc10，再根據(jù)對稱性可得dcdf，進(jìn)而可得de的長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出o的半徑【解析】（1）adcg，ac=ad，ab為o的直徑，bc=bd，12；（2）如圖，連接df，ac=ad，ab是o的直徑，abcd，cede，fdfc10，點c，f關(guān)于dg對稱，dcdf10，de5，tan1=25，ebdetan12，12，tan2=25，ae=detan2=252，abae+eb=292，o的半徑為29425（2020衢州）如圖，abc內(nèi)接于o，ab為o的直徑，ab10，ac6，連結(jié)oc，弦ad分別交oc，bc于點e，f，其中點e是ad的中點（1）求證：cad

43、cba（2）求oe的長【答案】見解析。【分析】（1）利用垂徑定理以及圓周角定理解決問題即可（2）證明aecbca，推出ceac=acab，求出ec即可解決問題【解析】（1）證明：aede，oc是半徑，ac=cd，cadcba（2）解：ab是直徑，acb90°，aede，ocad，aec90°，aecacb，aecbca，ceac=acab，ce6=610，ce3.6，oc=12ab5，oeocec53.61.426（2020嘉興）已知：如圖，在oab中，oaob，o與ab相切于點c求證：acbc小明同學(xué)的證明過程如下框：證明：連結(jié)oc，oaob，ab，又ococ，oacob

44、c，acbc小明的證法是否正確？若正確，請在框內(nèi)打“”；若錯誤，請寫出你的證明過程【答案】見解析?！痉治觥窟B結(jié)oc，根據(jù)切線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論【解析】證法錯誤；證明：連結(jié)oc，o與ab相切于點c，ocab，oaob，acbc27（2020湖州）如圖，已知abc是o的內(nèi)接三角形，ad是o的直徑，連結(jié)bd，bc平分abd（1）求證：cadabc；（2）若ad6，求cd的長【答案】見解析?！痉治觥浚?）由角平分線的性質(zhì)和圓周角定理可得dbcabccad；（2）由圓周角定理可得cd=ac，由弧長公式可求解【解析】（1）bc平分abd，dbcabc，caddbc，cadabc；（2）cadabc，cd=ac，ad是o的直徑，ad6，cd的長=12×12××6=3228（2020遵義）如圖，ab是o的直徑，點c是o上一點，cab的平分線ad交bc于點d，過點d作debc交ac的延長線于點e（1）求證：de是o的切線；（2）過點d作dfab于點f，連接bd若of1，bf2，求bd的長度【答案】見解析?！痉治觥浚?）連接od，由等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)得出adodae，從而odae，由debc