高中數(shù)學(xué)上學(xué)期同步測(cè)試第3單元 湘教版選修21高二

1、20102011學(xué)年度上學(xué)期單元測(cè)試高二數(shù)學(xué)試題【湘教版】選修2-1第3單元說(shuō)明：本試卷分第一卷和第二卷兩部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答題時(shí)間120分鐘。一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi)（每小題5分，共60分）。圖1在平行六面體abcda1b1c1d1中，m為ac與bd的交點(diǎn)，若=，=，=.則下列向量中與相等的向量是（ ）abcd2在下列條件中，使m與a、b、c一定共面的是（ ）a b cd3在正三棱柱abca1b1c1中，若abbb1，則ab1與c1b所成的角的大小為（ ）a60° b90°

2、; c105° d75°4如圖，abcda1b1c1d1是正方體，b1e1d1f1，則be1與df1所成角的余弦值是（ ）圖a bc d5如圖，a1b1c1abc是直三棱柱，bca=90°，點(diǎn)d1、f1分別是a1b1、a1c1的中點(diǎn)，若bc=ca=cc1，則bd1與af1所成角的余弦值是（ ）圖a bc d6正四棱錐的高，底邊長(zhǎng)，則異面直線和 之間的距離（ ）aa1dcbb1c1圖a b c d7已知是各條棱長(zhǎng)均等于的正三棱柱，是側(cè)棱的中點(diǎn)。點(diǎn)到平面 的距離 （ ）a bc d8在棱長(zhǎng)為的正方體中，則平面與平面間的距離（ ）a b c d9在三棱錐pabc中，ab

3、bc，abbcpa，點(diǎn)o、d分別是ac、pc的中點(diǎn)，op底面abc，則直線od與平面pbc所成角的正弦值（ ）a b c d10在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，側(cè)棱，d，e分別是與的中點(diǎn)，點(diǎn)e在平面abd上的射影是的重心g。則與平面abd所成角的余弦值（ ）a b c d11正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱，d是cb延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，則二面角的大小（ ）a b c d12正四棱柱中，底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為4，e，f分別為棱ab，cd的中點(diǎn)，。則三棱錐的體積v（ ）a b c d 二、填空題：請(qǐng)把答案填在題中橫線上（每小題6分，共24分）。13在正方體中，為的中點(diǎn)，則異面直線和間的距離 。14 在

4、棱長(zhǎng)為的正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，求點(diǎn)到截面的距離 。15已知棱長(zhǎng)為1的正方體abcda1b1c1d1中，e、f分別是b1c1和c1d1的中點(diǎn)，點(diǎn)a1到平面dbef的距離 。16已知棱長(zhǎng)為1的正方體abcda1b1c1d1中，e是a1b1的中點(diǎn)，求直線ae與平面abc1d1所成角的正弦值 。三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟(共74分)。17（12分）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為a，m為的中點(diǎn)，點(diǎn)n在'上，且，試求mn的長(zhǎng)18（12分）如圖在空間直角坐標(biāo)系中bc=2，原點(diǎn)o是bc的中點(diǎn)，點(diǎn)a的坐標(biāo)是（，0），點(diǎn)d在平面yoz上，且bdc=90°，dcb=30&#

5、176;. （1）求向量的坐標(biāo)； （2）設(shè)向量和的夾角為，求cos的值圖19（12分）在四棱錐pabcd中，底面abcd是一直角梯形，bad=90°，adbc，ab=bc=a，ad=2a，且pa底面abcd，pd與底面成30°角 （1）若aepd，e為垂足，求證：bepd； （2）求異面直線ae與cd所成角的余弦值。20（12分）如圖， 在矩形中，點(diǎn)分別在線段上，.沿直線將 翻折成，使平面. （）求二面角的余弦值； （）點(diǎn)分別在線段上，若沿直線將四邊形向上翻折，使與重合，求線段的長(zhǎng)。21（14分）已知正方體abcda1b1c1d1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)e為棱ab的中點(diǎn)，求： （）d

6、1e與平面bc1d所成角的大??； （）二面角dbc1c的大小； （）異面直線b1d1與bc1之間的距離22（14分）如圖5：正方體abcd-a1b1c1d1，過(guò)線段bd1上一點(diǎn)p（p平面acb1）作垂直于d1b的平面分別交過(guò)d1的三條棱于e、f、g。 （1）求證：平面efg平面a cb1，并判斷三角形類型； （2）若正方體棱長(zhǎng)為a，求efg的最大面積，并求此時(shí)ef與b1c的距離。參考答案一、選擇題aabaa cabdb ac二、填空題13；14；151；16。三、解答題17解：以d為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為a，所以b（a，a，0），a'（a，0，a），（0，a，a）

7、，（0，0，a）由于m為的中點(diǎn)，取中點(diǎn)o'，所以m（，），o'（，a）因?yàn)椋詎為的四等分，從而n為的中點(diǎn)，故n（，a）根據(jù)空間兩點(diǎn)距離公式，可得18解：（1）過(guò)d作debc，垂足為e，在rtbdc中,由bdc=90°,dcb=30°，bc=2，得bd=1，cd=，de=cd·sin30°=.oe=obbe=obbd·cos60°=1.d點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），即向量odtx的坐標(biāo)為0，. （2）依題意：，所以.設(shè)向量和的夾角為，則cos=.19（1）證明：pa平面abcd，paab，又abadab平面pad又aepd，p

8、d平面abe，故bepd （2）解：以a為原點(diǎn)，ab、ad、ap所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)c、d的坐標(biāo)分別為（a，a，0），（0，2a，0）pa平面abcd，pda是pd與底面abcd所成的角，pda=30°于是，在rtaed中，由ad=2a，得ae=a過(guò)e作efad，垂足為f，在rtafe中，由ae=a，eaf=60°，得af=，ef=a，e（0，a）于是，=a，a，0設(shè)與的夾角為，則由cos=ae與cd所成角的余弦值為評(píng)述：第（2）小題中，以向量為工具，利用空間向量坐標(biāo)及數(shù)量積，求兩異面直線所成的角是立體幾何中的常見問(wèn)題和處理手段20（）解：取線段ef的

9、中點(diǎn)h，連結(jié)，因?yàn)? 及h是ef的中點(diǎn)，所以,又因?yàn)槠矫嫫矫?如圖建立空間直角坐標(biāo)系a-xyz則（2，2，），c（10，8，0），f（4，0，0），d（10，0，0）. 故=（-2，2，2），=（6，0，0）.設(shè)=（x,y,z）為平面的一個(gè)法向量， -2x+2y+2z=0所以 6x=0.取，則。又平面的一個(gè)法向量，故。所以二面角的余弦值為 （）解：設(shè)則， 因?yàn)榉酆?，與重合，所以， 故， ，得， 經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)點(diǎn)在線段上，所以。方法二： （）解：取線段的中點(diǎn),的中點(diǎn),連結(jié)。因?yàn)?及是的中點(diǎn)，所以又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?又平面,故，又因?yàn)?、是、的中點(diǎn)，易知，所以，于是面，所以為二面角的平面角，在

10、中，=，=2，=所以.故二面角的余弦值為。 （）解：設(shè), 因?yàn)榉酆?，與重合，所以， 而， 得，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)點(diǎn)在線段上，所以。21解：建立坐標(biāo)系如圖，則、，a1b1c1d1abcdexyz， （）不難證明為平面bc1d的法向量， d1e與平面bc1d所成的角的大小為 （即） （）、分別為平面bc1d、bc1c的法向量， ， 二面角dbc1c的大小為 （） b1d1平面bc1d， b1d1與bc1之間的距離為22(證明（1）用純粹的幾何方法要輾轉(zhuǎn)證明efac，egb1c，fgab1來(lái)證明，而我們借用向量法使問(wèn)題代數(shù)化，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，思路簡(jiǎn)單明了。) （1）分析：要證平面efg平面acb1，由題設(shè)知只

11、要證bd1垂直平面acb1即可。證明：以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖5，不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則a（a，0，0），b（a，a，0），c（0，a，0），d1（0，0，a），b1（a，a，a），e（xe，0，a），f（0，yf，a），g（0，0，zg）。=（a，a，a），=（0，a，a），（xe，yf，0），=（a，a，0），=（a，0，a），·=(a，a，a)·(0，a，a)=0， ，同理 ，而與不共線且相交于點(diǎn)a，平面acb1，又已知平面efg， 平面efg平面acb1；又因?yàn)槠矫鎒fg，所以 ，則·=0， 即 (a，a，a)·(xe，yf，0

12、)=0，化簡(jiǎn)得 xeyf=0；同理 xezg=0, yfzg=0，易得 =， efg為正三角形。 （2）解：因?yàn)閑fg是正三角形，顯然當(dāng)efg與 a1c1d重合時(shí)，efg的邊最長(zhǎng)，其面積也最大，此時(shí)，=a1c1=·a， = = ·sin600= (·a)2·=·a2 。此時(shí)ef與b1c的距離即為a1c1與b1c的距離，由于兩異面直線所在平面平行，所求距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)b1到平面 a1c1d的距離，記a1c1與b1d1交于點(diǎn)o1，作o1hd1b并交bb1于點(diǎn)h，則o1h平面a1c1d，垂足為o1，則o1(，a)，h(a，a，)，而作為平面a1c1d的法向量，所以異面直線ef與b1c的距離設(shè)為d是d = =·a。(證明（2）時(shí)一