高中數(shù)學高初中銜接讀本

1、第一講 數(shù)與式1.1 數(shù)與式的運算例1 解不等式：4解法一：由，得；由，得；若，不等式可變?yōu)椋?，解得x0，又x1，x0；若，不等式可變?yōu)椋?4，不存在滿足條件的x；若，不等式可變?yōu)?，?， 解得x4又x3，x4綜上所述，原不等式的解為 x0，或x413abx04cdxp|x1|x3|圖111解法二：如圖111，表示x軸上坐標為x的點p到坐標為1的點a之間的距離|pa|，即|pa|x1|；|x3|表示x軸上點p到坐標為2的點b之間的距離|pb|，即|pb|x3|所以，不等式4的幾何意義即為|pa|pb|4由|ab|2，可知點p 在點c(坐標為0)的左側、或點p在點d(坐標為4)的右側 x0

2、，或x4練 習1填空：（1）若，則x=_；若，則x=_.（2）如果，且，則b_；若，則c_.2選擇題：下列敘述正確的是 （ ）（a）若，則 （b）若，則 （c）若，則 （d）若，則3化簡：|x5|2x13|（x5）習題11a 組1解不等式： (1) ； (2) ； (3) 已知，求的值3填空：（1）_；（2）若，則的取值范圍是_；（3）_b 組1填空： （1），則_ _；（2）若，則_ _；2已知：，求的值c 組1選擇題：（1）若，則 （ ） （a） （b） （c） （d）（2）計算等于 （ ）（a） （b） （c） （d）2解方程3計算：4試證：對任意的正整數(shù)n，有第二講 函數(shù)與方程2.1

3、一元二次方程一元二次方程的兩根之差的絕對值是一個重要的量，今后我們經(jīng)常會遇到求這一個量的問題，為了解題簡便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設x1和x2分別是一元二次方程ax2bxc0（a0），則，| x1x2| 于是有下面的結論：若x1和x2分別是一元二次方程ax2bxc0（a0），則| x1x2|（其中b24ac）今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對值時，可以直接利用上面的結論例1 若關于x的一元二次方程x2xa40的一根大于零、另一根小于零，求實數(shù)a的取值范圍解：設x1，x2是方程的兩根，則 x1x2a40， 且(1)24(a4)0 由得 a4，由得 aa的取值范圍是a4a 組1選擇題:（1

4、）已知關于x的方程x2kx20的一個根是1，則它的另一個根是（ ） （a）3 （b）3 （c）2 （d）2（2）下列四個說法： 方程x22x70的兩根之和為2，兩根之積為7；方程x22x70的兩根之和為2，兩根之積為7；方程3 x270的兩根之和為0，兩根之積為；方程3 x22x0的兩根之和為2，兩根之積為0其中正確說法的個數(shù)是 （ ） （a）1個 （b）2個 （c）3個 （d）4個（3）關于x的一元二次方程ax25xa2a0的一個根是0，則a的值是（ ）（a）0 （b）1 （c）1 （d）0，或12填空:（1）方程kx24x10的兩根之和為2，則k （2）方程2x2x40的兩根為，則22 （

5、3）已知關于x的方程x2ax3a0的一個根是2，則它的另一個根是 （4）方程2x22x10的兩根為x1和x2，則| x1x2| 3試判定當m取何值時，關于x的一元二次方程m2x2(2m1) x10有兩個不相等的實數(shù)根？有兩個相等的實數(shù)根？沒有實數(shù)根？4求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程x27x10各根的相反數(shù)b 組1選擇題:若關于x的方程x2(k21) xk10的兩根互為相反數(shù)，則k的值為 （ ） （a）1，或1 （b）1 （c）1 （d）02填空:（1）若m，n是方程x22005x10的兩個實數(shù)根，則m2nmn2mn的值等于 （2）如果a，b是方程x2x10的兩個實數(shù)根，那么代數(shù)式a3

6、a2bab2b3的值是 3已知關于x的方程x2kx20（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）設方程的兩根為x1和x2，如果2(x1x2)x1x2，求實數(shù)k的取值范圍4一元二次方程ax2bxc0（a0）的兩根為x1和x2求：（1）| x1x2|和；（2）x13x235關于x的方程x24xm0的兩根為x1，x2滿足| x1x2|2，求實數(shù)m的值c 組1選擇題：（1）已知一個直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程2x28x70的兩根，則這個直角三角形的斜邊長等于 （ ） （a） （b）3 （c）6 （d）9（2）若x1，x2是方程2x24x10的兩個根，則的值為 （ ） （a）6 （b）4 （c）

7、3 （d）（3）如果關于x的方程x22(1m)xm20有兩實數(shù)根，則的取值范圍為 （ ） （a） （b） （c）1 （d）1 （4）已知a，b，c是abc的三邊長，那么方程cx2(ab)x0的根的情況是 （ ） （a）沒有實數(shù)根 （b）有兩個不相等的實數(shù)根（c）有兩個相等的實數(shù)根 （d）有兩個異號實數(shù)根2填空：若方程x28xm0的兩根為x1，x2，且3x12x218，則m 3 已知x1，x2是關于x的一元二次方程4kx24kxk10的兩個實數(shù)根（1）是否存在實數(shù)k，使(2x1x2)( x12 x2)成立？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由；（2）求使2的值為整數(shù)的實數(shù)k的整數(shù)值；（3）若k

8、2，試求的值4已知關于x的方程（1）求證：無論m取什么實數(shù)時，這個方程總有兩個相異實數(shù)根；（2）若這個方程的兩個實數(shù)根x1，x2滿足|x2|x1|2，求m的值及相應的x1，x25若關于x的方程x2xa0的一個大于1、零一根小于1，求實數(shù)a的取值范圍22 二次函數(shù)2.2.1 二次函數(shù)yax2bxc的圖像和性質問題1 函數(shù)yax2與yx2的圖象之間存在怎樣的關系？為了研究這一問題，我們可以先畫出y2x2，yx2，y2x2的圖象，通過這些函數(shù)圖象與函數(shù)yx2的圖象之間的關系，推導出函數(shù)yax2與yx2的圖象之間所存在的關系先畫出函數(shù)yx2，y2x2的圖象先列表：x3210123x294101492x

9、2188202818yx2y2x2圖2.2-1xoy從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應的x2的值擴大兩倍就可以了再描點、連線，就分別得到了函數(shù)yx2，y2x2的圖象（如圖21所示），從圖21我們可以得到這兩個函數(shù)圖象之間的關系：函數(shù)y2x2的圖象可以由函數(shù)yx2的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼膬杀兜玫酵瑢W們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù)yx2，y2x2的圖象，并研究這兩個函數(shù)圖象與函數(shù)yx2的圖象之間的關系圖2.2-2xyo1y2x2y2(x1)2y2(x1)21通過上面的研究，我們可以得到以下結論：二次函數(shù)yax2(a0)的圖象可以由yx2的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腶倍得到在二次函

10、數(shù)yax2(a0)中，二次項系數(shù)a決定了圖象的開口方向和在同一個坐標系中的開口的大小問題2 函數(shù)ya(xh)2k與yax2的圖象之間存在怎樣的關系？同樣地，我們可以利用幾個特殊的函數(shù)圖象之間的關系來研究它們之間的關系同學們可以作出函數(shù)y2(x1)21與y2x2的圖象（如圖22所示），從函數(shù)的同學我們不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y2x2的圖象向左平移一個單位，再向上平移一個單位，就可以得到函數(shù)y2(x1)21的圖象這兩個函數(shù)圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點類似地，還可以通過畫函數(shù)y3x2，y3(x1)21的圖象，研究它們圖象之間的相互關系通過上面的研究，我們可以得到以下結論：二次函數(shù)ya(xh)

11、2k(a0)中，a決定了二次函數(shù)圖象的開口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“h正左移，h負右移”；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“k正上移，k負下移”由上面的結論，我們可以得到研究二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象的方法：由于yax2bxca(x2)ca(x2)c ，所以，yax2bxc(a0)的圖象可以看作是將函數(shù)yax2的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數(shù)yax2bxc(a0)具有下列性質：（1）當a0時，函數(shù)yax2bxc圖象開口向上；頂點坐標為，對稱軸為直線x；當x時，y隨著x的增大而減?。划攛時，y隨著x的增大而增大；當x時，函數(shù)取最小值y（2）當

12、a0時，函數(shù)yax2bxc圖象開口向下；頂點坐標為，對稱軸為直線x；當x時，y隨著x的增大而增大；當x時，y隨著x的增大而減??；當x時，函數(shù)取最大值y xyoxa圖2.2-3xyoxa圖2.2-4上述二次函數(shù)的性質可以分別通過圖223和圖224直觀地表示出來因此，在今后解決二次函數(shù)問題時，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結合的思想方法來解決問題2.2.2 二次函數(shù)的簡單應用一、函數(shù)圖象的平移變換與對稱變換1平移變換問題1 在把二次函數(shù)的圖象進行平移時，有什么特點？依據(jù)這一特點，可以怎樣來研究二次函數(shù)的圖象平移？我們不難發(fā)現(xiàn)：在對二次函數(shù)的圖象進行平移時，具有這樣的特點只改變函數(shù)圖象的位置、不改變其

13、形狀，因此，在研究二次函數(shù)的圖象平移問題時，只需利用二次函數(shù)圖象的頂點式研究其頂點的位置即可例1 求把二次函數(shù)yx24x3的圖象經(jīng)過下列平移變換后得到的圖象所對應的函數(shù)解析式：（1）向右平移2個單位，向下平移1個單位；（2）向上平移3個單位，向左平移2個單位分析：由于平移變換只改變函數(shù)圖象的位置而不改變其形狀（即不改變二次項系數(shù)），所以只改變二次函數(shù)圖象的頂點位置（即只改變一次項和常數(shù)項），所以，首先將二次函數(shù)的解析式變形為頂點式，然后，再依據(jù)平移變換后的二次函數(shù)圖象的頂點位置求出平移后函數(shù)圖像所對應的解析式解：二次函數(shù)y2x24x3的解析式可變?yōu)?y2(x1)21，其頂點坐標為(1，1)（1

14、）把函數(shù)y2(x1)21的圖象向右平移2個單位，向下平移1個單位后，其函數(shù)圖象的頂點坐標是(3，2)，所以，平移后所得到的函數(shù)圖象對應的函數(shù)表達式就為 y2(x3)22（2）把函數(shù)y2(x1)21的圖象向上平移3個單位，向左平移2個單位后，其函數(shù)圖象的頂點坐標是(1， 2)，所以，平移后所得到的函數(shù)圖象對應的函數(shù)表達式就為 y2(x1)222對稱變換問題2 在把二次函數(shù)的圖象關于與坐標軸平行的直線進行對稱變換時，有什么特點？依據(jù)這一特點，可以怎樣來研究二次函數(shù)的圖象平移？我們不難發(fā)現(xiàn)：在把二次函數(shù)的圖象關于與坐標軸平行的直線進行對稱變換時，具有這樣的特點只改變函數(shù)圖象的位置或開口方向、不改變其

15、形狀，因此，在研究二次函數(shù)圖象的對稱變換問題時，關鍵是要抓住二次函數(shù)的頂點位置和開口方向來解決問題xyox1a(1,1)a1(3,1)圖2.27例2 求把二次函數(shù)y2x24x1的圖象關于下列直線對稱后所得到圖象對應的函數(shù)解析式：（1）直線x1；（2）直線y1解：（1）如圖227，把二次函數(shù)y2x24x1的圖象關于直線x1作對稱變換后，只改變圖象的頂點位置，不改變其形狀由于y2x24x12(x1)21，可知，函數(shù)y2x24x1圖象的頂點為a(1,1)，所以，對稱后所得到圖象的頂點為a1(3，1)，所以，二次函數(shù)y2x24x1的圖象關于直線x1對稱后所得到圖象的函數(shù)解析式為y2(x3)21，即y2

16、x212x17xyoy1a(1,1)b(1，3)圖2.28（2）如圖228，把二次函數(shù)y2x24x1的圖象關于直線x1作對稱變換后，只改變圖象的頂點位置和開口方向，不改變其形狀由于y2x24x12(x1)21，可知，函數(shù)y2x24x1圖象的頂點為a(1,1)，所以，對稱后所得到圖象的頂點為b(1，3)，且開口向下，所以，二次函數(shù)y2x24x1的圖象關于直線y1對稱后所得到圖象的函數(shù)解析式為y2(x1)23，即y2x24x1二、分段函數(shù)一般地，如果自變量在不同取值范圍內時，函數(shù)由不同的解析式給出，這種函數(shù)，叫作分段函數(shù) 例3 在國內投遞外埠平信，每封信不超過20g付郵資80分，超過20g不超過4

17、0g付郵資160分，超過40g不超過60g付郵資240分，依此類推，每封xg(0x100)的信應付多少郵資（單位：分）？寫出函數(shù)表達式，作出函數(shù)圖象分析：由于當自變量x在各個不同的范圍內時，應付郵資的數(shù)量是不同的所以，可以用分段函數(shù)給出其對應的函數(shù)解析式在解題時，需要注意的是，當x在各個小范圍內（如20x40）變化時，它所對應的函數(shù)值（郵資）并不變化（都是160分）解：設每封信的郵資為y（單位：分），則y是x的函數(shù)這個函數(shù)的解析式為x(克)y(分)o圖2.29 20 40 60 80 10040032024016080 由上述的函數(shù)解析式，可以得到其圖象如圖229所示acbdp圖10例4如圖9

18、2所示，在邊長為2的正方形abcd的邊上有一個動點p，從點a出發(fā)沿折線abcd移動一周后，回到a點設點a移動的路程為x，pac的面積為y（1）求函數(shù)y的解析式；（2）畫出函數(shù)y的圖像； （3）求函數(shù)y的取值范圍分析：要對點p所在的位置進行分類討論解：（1）當點p在線段ab上移動（如圖2210），即0x2時，yx；當點p在線段bc上移動（如圖2210），即2x4時，y4x；當點p在線段cd上移動（如圖2210），即4x6時，yx4；當點p在線段da上移動（如圖2210），即6x8時，abcdp acbdp acbdp adbcp 圖2.210y8x綜上所述，函數(shù)f（x）的解析式為（2）函數(shù)y的圖

19、像如圖2211所示xyo22468圖11（3）由函數(shù)圖像可知，函數(shù)y的取值范圍是0y2練 習1選擇題：（1）把函數(shù)y(x1)24的圖象向左平移2個單位，向下平移3個單位，所得圖象對應的解析式為 （ ） （a）y (x1)21 （b）y(x1)21 （c）y(x3)24 （d）y(x3)21（2）把函數(shù)y2(x3)23的圖象關于直線x1對稱后，所得圖象對應的函數(shù)解析式為 （ ） （a）y2 (x1)23 （b）y2 (x1)23 （c）y2 (x1)23 （d）y2 (x1)23 （3）把函數(shù)y2(x3)23的圖象關于直線y2對稱后，所得圖象對應的函數(shù)解析式為 （ ） （a）y2 (x1)23

20、（b）y2 (x3)23 （c）y2 (x3)21 （d）y2 (x3)23 2填空：（1）已知函數(shù) 則當x4時，y ；當x4時，y （2）把二次函數(shù)y2x2+4x1的函數(shù)圖象向 平移 單位后，得到的圖象所對應的解析式為y2x27；再向 平移 個單位后，得到的圖象所對應的解析式為y2x21；再將其關于 對稱后得到的圖象所對應的函數(shù)解析式為y2x253已知點p是邊長為1的正方形abcd的頂點a出發(fā)，順次經(jīng)過b，c，d移動一周后回到點a，設x表示點p的行程，y表示線段pa的長，試求y關于x的函數(shù)習題22a 組1選擇題：（1）把函數(shù)y(x1)24的圖象的頂點坐標是 （ ） （a）（1，4） （b）（

21、1，4） （c）（1，4） （d）（1，4）（2）函數(shù)yx24x6的最值情況是 （ ） （a）有最大值6 （b）有最小值6 （c）有最大值10 （d）有最大值2（3）函數(shù)y2x24x5中，當3x2時，則y值的取值范圍是 （ ） （a）3y1 （b）7y1 （c）7y11 （d）7y11 2填空：（1）已知某二次函數(shù)的圖象與x軸交于a(2，0)，b(1，0)，且過點c（2，4），則該二次函數(shù)的表達式為 （2）已知某二次函數(shù)的圖象過點（1，0），（0，3），（1，4），則該函數(shù)的表達式為 3把已知二次函數(shù)y2x24x7的圖象向下平移3個單位，在向右平移4個單位，求所得圖象對應的函數(shù)表達式4已知某二

22、次函數(shù)圖象的頂點為a（2，18），它與x軸兩個交點之間的距離為6，求該二次函數(shù)的解析式b 組1填空：（1）將二次函數(shù)y2x24x7的圖象關于直線x1對稱后，所得圖象對應的函數(shù)表達式為 ；再將該圖象關于直線y2對稱，所得圖象對應的函數(shù)表達式為 （2）函數(shù)yx24x2在0x3上的最大值為 ，最小值為 （3）函數(shù)y=x2+4ax+2在x6時，y隨著x的增大而減小，則a的取值范圍是 25432某市空調公共汽車的票價按下列規(guī)則制定：（1）5km以內，票價2元； （2）5km以上，每增加5km，票價增加1元（所增加的里程，不足5km的按5km的按5km計算）已知兩個相鄰的公共汽車站間相距1km，如果沿途（

23、包括起點站和終點站）有21個汽車站，請根據(jù)題意，寫出票價與里程之間的函數(shù)關系式，并畫出函數(shù)圖象c 組第2題1已知二次函數(shù)ya(x)2+25的最大值為25，且方程a(x)2+250兩根的立方和為19，求函數(shù)表達式2如圖，某農(nóng)民要用12m的竹籬笆在墻邊圍出一塊一面為墻、另三面為籬笆的矩形地供他圈養(yǎng)小雞已知墻的長度為6m，問怎樣圍才能使得該矩形面積最大？3把二次函數(shù)y2x24x3的圖象向下平移3個單位后，所得圖象記為c1；再把c1向右平移2個單位的圖象再將c2沿著直線y2對稱得圖象c3；最后，再將c3以原點為對稱中心作其中心對稱圖形得到c4分別求出c1，c2，c3，c4所對應函數(shù)的表達式2.3 方程

24、與不等式2.3.1 二元二次方程組解法方程 是一個含有兩個未知數(shù),并且含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程,這樣的方程叫做二元二次方程其中,叫做這個方程的二次項,叫做一次項,6叫做常數(shù)項我們看下面的兩個方程組： 第一個方程組是由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的，第二個方程組是由兩個二元二次方程組成的，像這樣的方程組叫做二元二次方程組下面我們主要來研究由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的方程組的解法一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的方程組一般可以用代入消元法來解例1 解方程組 分析：二元二次方程組對我們來說較為生疏，在解此方程組時，可以將其轉化為我們熟悉的形式注意到方程是一

25、個一元一次方程，于是，可以利用該方程消去一個元，再代入到方程，得到一個一元二次方程，從而將所求的較為生疏的問題轉化為我們所熟悉的問題解：由,得 x2y2， 把代入,整理,得 8y28y0，即 y(y1)0 解得 y10，y21 把y10代入, 得 x12； 把y21代入, 得x20 所以原方程組的解是 說明：在解類似于本例的二元二次方程組時，通常采用本例所介紹的代入消元法來求解例2 解方程組 解法一：由，得 把代入，整理，得解這個方程，得把代入，得；把代入，得所以原方程的解是 解法二：對這個方程組，也可以根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系，把看作一個一元二次方程的兩個根，通過解這個一元二次方程來

26、求這個方程組的是一元二次方程的兩個根，解這個方程，得，或所以原方程組的解是練 習1下列各組中的值是不是方程組的解?（1） （2） （3） （4） 2解下列方程組:（1） （2）（3） （4）2.3.2 一元二次不等式解法二次函數(shù)yx2x6的對應值表與圖象如下：x32101234y60466406xo23yx2x6yy0y0y0圖2.31由對應值表及函數(shù)圖象(如圖2.31)可知當x2，或x3時，y0，即x2x60；當x2，或x3時，y0，即x2x60；當2x3時，y0，即x2x60這就是說，如果拋物線y= x2x6與x軸的交點是(2，0)與(3，0)，那么一元二次方程x2x60的解就是x12，x

27、23；同樣，結合拋物線與x軸的相關位置，可以得到一元二次不等式x2x60的解是 x2，或x3；一元二次不等式 x2x60的解是 2x3上例表明：由拋物線與x軸的交點可以確定對應的一元二次方程的解和對應的一元二次不等式的解集 那么，怎樣解一元二次不等式ax2bxc0(a0)呢？ 我們可以用類似于上面例子的方法，借助于二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象來解一元二次不等式ax2bxc0(a0) 為了方便起見，我們先來研究二次項系數(shù)a0時的一元二次不等式的解xyox1x2xyox1= x2yxo圖2.32我們知道，對于一元二次方程ax2bxc0(a0)，設b24ac，它的解的情形按照0，=0，0分別

28、為下列三種情況有兩個不相等的實數(shù)解、有兩個相等的實數(shù)解和沒有實數(shù)解，相應地，拋物線yax2bxc（a0）與x軸分別有兩個公共點、一個公共點和沒有公共點(如圖2.32所示)，因此，我們可以分下列三種情況討論對應的一元二次不等式ax2bxc0（a0）與ax2bxc0（a0）的解（1）（1）當0時，拋物線yax2bxc（a0）與x軸有兩個公共點(x1，0)和(x2，0)，方程ax2bxc0有兩個不相等的實數(shù)根x1和x2(x1x2)，由圖2.32可知不等式ax2bxc0的解為 xx1，或xx2； 不等式ax2bxc0的解為 x1xx2 （2）當0時，拋物線yax2bxc（a0）與x軸有且僅有一個公共點

29、，方程ax2bxc0有兩個相等的實數(shù)根x1x2，由圖2.32可知不等式ax2bxc0的解為 x； 不等式ax2bxc0無解（3）如果0，拋物線yax2bxc（a0）與x軸沒有公共點，方程ax2bxc0沒有實數(shù)根，由圖2.32可知不等式ax2bxc0的解為一切實數(shù)；不等式ax2bxc0無解今后，我們在解一元二次不等式時，如果二次項系數(shù)大于零，可以利用上面的結論直接求解；如果二次項系數(shù)小于零，則可以先在不等式兩邊同乘以1，將不等式變成二次項系數(shù)大于零的形式，再利用上面的結論去解不等式例3 解不等式： （1）x22x30； （2）xx260； （3）4x24x10； （4）x26x90； （5）4x

30、x20 解：（1）0，方程x22x30的解是 x13，x21 不等式的解為 3x1 （2）整理，得 x2x60 0，方程x2x6=0的解為 x12，x23所以，原不等式的解為 x2，或x3（3）整理，得 (2x1)20.由于上式對任意實數(shù)x都成立，原不等式的解為一切實數(shù)（4）整理，得 (x3)20.由于當x3時，(x3)20成立；而對任意的實數(shù)x，(x3)20都不成立，原不等式的解為 x3（5）整理，得 x2x400，所以，原不等式的解為一切實數(shù)例4 已知不等式的解是求不等式的解解：由不等式的解為，可知，且方程的兩根分別為2和3，即 由于，所以不等式可變?yōu)?，即 整理，得 所以，不等式的解是

31、x1，或x說明：本例利用了方程與不等式之間的相互關系來解決問題例5 解關于的一元二次不等式為實數(shù)).分析 對于一元二次不等式,按其一般解題步驟,首先應該將二次項系數(shù)變成正數(shù),本題已滿足這一要求,欲求一元二次不等式的解,要討論根的判別式的符號,而這里的是關于未知系數(shù)的代數(shù)式, 的符號取決于未知系數(shù)的取值范圍，因此,再根據(jù)解題的需要,對的符號進行分類討論. 解: , 當 所以,原不等式的解集為 或； 當0，即a±2時，原不等式的解為 x； 當為一切實數(shù) . 綜上,當a2，或a2時，原不等式的解是 或；當為一切實數(shù) 例6 已知函數(shù)yx22ax1(a為常數(shù))在2x1上的最小值為n，試將n用a

32、表示出來分析：由該函數(shù)的圖象可知，該函數(shù)的最小值與拋物線的對稱軸的位置有關，于是需要對對稱軸的位置進行分類討論 解：y(xa)21a2， 拋物線yx22ax1的對稱軸方程是xa （1）若2a可知,當xa時，該函數(shù)取最小值 n1a2； (2)若a可知, 當x-2時，該函數(shù)取最小值 n4a+5； (2)若a1可知, 當x1時，該函數(shù)取最小值 n-2a+2. 綜上,函數(shù)的最小值為 圖2.33yo21xaxxyo21xaxyo21xa練 習1解下列不等式：（1）3x2x40； （2）x2x120；（3）x23x40； （4）168xx20 x的不等式x22x1a20（a為常數(shù)）習題23a 組1解下列方

33、程組：（1） （2）（3）2解下列不等式： （1）3x22x10； （2）3x240； （3）2xx21； （4）4x20b 組1取什么值時,方程組有一個實數(shù)解?并求出這時方程組的解2解關于x的不等式x2(1a)xa0（a為常數(shù)）c 組1已知關于x不等式2x2bxc0的解為x1，或x3試解關于x的不等式bx2cx402試求關于x的函數(shù)yx2mx2在0x2上的最大值k第三講 三角形與圓3.2 三角形321 三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面圖形，很多較復雜的圖形問題可以化歸為三角形的問題.如圖3.2-1 ，在三角形中，有三條邊，三個角，三個頂點，在三角形中，角平分線、中線、高（如圖3.2-

34、2）是三角形中的三種重要線段. 三角形的三條中線相交于一點，這個交點稱為三角形的重心.三角形的重心在三角形的內部，恰好是每條中線的三等分點.例1 求證三角形的三條中線交于一點，且被該交點分成的兩段長度之比為2：1.已知 d、e、f分別為三邊bc、ca、ab的中點，求證 ad、be、cf交于一點，且都被該點分成2：1.證明 連結de，設ad、be交于點g，d、e分別為bc、ae的中點，則de/ab，且，且相似比為1：2，.設ad、cf交于點，同理可得，則與重合， ad、be、cf交于一點，且都被該點分成.三角形的三條角平分線相交于一點，是三角形的內心. 三角形的內心在三角形的內部，它到三角形的三

35、邊的距離相等.（如圖3.2-5）例2 已知的三邊長分別為，i為的內心，且i在的邊上的射影分別為，求證：.證明 作的內切圓，則分別為內切圓在三邊上的切點，為圓的從同一點作的兩條切線，同理，bd=bf，cd=ce.即.例3 若三角形的內心與重心為同一點，求證：這個三角形為正三角形.已知 o為三角形abc的重心和內心.求證 三角形abc為等邊三角形.證明 如圖，連ao并延長交bc于d.o為三角形的內心，故ad平分，（角平分線性質定理）o為三角形的重心，d為bc的中點，即bd=dc.，即.同理可得，ab=bc.為等邊三角形.三角形的三條高所在直線相交于一點，該點稱為三角形的垂心.銳角三角形的垂心一定在

36、三角形的內部，直角三角形的垂心為他的直角頂點，鈍角三角形的垂心在三角形的外部.（如圖3.2-8）例4 求證：三角形的三條高交于一點.已知 中，ad與be交于h點.求證 .證明 以ch為直徑作圓，在以ch為直徑的圓上，.同理，e、d在以ab為直徑的圓上，可得.，又與有公共角，即.過不共線的三點a、b、c有且只有一個圓，該圓是三角形abc的外接圓，圓心o為三角形的外心.三角形的外心到三個頂點的距離相等，是各邊的垂直平分線的交點.練習11求證：若三角形的垂心和重心重合，求證：該三角形為正三角形.2 （1） 若三角形abc的面積為s，且三邊長分別為，則三角形的內切圓的半徑是_;（2）若直角三角形的三邊

37、長分別為（其中為斜邊長），則三角形的內切圓的半徑是_. 并請說明理由.332 點的軌跡在幾何中，點的軌跡就是點按照某個條件運動形成的圖形，它是符合某個條件的所有點組成的.例如，把長度為的線段的一個端點固定，另一個端點繞這個定點旋轉一周就得到一個圓，這個圓上的每一個點到定點的距離都等于；同時，到定點的距離等于的點的軌跡.我們把符合某一條件的所有的點組成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡.這里含有兩層意思：（1）圖形是由符合條件的那些點組成的，就是說，圖形上的任何一點都滿足條件；（2）圖形包含了符合條件的所有的點，就是說，符合條件的任何一點都在圖形上.下面，我們討論一些常見的平面內的點的軌跡.從上

38、面對圓的討論，可以得出：（1） 到定點的距離等于定長的點的軌跡是以定點為圓心，定長為半徑的圓.我們學過，線段垂直平分線上的每一點，和線段兩個端點的距離相等；反過來，和線段兩個端點的距離相等的點，都在這條線段的垂直平分線上.所以有下面的軌跡：（2） 和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是這條線段的垂直平分線.由角平分線性質定理和它的逆定理，同樣可以得到另一個軌跡：（3） 到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線.例3 o過兩個已知點、，圓心的軌跡是什么？畫出它的圖形.分析 如圖3.3-11，如果以點為圓心的圓經(jīng)過點、，那么；反過來，如果一個點到、兩點距離相等，即，那么以為圓心，oa

39、為半徑的圓一定經(jīng)過、兩點.這就是說，過、點的圓的圓心的軌跡，就是到、兩點距離相等的點的軌跡，即和線段兩個端點距離相等的點的軌跡.答：經(jīng)過、兩點的圓的圓心o的軌跡是線段的垂直平分線.練習21畫圖說明滿足下列條件的點的軌跡：（1） 到定點的距離等于的點的軌跡；（2） 到直線的距離等于的點的軌跡；（3） 已知直線，到、的距離相等的點的軌跡. 2畫圖說明，到直線的距離等于定長的點的軌跡.a組1 已知弓形弦長為4，弓形高為1，則弓形所在圓的半徑為（ ）a b c3 d42 在半徑等于4的圓中，垂直平分半徑的弦長為（ ）a b c d3 ab為o的直徑，弦，e為垂足，若be=6，ae=4，則cd等于（ ）

40、a b c d4 如圖3.3-12，在o中，e是弦ab延長線上的一點，已知ob=10cm,oe=12cm，求ab。b組1 如圖3.3-13，已知在中，以c為圓心，ca為半徑的圓交斜邊于d，求ad。2 如圖3.3-14，在直徑為100mm的半圓鐵片上切去一塊高為20mm的弓形鐵片，求弓形的弦ab的長。3 如圖3.3-15，內接于o，d為的中點，于e。求證：ad平分。4 如圖3.3-16，c、d是的三等分點，ab分別交oc、od于點e、f，求證：ae=bf=cd。5 已知線段.畫出到點的距離等于的點的軌跡，再畫出到點的距離等于的點的軌跡，指出到點的距離等于，且到點的距離等于的點，這樣的點有幾個？參

41、考答案第一講 數(shù)與式1.1.1絕對值1（1）； （2）；或 2d 33x18習題11a組1（1）或 （2）4x3 （3）x3，或x321 3（1） （2） （3） b組1（1） （2），或 24c組1（1）c （2）c 2 34提示：第二講 函數(shù)與方程2.1 一元二次方程練習1 （1）c （2）d 2 （1）3 （2）有兩個不相等的實數(shù)根 （3）x22x303k4，且k041 提示：(x13)( x23)x1 x23(x1x2)9習題21a 組1 （1）c （2）b 提示：和是錯的，對于，由于方程的根的判別式0，所以方程沒有實數(shù)根；對于，其兩根之和應為 （3）c 提示：當a0時，方程不是一元二次方程，不合題意2 （1）2 （2） （3）6 （3）3當m，且m0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當m時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當m時，方程沒有實數(shù)根4設已知方