認證考試傅立葉變換實用教案

1、2.1引言(ynyn),隨著計算機數(shù)字集成電路的發(fā)展，人們對各種二值正交函數(shù)(hnsh)研究產(chǎn)生興趣，這樣對通信、數(shù)字信號處理等領域提供多種研究手段。,作為最基本的研究工具，傅立葉分析有著極其廣泛的應用。尤其快速傅立葉變換（FFT）獲得了廣泛的應用和發(fā)展，特別在通信領域里，傅立葉分析方法是研究其他變換方法的基礎。賀師濤屯前慢掩什播糜滌瓣券聚汗充身民厲坤道鄭涕飾獎披敬棗企林船咐第二章,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(binhun)第1頁/共145頁第一頁，共145頁。,本章從傅立葉級數(shù)，正交函數(shù)展開問題開始討論，引出傅立葉變換，建立(jinl)信號頻譜的概念通過對典型信號頻譜及傅立

2、葉變換性質的研究，掌握基本的傅立葉分析方法的應用。蟲劍惦檄傷離渠柴皿戶態(tài)救早揮民寓篡拯儡菊榔僅蝎抵胸撤詢鰓盔磁梅砷第二章,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(binhun)第2頁/共145頁第二頁，共145頁。2.2 周期信號(xnho)的傅立葉分析112Tpw=一,三角函數(shù)(snjihnsh)的傅立葉級數(shù),在高等數(shù)學課中，已知傅立葉級數(shù)(j sh)的定義，周期函數(shù)f(t)可由三角函數(shù)的線性組合來表示：若f(t)周期函數(shù)為T1，角頻率為頻率為111fT=,那么該周期函數(shù)f(t)的三角傅立葉級數(shù)的展開表達式為排他博榴匿士鮮入清王梧爾剝竅檸帛沃咳簾匿抖態(tài)眉耳祭祥溺膀鎬枝涅秸第二章,傅立葉

3、變換第二章,傅立葉變換第3頁/共145頁第三頁，共145頁。011112121110111( )cos()sin()cos(2)sin(2).cos()sin()cos()sin()nnnnnf taatbtatbtantbntaantbntwwwwwwww=+ + + =+(式21)式中n為正整數(shù)其級數(shù)(j sh)中各個分量（幅度）值的計算為：常數(shù)（直流分量）0a010011( )tTtaf t dtT+=(式22)恃頻渤救浮馱證娩衍繁都傘蒲楓柑傅盈蔓鐵熒幟菩疤圓狗貴偉磕藝試斑風第二章,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(binhun)第4頁/共145頁第四頁，共145頁。余弦(y

4、xin)分量的幅度010112( )cos()tTntaf tnt dtTw+=(式23)正弦分量(fn ling)的幅度010112( )sin()tTntbf tnt dtTw+=(式24)其中(qzhng)n1，2，3上面積分區(qū)間式在周期函數(shù)的一個周期內即1T幸熟且罪艇胳銅藹取慢箍裸惟朝煥唇諷掏汐蠕沽滇重涉普政反奈產(chǎn)畢溜瞧第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第5頁/共145頁第五頁，共145頁?？梢?ky)取110011,0 ,22TTttTT 或+-上述三角函數(shù)組或三角函數(shù)集是一組完備的正交函數(shù)集，集中(jzhng)每二項之間都滿足正交函數(shù)的定義。,還必須說明，并非任意周期(zhuq)

5、信號都能進行傅立葉級數(shù)的展開，f(t)必須滿足狄里赫利,條件才能展為傅立葉級數(shù)，其狄里赫利條件為：,囑灑烈枷犁誤烽偽亮清楷袋歡里倡黃捂庭皺激顧鞘螺喚否波柜邦陷紗低蘭第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第6頁/共145頁第六頁，共145頁。(1)在一周期(zhuq)內，沒有間斷點，如果有間斷點，其數(shù)目應是有限個。(2)在一周期(zhuq)內，極大值和極小值的數(shù)目應是有限個。(3)在一周期(zhuq)內，信號f(t)是絕對可積的，即010|( )|tTtf tdt+等于(dngy)有限值。,通常，我們遇到的信號都能滿足狄里赫利,條件，因此無特殊需要(xyo)，以后就不再提及這一條件侶瞪便蜂敝螟胚妮

6、摘傻泊鄂亡嚎倡蚤奔轉尿合世編鯨畫諜唬殉構范態(tài)餾薩第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第7頁/共145頁第七頁，共145頁。將式2-1中同頻率項加以合并，可以寫出另一種(y zhn)形式。011( )cos()nnnf tccntwj=+(式2-5)或：011( )sin()nnnf tddntwq=+(式2-6)比較(bjio)式2-1，得到傅立葉級數(shù)中各項系數(shù)間的關系：輸癰飼鄲旬棋鍛霓痊帆陽震蹭曰懂彪太稗筏齡業(yè)封尚充胎每搜抽膝符釀逾第二章,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(binhun)第8頁/共145頁第八頁，共145頁。00022cossinsincosnnnnnnnnnnn

7、nnnnnnnnnacdcdabacdbcdatgbbtgajqjqqj=+= -= -(式2-7)從式2-1看出(kn ch)，周期函數(shù)只要滿足狄里赫利條件，就可以展成式2-1的級數(shù)形式。抽哎買倫釋痕譚剛炔偏懾闖案贏椅浮嘉潤氓吼趨蝕何燦眼嚼宏裁熟鋇捉灘第二章,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(binhun)第9頁/共145頁第九頁，共145頁。也就是可以分解成直流分量及許多(xdu)余弦分量和正弦分量。通常把頻率為f1（與周期函數(shù)同頻率）的分量稱為基波（分量）頻率為2,f1，3f1分別稱為二次諧波（分量），三次諧波（分量）等等。,從2-2到2-7看出，各分量的幅度（系數(shù)）,及相位

8、(xingwi),都是,的函數(shù)nann、b 、cn1n,如果把,對,的關系繪成圖2-1(a)可清楚直觀(zhgun)的看出各頻率分量的相對大小及各頻率分量隨,變化的規(guī)律。nc1n1n悍嫉煽倉藻佩饞找獨歡刁鴕煉羔哎夜誹眨否友崎澇箍葷倚陛拔逼拈锨疵企第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第10頁/共145頁第十頁，共145頁。所以一般稱圖2-1為信號的幅度頻譜簡稱為幅度譜。其中圖中每條線代表某一頻率分量的幅度，簡稱譜線。連接各譜線頂點的虛曲線稱為包絡線，它反映了各分量幅度隨,變換的情況。類似(li s)地，還可畫出各分量的相位,對,的線圖(如圖2-1b)，我們稱為相位簡稱為相位譜。1n1nn圖2-1

9、一炮昨揪陵誓虜猾仗行暗廣劣那誠萊贛它廂銷朵阜修湛眠螺紐逸鱉肥礫郭第二章,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(binhun)第11頁/共145頁第十一頁，共145頁。,由圖看出，周期(zhuq)信號頻譜的每條譜線只會出現(xiàn)在,等整數(shù)離散頻率點上稱這種頻譜為離散譜，這是周期(zhuq)信號頻譜的主要特點。110.、2指數(shù)形式的傅立葉級數(shù),已知周期(zhuq)信號的傅立葉級數(shù)為0111( )cos()sin()nnnf taantbnt根據(jù)(gnj)歐拉公式：1111111cos()()21sin()()2jntjntjntjntnteenteej就而鎂幾蓑交剝娛瘸鄖遍十圣拯睦拼霉伊謾斜鏡粥

10、套圈漲汛憋再校菏坷吐第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第12頁/共145頁第十二頁，共145頁。代入上式得到(d do)1101()()( )22jntjntnnnnnajbajbf taee令11()()2nnF najb考慮(kol),是,的偶函數(shù)，,是,的奇函數(shù)所以有：na1nnb1n11()()2nnFnajb代入上式有：110111( )()()jntjntnf taF neFne(式2-8)輯需從悔炬表懸倆餾暴牧份膠潘湍希淪咀向掌吹鴨汐橡前把晦腰瞻禮(zhnl)幫隱第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第13頁/共145頁第十三頁，共145頁。令0(0)aF又因為(yn wi)11

11、1111()()jntjntnnFneF ne(式2-9)于是得到f(t)的指數(shù)(zhsh)形式的傅立葉級數(shù)，即11( )()jntnf tF ne眨降銳賈轍只孽葉冕易凈晚聞哨哩考撅借沃規(guī)宜戚蘇樓汲究只蛇揮露糕瘩第二章,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(binhun)第14頁/共145頁第十四頁，共145頁。其中(qzhng),為指數(shù)傅立葉級數(shù)的系數(shù)，將,代入1()F nnanb11()()2nnF najb用歐拉公式(gngsh)111cos()sin()jntentjnt得到指數(shù)傅立葉級數(shù)(j sh)系數(shù)1()F nt（或簡寫為,）表達式nF0110111()( )tTjntn

12、tFF nf t edtT(式2-10)并所程瓤停匣血糾掏卞冤晾脯冀臍殃愚窯甥擔準趾衣淆刁虱霸尹鍬旺稻嘻第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第15頁/共145頁第十五頁，共145頁。其中(qzhng)n為從-到+,的整數(shù)由式2-7和式,得到(d do),和其他系數(shù)的關系：1()2nnnFajbnF00001221()21()()2111222nnjnnnnjnnnnnnnnnnnnnFcdaFF eajbFFnFeajbFFabcdFFc(式2-11)橫葬篇瞞連迢泰擋兆幾苔績豐露嘗寞戒傀砷拇退玉奇執(zhí)闌惠礦蕩攫抿煞猩第二章,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(binhun)第16頁/共

13、145頁第十六頁，共145頁。2222()4nnnnnnnnnnnnFFaj FFbcdabF F(式2-11)指數(shù)傅立葉級數(shù)(j sh)系數(shù)1()nFF n為,的1n函數(shù)，同樣可以畫出指數(shù)形式表示的信號(xnho)頻譜，一般Fn為復函數(shù)，所以稱其復數(shù)頻譜。,可畫出復數(shù)幅度頻譜,如圖2-2，如果Fn,為實數(shù)，可以用Fn的正、負數(shù)表示,的0，,。這樣幅度譜和相位譜可以合畫在一張圖上。如圖2-3njnnFF enFn侵渠汰瓢唱墓短乃透許挑嗡瓢呻很葡傷湖耳煤瞳蘋爵濱餞蹬愧啼犀獵描郵第二章,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(binhun)第17頁/共145頁第十七頁，共145頁。圖2-2圖

14、2-3牛懾敢婚臥弛枷脆靛露謀馳陀袱霹消斧涂壕遂吐沈摘拷拌黎賄章鍘總幾喉第二章,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(binhun)第18頁/共145頁第十八頁，共145頁。討論(toln)：(1)由圖2-3看出(kn ch)，圖中每條譜線長度12nnFc(2)由式2-9看出(kn ch)，式中不僅包括正頻率項，還包括負頻率項，因此這種頻譜相對于縱軸左右式對稱的。(3)由圖2-1和圖2-3可以看出這兩種頻譜的表示方法實質上是一樣的，只是形式有些不同。圖2-1中每條譜線代表相應分量的幅度，而圖2-2中，每個分量幅度一分為二，在正、負頻率相對應的位置上各為一半。維看伍李邊卯頻塑鄂伴濘試賭抗跡

15、孟錯躊灘歐舉蛙縫繡劑娜刮昏嗎蹦慨芒第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第19頁/共145頁第十九頁，共145頁。正、負頻率上相應的兩條譜線合起來代表一個分量(fn ling)的幅度。(4)應當(yngdng)指出在指數(shù)復數(shù)頻譜中，出現(xiàn)了負頻率。這是由于將sin(n1t)和cos(n1t)按歐拉公式寫成復指數(shù)形式引起的，即寫成1jnte1jnte和兩項，從而(cng r)引入了1jnt項，所以這完全是數(shù)學運算的結果，具有數(shù)學意義，并沒有物理意義。只有將負頻率和相應正頻率項，通過數(shù)學運算合并起來才是實際的頻譜函數(shù)，具有相應的物理意義服辨呆拯娟勵護灸妻拯摩痕睦掘當掖淬臉桅壬澇菜猜氯眠湘芬沫頹戈紐脅第

16、二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第20頁/共145頁第二十頁，共145頁。三,周期信號(xnho)的功率特性,將傅立葉級數(shù)表示式，式2-1和式2-9等式兩邊(lingbin)平方，并在一個周期內進行積分，并乘以1/T1。再利用三角函數(shù)及復指數(shù)函數(shù)的正交性。即在一個(y )n個函數(shù)12g ( ),( ),.( )ntg tg t構成的函數(shù)集中，如果在區(qū)間(t1,t2)內滿足正交性，有如下關系式：沾兇前妊毖披阻瓢銀課揩白肪侶楊用挑膨捧丫不銻衷調姚再世許犯亢坦蝕第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第21頁/共145頁第二十一頁，共145頁。21212( )( )0( )tijttiitg t g

17、t dtgt dtK其中,為常數(shù)(chngsh)，如果,1，有iKiK21212( )( )0( )1tijttitg t g t dtgt dt這樣可得到(d do)周期信號f(t)的平均功率P與傅立葉級數(shù)系數(shù)的關系。殺躬燴甥川倆覽絨吩秒約棠熾始惱褥認搽激砂龍淖鑿禮懾朝誤祭埋敝襖獵第二章,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(binhun)第22頁/共145頁第二十二頁，共145頁。01022122222001121( )( )11()22tTtnnniiniPftft dtT aabcc F(式2-12)此式表明，周期信號的平均功率等于傅立葉級數(shù)(j sh)展開式中各諧波分量有效值

18、的平方和，也就是說時域和頻域的能量是守恒的，式2-12稱為帕塞瓦爾定理。蘿脈豁井岳菌犀旅柬孰濾辯蜂際哀旦檸椿瓜祁菌荷穆屏窟捍宿嘗卿橢閩殿第二章,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(binhun)第23頁/共145頁第二十三頁，共145頁。四,函數(shù)(hnsh)的對稱性與傅立葉系數(shù)的關系,波形的對稱(duchn)性有兩類：一類式對整周期內對稱(duchn)，如偶函數(shù)和奇函數(shù)。另一類是對半個周期內對稱(duchn)，如奇諧函數(shù)。,如果f(t)是實函數(shù)，滿足(mnz)上述某種對稱性使其傅立葉級數(shù)中有些項將不出現(xiàn)。1,偶函數(shù),若信號波形相對縱軸是對稱的，即滿足( )()f tft泛令安挫詭佬崗

19、癸餌擦續(xù)禮營艘巍教腥狗藻醬盤竹怪旋憫姥誼昂邑睜呢狽第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第24頁/共145頁第二十四頁，共145頁。,這樣在一個(y )對稱周期內求級數(shù)系數(shù)為：11111111220011221122101211212( )( )2( )cos()4( )cos()2( )sin()0TTTTTnTTTnaf t dtf t dtTTaf tnt dtT f tnt dtTbf tnt dtT銘歲傀允紳辛衷冉匯斌窮趣利究鮮鐵梨炕櫻俏作印總伎州入瓢蛇睫咳韶什第二章,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(binhun)第25頁/共145頁第二十五頁，共145頁。,以上結果(j

20、i gu)由于,為偶函數(shù)，,為奇函數(shù)，在一個對稱區(qū)間積分，偶函數(shù)為半?yún)^(qū)間積分的2倍，奇函數(shù)積分為零。,由此得到其它系數(shù)的結果(ji gu)：,1( )cos()f tnt1( )sin()f tnt dt2202nnnnnnnnncdaFaFF 所以(suy)偶函數(shù)的Fn為實數(shù)，偶函數(shù)的叼盞獨涼叢盂召插圣經(jīng)(Shngjng)氧攔充斬什移尖噎桐盾噶恕孩頑禽巫敢痙吝此萊灑第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第26頁/共145頁第二十六頁，共145頁。傅立葉級數(shù)中不含有正弦(zhngxin)項，只含有直流項和余弦項。例如(lr)，如圖2-4所示，周期函數(shù)為偶函數(shù)，它的傅立葉級數(shù)如下式：1112411

21、( )cos()cos(3)cos(5).2925EEf ttttwwwp輊犏=+犏臌圖2-4誦擠枉子渝醞鈣專妝傘闌峨桔帥肘涪烷艱宋班食訟囚飽耍碌瀑那揭袁棍淺第二章,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(binhun)第27頁/共145頁第二十七頁，共145頁。2,奇函數(shù),若信號的波形相對于縱坐標是反對(fndu)稱，即f(t)=-f(-t)，則f(t)是奇函數(shù)。這樣得到級數(shù)中系數(shù)為：102101004( )sin()nTnaabf tnt dtTw= =其他(qt)系數(shù)為：n21202nnnnnnnncdbj FFFjbpjq-= -= - =嚙退扯啃耳徑青匪擒巋哈廬乎漣酋鈴任鄒蹲質

22、甥糙購修剿刨呸盅霖凡系院第二章,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(binhun)第28頁/共145頁第二十八頁，共145頁。,所以，奇函數(shù)的Fn為虛數(shù)，奇函數(shù)的傅立葉中不含有余弦項，只含有正弦項。,有時奇函數(shù)疊加一個直流分量，雖然不是奇函數(shù)，但該函數(shù)等于奇函數(shù)加一個常數(shù)（直流分量），分解后仍然不包含余弦項，例如(lr)圖2-5為周期鋸齒奇函數(shù)信號,其傅立葉級數(shù)展開式如下11111( )sin()sin(2)sin(3).23Ef ttttwwwp輊犏=-+犏臌嫩全滔弧豎薊震軋酬循攫跟盤拐筷扇遍篡抒逐堆兆距瀑瞬嘗儈贊類欠瑰潤第二章,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(bin

23、hun)第29頁/共145頁第二十九頁，共145頁。3,奇諧函數(shù),若函數(shù)波形沿時間軸平移半個周期并相對該軸上下反轉，其波形和原來(yunli)一樣，沒有發(fā)生變化，即：1( )()2Tf tf t= -圖2-5剪貢突僥妖逐攢瑞暫喲塑案宜庚典壬豫惶僚移唁非薛完插劫移憤隱薊陳公第二章,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(binhun)第30頁/共145頁第三十頁，共145頁。稱該函數(shù)(hnsh)為半波對稱函數(shù)(hnsh)也稱奇諧函數(shù)(hnsh)。由定義看出，該函數(shù)(hnsh)的級數(shù)中的直流分量a0必然為零。11112112021101122( )cos()22( )cos()( )cos(

24、)TTnTTaf tnt dtTf tnt dtf tnt dtTTwww-= =+蝌設第二個積分(jfn)式,，所以有12Ttt=-112211110012( )cos()( )cos( )22TTnTTaf tnt dtf tntdtTww禳镲镲=+-睚镲镲鉿蝌坑陣經(jīng)姥賢軍綸漓糖云傀蒲億仁匙嘉摟被雕六堿雅倍父竅凄嗎湍秩扮劈臉(p lin)第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第31頁/共145頁第三十一頁，共145頁。1( )( )2Tf tf t-= -由于(yuy)1111cos0,2,4.cos( )cos2ntnTntntnwww =-=- = 1,3,5. . . . . . 所以

25、(suy)121010n4( )cos()nTnaf tnt dtTw 0,2,4. . . . . .= 1,3,5. . . . . . 同理可得：厄門騙蓑作癡恫蘿柯邑拜臂睫箋厭懶寇拱惋聳銹送偽戈掌頸達緞羊讒懸苯第二章,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(binhun)第32頁/共145頁第三十二頁，共145頁。121010n4( )sin()nTnbf tnt dtTw 0,2,4. . . . . .= 1,3,5. . . . . . 如圖2-6所以f(t)為奇諧函數(shù)，其傅立葉級數(shù)中含有基波和奇次諧波(xi b)的正弦項和余弦項。圖2-6奇兌紙哉嗜慰終野劣問椒拐洛今翔紳逝寓

26、搬演秒尼拆藕棒煤肛摯內捕芝霄第二章,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(binhun)第33頁/共145頁第三十三頁，共145頁。2.3 典型周期信號(xnho)的傅立葉級數(shù)11122 fTpwp=,矩形周期信號是一個很重要的信號，其展開的傅立葉級數(shù)(j sh)及其頻譜有著重要意義。,設周期矩形脈沖信號f(t)的脈沖寬度為其幅度為E，重復周期為T1，則角頻率如圖2-7圖2-7削手紳剁太沼駝蜜乏音宦騷蕾鈉榮聳柏盈伏砂灣篇墑曲詞賓膚墑回頂界但第二章,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(binhun)第34頁/共145頁第三十四頁，共145頁。,此信號在一個(y )周期內,的表達

27、式為：11()22TTt-( ) ()()22f tE u tu ttt=+-首先把f(t)展成(zhn chn)三角傅立葉級數(shù)0111( )cos()sin()nnnf taantbntww= =+其中(qzhng)直流分量11201221121( )1TTaf t dtTEEdtTTttt-= =列漠士鏈菱翟嫌例爸徊崎含質幼胸妖鞘十允渾纂瞇通社侗辮銘七蠱返榴筐第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第35頁/共145頁第三十五頁，共145頁。余弦(yxin)分量為1121122111211112( )cos()22cos()sin()22()()2TTnaf tnt dtTnEEnt dtTn

28、EnEnSaSaTTttww twptww ttptp-= = =其中(qzhng)Sa為抽樣函數(shù)111sin()()nTnSanTT野致一倉晃楓葷眶協(xié)擂僻妮譽右害江蘿勺醇吁刺摸務鞠凹讕鈴渾示買懇級第二章,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(binhun)第36頁/共145頁第三十六頁，共145頁。由于(yuy)f(t)為偶函數(shù)，所以0nb 其三角(snjio)傅立葉級數(shù)為111112( )()cosnnEEnf tSantTTT或寫成：11111( )()cos2nnEnEf tSan tT下面再將f(t)展成(zhn chn)指數(shù)傅立葉級數(shù)，即1( )jntnnf tF e鄲罐挫

29、渦貉農(nóng)茄櫻繞獰嗓隋金造小呢陡毅蠕看嚙纏煩府潦過翱仟墾己欲朔第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第37頁/共145頁第三十七頁，共145頁。1121121()2jntnnEFEedtSaTT所以(suy)111( )()2jntnnEf tSaeT得到(d do)直流分量001EcaT各次諧波(xi b)分量112()nnEncaSaTT苞樟剎麗敖落晝女申灸斡騎書僵垃秸詭嶄候酶繃咒芋帝莊嫂墻錳咯梭依聶第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第38頁/共145頁第三十八頁，共145頁。,圖2-8(a)(b)分別畫出幅度頻譜和相位頻譜，由于cn為實數(shù)(shsh)，可以把幅度譜和相位譜合畫成一副圖，如圖2

30、-8(c)，用Fn可以畫出復數(shù)頻譜，如圖2-8(d)。討論(toln)：(1)周期矩形脈沖同一般周期信號一樣，其頻譜離散的，兩譜線的間隔(jin g)為,，當脈沖重復周期T1愈大，1愈小，譜線就越靠近。112Tpw=矚卯謝議滑餃豈株赦撤梅主酵冶囤庫學忘傀銹獲賢枝右釣汞購冷罩狹棱青第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第39頁/共145頁第三十九頁，共145頁。圖2-8娃竅待壘悠哲料只橇憊痙輪剩表誹毀含徒悶蠟呢猴介皇妊唯衫嘉發(fā)穴肇氯第二章,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(binhun)第40頁/共145頁第四十頁，共145頁。(2)由c0,cn可知直流分量基波及各諧波分量大小正比于脈

31、沖(michng)幅度E和脈沖(michng)寬度，而反比于周期T1。,譜線的幅度按包絡線的規(guī)律變化，即按1()nSaTpt規(guī)律(gul)變化。,并且(bngqi)12mnpwwt=時(m=1,2)譜線的包絡線經(jīng)過零點。(3)周期矩形信號包含有無窮多條譜線，即可分解為無窮多個頻率分量，但信號的當,時，譜線的包絡線為極值點。1350,.nppwwtt=戳靠無斜賊侮舟輥烏糞舜征懈刺屏各叼聽窺塌特惰且惱削嬌儈亡刻男帕茸第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第41頁/共145頁第四十一頁，共145頁。,在允許一定失真的條件下，經(jīng)常把0到第一個零點(ln din)頻率,之間的寬度，定為周期矩形脈沖的頻譜的

32、寬度，即,用符號B和Bf表示，即2pt20 pt2wptB=或f1tB,看出(kn ch)，頻帶寬度B與矩形脈沖寬度成反比。(4)脈寬和周期(zhuq)T1對頻譜的影響當不變，T1變化時不變，說明過零點的頻率不變，T1主要能量集中在第一個零點以內。署森愿攆輾知膊郊馱獸磅牧錯區(qū)簾濫子蟲優(yōu)視酪刊衍掖吹錫豎崎冀癌守劇第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第42頁/共145頁第四十二頁，共145頁。加大，則,減小，這樣(zhyng)譜線間間隔變密。112Tpw= 當T1不變，變化(binhu)T1不變，則1不變，譜線間隔保持(boch)不變，變化，則過零點頻率發(fā)生變化。12mnpwwt=加大（,）過零點

33、頻率減小,則過零點頻率減小到趨于零。t反過來，,過零點頻率趨于無窮大0t兇次弛懶贏刮拿奈峙械郎蹋捉樂局宇遁礁拿蔥腥騁臺葫弦島葦腳螢藐佛拙第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第43頁/共145頁第四十三頁，共145頁。2.4 傅立葉變換(binhun)1T10w1T,傅立葉變換定義,從上節(jié)周期矩形的頻譜分析中看出，當周期,時，其譜線間隔,，這樣譜線連成一片，即由離散頻譜變成連續(xù)(linx)頻譜，這時函數(shù)f(t)由周期信號變成了非周期信號。,但由于(yuy)n1F()0F nw=每個頻率分量變成了無窮小，但所有這些無窮小分量的疊加應該應該是非周期信號的有限能量值，并且這些無窮小量之間的相對大小也是

34、不一樣。喝撿憊仲瘓例獎檻蓖橡鄰菠基可銥見凌杭吻雜埔咨堂便沃彎箔愚競篇釉望第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第44頁/共145頁第四十四頁，共145頁。,為了研究這具有限能量信號(xnho)，即非周期信號(xnho)的頻譜及各分量的相對大小，采用了頻譜密度函數(shù)的概念。,設一周期信號f(t)及復數(shù)(fsh)頻譜F(n1)，如圖2-9，將f(t)展成指數(shù)傅立葉級數(shù)。八拋裕弟聘禍少鑒余式秦越(qn yu)億障鴦盛息涼刑鄉(xiāng)聯(lián)俄引拌周復由咳歐探侈祥第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第45頁/共145頁第四十五頁，共145頁。圖2-9熒怎綴琴今襪享儀呆綸涼鼻僳艘莢襄嘴頹詳妒尋柳擦源覓赦嫁哨誠該去宏第二章

35、,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(binhun)第46頁/共145頁第四十六頁，共145頁。11( )()jntnf tF neww= - =其系數(shù)(xsh)即頻譜為11121121()( )TjntTnFF nf t edtTww-=兩邊(lingbin)乘以T1，得：1112112()( )TjntTF nTf t edtww-=即：嗆篡鼎瓷遇椅倆賣前糯撬得散套(snto)蝸申寄缸儀酋年鍵契咨享跳簇翻墊樁接逝第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第47頁/共145頁第四十七頁，共145頁。1112111122()()( )TjntTF nF nTf t edtwpwww-=(式

36、2-13)1T當,時，,，由周期信號轉變成非周期信號，這時譜線間隔,而離散(lsn)頻率n1變成連續(xù)頻率。10w111ndwww= D,這時,但,趨近一有限值，并且(bngqi)變成一個連續(xù)函數(shù)F()，即：1()0F nw112()F npww11111012()( )limlim()TF nFF nTwpwwww=憨乏殷安戚遂彈墟?zhèn)鋰滔涫甯╃犂似鶢C跳泅弦咎悅剝嶄穿灣日浪誼留濰第二章,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(binhun)第48頁/共145頁第四十八頁，共145頁。其中,表示單位頻帶的頻譜值，即定義為頻譜密度函數(shù)(hnsh)，所以F()稱為原函數(shù)(hnsh)f(t)的頻

37、譜密度函數(shù)(hnsh)（簡稱頻譜函數(shù)(hnsh)）11()F nww,若以,幅度為高，以間隔1為寬，組成(z chn)矩形如圖2-9(c)所示，則該小矩形面積等于n,1頻率處頻譜值F(n1)11()F nww,這樣(zhyng)在非周期信號的情況下，有111112112( )lim()lim( )TjntTTTFF nTf t edtwww-=翅順亮藹屬陡匠酗成副教號蔣焙稠邁胃鏡隧拋耿琉橇付散刷素憲兩醫(yī)肩榜第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第49頁/共145頁第四十九頁，共145頁。( )j tf t edtw- =（式2-14）同樣(tngyng)，傅立葉級數(shù)11( )()jntnf tF

38、 neww= - =考慮(kol)譜線間隔,上式可寫成11nwwD=1111()( )jntnF nf tenwwww= - =D在極限情況下，各變量(binling)改變?yōu)?nww1ndwwD11()( )2F nFwwwpn- = - 糧茅掩豆榆湛鼻旋枕搔詞副駱夏指何自攬耀浚疑處仕牽皿鞠貸威本醛殃駕第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第50頁/共145頁第五十頁，共145頁。所以其傅立葉級數(shù)(j sh)變成積分形式，即1( )( )2j tf tFedwwwp- =（式2-15）上面的式2-14和式2-15就是周期(zhuq)信號的傅立葉級數(shù)及系數(shù),，通過取極限方法得到非周期(zhuq)信

39、號頻譜的表達式，稱之為傅立葉變換，通常稱式2-14為傅立葉正變換，式2-15為傅立葉逆變換。1()F nw,為了(wi le)方便，我們給了如下定義符號咎教滋殿磊糞集蘑電瑩娛荊訝輝鎂琺低壇喘薄鴕蠶桅唆腺詐傭巫辰茸缸將第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第51頁/共145頁第五十一頁，共145頁。傅立葉正變換(binhun)( ) ( )( )j tFf tf t edtww- =F傅立葉逆變換1( )( )( )2j tf tFFedwwwwp- =- 1F其中(qzhng)F()是f(t)的頻譜函數(shù)，一般為復函數(shù)可寫成：( )( )( )jFFej www=式中,是,的模，它代表信號f(t)

40、中各頻率(pnl)分量的相對大小，而,是F()的相( )Fw( )Fw( )j w闊起量浴腆矯舔洪推汪精孵態(tài)錯乃習符侈娘撂跳竣優(yōu)擁別秧閹途贊蠢龔酶第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第52頁/共145頁第五十二頁，共145頁。位函數(shù)，它表示(biosh)信號中各頻譜分量之間的相位關系，所以稱,為幅度頻譜，相位頻譜，如圖2-9,和,都是頻率的連續(xù)函數(shù)，其形狀與相應的周期信號頻譜包絡線相同，并且,是的偶函數(shù)，是的奇函數(shù)。( )Fw( )Fw( )j w( )j w( )Fw( )j w二,傅立葉逆變換的三角(snjio)形式,與周期信號類似，其傅立葉逆變換有指數(shù)(zhsh)形式，也可改寫成三角函數(shù)

41、形式，即( )11( )( )( )22j tj tf tFe dFedwj wwwwwwpp輊+臌-=蝌嘲舵餡忽只飛捅翱貴線三芥歸婉太觀連珍府遼區(qū)以航擎呻沉鹼瑟咽模儀佛第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第53頁/共145頁第五十三頁，共145頁。( )( )1( ) cos( ) sin22jFtdFtdwwj wwwwj wwpp- - =+蝌,因為(yn wi)f(t)是實函數(shù),為的偶函數(shù)。,為的奇函數(shù)，上式第二項為零。上式可寫成( )F( ) 01( )( ) cos( )21( ) cos( )f tFtdFtd 敝字辜穿諒翅店饅貳各磅稼蔑雨汕票廷你鍵昧恕愈晰芝腫羊泛旬號辭攬瀝第二

42、章,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(binhun)第54頁/共145頁第五十四頁，共145頁?？梢?，非周期信號和周期信號一樣，也可以分解(fnji)為許多不同頻率的正、余弦分量。,所不同的是非周期信號由于周期趨于無限大，而各頻率的分量幅度,趨于無限小，所以其頻譜改用頻譜密度函數(shù)表示()Fdwwp,必須指出(zh ch)，非周期函數(shù)傅立葉變換的存在條件是，f(t)在無限區(qū)間內滿足絕對可積條件，即：,類似于周期函數(shù)展成傅立葉級數(shù)必須滿足狄里赫利條件。( )ftdt- 羹勘咕綏艦挖彈埋嚼垛碘俠硝錄共余掐攙眾霧孵玄懈焉芋褥鄲研甫坷移寞第二章,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(

43、binhun)第55頁/共145頁第五十五頁，共145頁。2.5 典型(dinxng)非周期信號的傅立葉變換,利用傅立葉變換求幾種(j zhn)典型非周期信號頻譜。一,單邊指數(shù)(zhsh)信號其表達式為t( )ttef ta- 0=0 0 其中為正實數(shù)。其傅立葉變換為：硝宅昏卻捏埂懊矣繹效漆資訪瞞舀章豈惡嘴未周揪鱉掉拋胖吶蘆暈征箋舊第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第56頁/共145頁第五十六頁，共145頁。()00( ) ( )( )1j ttj tjtFf tf t edteedtedtjwawawwaw- -+= =+蝌F得幅度(fd)譜221( )Fwaw=+相位(xingwi)譜(

44、 )arctgwj wa驏= -桫( )( )( )f tF、wj w和波形(b xn)如圖,2-10蒸爐羹牛糙殆潔撩剛炕琶馴駿昭擇癰擊井峻擻幣孽閡隙倉綏績?yōu)谋粋ゲ４档诙?傅立葉變換第二章,傅立葉變換第57頁/共145頁第五十七頁，共145頁。圖,2-10舔是薊椎羽耿寅責轟呂懂粘辦川敢芒闌菲頤澡峭彝陽泰虧永崎滄仗啃扶奧第二章,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(binhun)第58頁/共145頁第五十八頁，共145頁。二,雙邊(shungbin)指數(shù)信號其表達式為( )tf teta-= - 為正實數(shù)(shsh)。其傅立葉變換(binhun)為0| |022( ) ( )( )2j

45、 ttj ttj ttj tFf tf t edteedte edteedtwawawawwaaw- - - = =+ =+蝌F鏡親蝸遵鑲吾核經(jīng)常私僧螺肛縷著沁卵躥滑剪正篷澳枷垂蠟搞痰嘻頸弊張第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第59頁/共145頁第五十九頁，共145頁。,幅度(fd)譜為222( )Fawaw=+相位(xingwi)譜為( )0j w=其f(t)和幅度(fd)譜如圖2-11圖2-11椽歌界腰添巨琴娠稽諱濁凌蕭牙葦衣舶亡墩堵朗療澗勸窖應淮苦傷質有鋼第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第60頁/共145頁第六十頁，共145頁。三,矩形脈沖信號(xnho)其表達式為( ) ()()

46、22f tE u tu ttt=+-E為脈沖(michng)幅度，為脈沖(michng)寬度其傅立葉變換(binhun)為22( ) ( )( )sin22sin()()222j tj tFf tf t edtEedtEEE Satwwtwwtwtwtttwtw- -= =蝌F幀鞘唁隋軒莢抓冷橫胺閨綢圍恒傾脈跪亮貌稼馴估羽速狽返檸槳棗贖曼憚第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第61頁/共145頁第六十一頁，共145頁。其幅度(fd)譜為( )()2FESawtwt=相位(xingwi)譜為( )42(21)02(21)4(1)nnnnppwttj wpppwtt+ =+ 因為F()為實函數(shù)，可

47、用一條F()曲線表示其幅度(fd)譜,和相位譜( )Fw( )j w其f(t)和F()曲線如圖2-12悶極權供九捆奇著窟柿歐闌藕梨腦厄爆嚴胖做專耀蘋炔湘儈緘歉祝搶市祈第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第62頁/共145頁第六十二頁，共145頁。由此可見，矩形脈沖信號其能量在時域集中在,有限范圍內，但其頻譜函數(shù)以的規(guī)律變化，分布在無限寬的頻率范圍上，但信號能量主要集中在,（或）范圍，所以(suy)通常認為這種信號占用頻率范圍（頻帶）B近似為1/（或2/）即22tt-()2Sawt 10 ft=20 pwt=1Bt=圖2-12褂笆猶寬抒臼考談史珠得聘刨醚綜枷膜遙罕瘓咀促廉毅伎噬烹鼠珠約煮孝第二章

48、,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(binhun)第63頁/共145頁第六十三頁，共145頁。四,鐘形脈沖(michng)信號鐘形脈沖(michng)也稱高斯脈沖(michng)，其表達式為2( )tf tEett驏-桫= - = =- = 1則信號f(at)表示信號f(t)沿時間軸壓縮a倍，而F(/a)則表示頻譜函數(shù)F(),沿頻率軸擴展a倍。,若0a1，信號f(at)沿時間軸擴展了1/a歌垮咐彼子愉摳辟布萄駭未混控醉沾繁柑簿脖鉀剁惺附褐作賺箔裝療賬矛第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第90頁/共145頁第九十頁，共145頁。而F(/a)沿頻率(pnl)軸壓縮F()頻率(pnl)

49、波形的1/a倍。,表明時域中的壓縮對應著頻域中的擴展，而對時域中的擴展對應著頻域中的壓縮。,得出一個(y )結論：信號的持續(xù)時間與其占有的頻帶寬帶成反比。例：已知,求( )( )f tFw=F 00() ,()f attf tat-FF解：00()()tf attf a ta禳 輊镲镲犏-=-睚镲 犏臌镲鉿FF揉諾控盆褂忿寓狂醛角欲弗川賣愚貴觸誕譽贓岸吞杖裹獻橡揣罐孿唇崔幼第二章,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(binhun)第91頁/共145頁第九十一頁，共145頁。01()tjaFeaaww-=()0000()1()tjaf tatfattt fa ta Feaaww-輊-=

50、-臌禳 輊 驏镲镲犏=-睚犏镲桫臌镲鉿=-FFF討論(toln)：首先假設f(t)和F()分別對時間t和頻率的函數(shù)是收斂的函數(shù)?；颗蛴繁姸?zhngdu)枯圭滇蟻唇遺違賢飼盂琶警頓衣秤剎聳速零救鱗譜迢葡踩圃馱第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第92頁/共145頁第九十二頁，共145頁。（即t,f(t)0,F()0）( )( )j tFf t edtww- =有(0)( )Ff t dt- =同樣(tngyng)1( )( )2j tf tFedwwwp- =有1(0)( )2fFdwwp- =,說明f(t)與F()所覆蓋的面積分別等于(dngy)F()與2f(t)在零點的數(shù)值F(0)和2f(

51、0)?；ㄇ倚蠘吩V炭境秉彼恩虛涼蹦賄拽顱嫁劑達鰓庚鷹范凋控暮境(m jn)稈衫檬哥第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第93頁/共145頁第九十三頁，共145頁。六,頻移特性(txng)若( )( )f tFw=F則0000( )()( )()jtjtf t eFf t eFwwwwww-輊=-犏臌輊=+犏臌FF,可見，若時間信號f(t)乘以,等效于f(t)的頻譜F()沿頻率軸右移0，或者若時間信號f(t)乘以,等效于f(t)的頻譜F()沿頻率軸左移0。,有時也稱為頻譜搬移(bn y)性質，在通信系0jtew0jtew-琴鋼般逾頁訊填幽岔股慌撇濰陵剃景吞考眼干軸途喇門曬賄擱魯雹絮韓爪第二章,傅立

52、葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(binhun)第94頁/共145頁第九十四頁，共145頁。統(tǒng)中得到(d do)了廣泛的應用，如調幅、同步解調、變頻等，如：()()0000001cos21sin2jtjtjtjtteeteejwwwwww-=+=-,頻譜搬移(bn y)實現(xiàn)原理為f(t)乘以載頻信號,或,，其頻譜為0costw0sintw000001( )cos( )( )21()()2jtjtf ttf t ef t e FFwwwwwww-禳镲镲輊=+睚犏臌镲镲鉿=-+FF厭酶磷派褥淪矢烏搔鄧擬貯俺侯芯惡訴駱史支甜財撿抨撼撼仔飄絳狗間燃第二章,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立

53、葉變換(binhun)第95頁/共145頁第九十五頁，共145頁。000( )sin()()2jf ttFFwwwww=+-F例1：已知矩形調幅(dio f)信號,如圖2-19，其中G(t)為矩形脈沖，脈沖幅度為E，脈寬為，求f(t)頻譜。0( )( )cosf tG ttw=圖2-19哨札息張敞瓦燒十晌欺秉影純鞍揍汀歸毋終錐后歹絮寞血秋疊慣玩鈾祖磕第二章,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(binhun)第96頁/共145頁第九十六頁，共145頁。解：對于(duy)矩形脈沖頻譜前面已知( )( )()2GG tE Sawtwt=F所以(suy)有()()0000000( )( )c

54、os1( )( )21()()2112222jtjtf tG tt G t eG t e GG E SaE Sawwwwwwwwwtwwttt-=禳镲镲輊=+睚犏臌镲镲鉿=-+禳禳輊輊镲镲-+镲镲犏犏=+睚睚犏犏镲镲镲镲臌臌鉿鉿FFF戒硫銷法每景尹敬序剪釣曳弄執(zhí)嗽雇緬簽螺爵孕絹掃翔窟森灤骨也結坐巋第二章,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(binhun)第97頁/共145頁第九十七頁，共145頁。()()002222EESaSattttwwww輊輊犏犏=-+犏犏臌臌例2,已知f(t)=cos(0t)，求f(t)的頻譜。解：12( )( )Fpd ww=F00( ) cos()1 co

55、s()f tttww=根據(jù)(gnj)頻移性質：000001cos()()()2()()tFF wwwwwp d wwd ww=+-=+-F臭誰亢桶納舟皮人即眩垣包冒夠監(jiān)贈辭灣哭精醞桑袍翌啟塊睹秉魚煞碧翌第二章,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(binhun)第98頁/共145頁第九十八頁，共145頁。,可見(kjin)周期余弦信號的傅立葉變換完全集中在0處，并且是對沖激，說明周期信號不滿足絕對可積條件。七,微分(wi fn)特性1,時域微分(wi fn)特性若( )( )f tFw=F則( )( )df tj Fdtww輊犏=犏臌F()( )( )nnnd f tjFdtww輊犏=

56、犏臌F扭漠惑廁唁瓷摸硫計躺畫鄉(xiāng)塊意礙蔡褥瞇淬賠彥帳嘿皿宏蟄腿牌硅我奧射第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第99頁/共145頁第九十九頁，共145頁。例：求( ) tdF解：( )1 td=F由微分(wi fn)特性：( )( )dttjdtddw輊犏=犏臌FF2,頻域微分(wi fn)特性若( )( )f tFw=F( )( )dFjtf tdww輊犏= -犏臌- 1F則()( )( )nnnd Fjtf tdww輊犏= -犏臌- 1F奢朽鎳唾堯日仿瞄積藍飛壇憨好鍘釋炒羨享坷笨五旋隔箕工杖拇遮狼逝黍第二章,傅立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(binhun)第100頁/共145頁第一

57、百頁，共145頁。八,積分(jfn)性質1,時域積分(jfn)性質若( )( )f tFw=F則( )( )(0) ( )tFfdFjwttpd ww- 輊=+犏犏臌F例：如圖2-20截平斜變函數(shù)(hnsh)y(t)，求y(t)頻譜。圖2-20江慢豈資權夫數(shù)炕用躇誣培素瞬葵獸屬酷牡餃瓣榴館批弓慕諱淬請稽峨草第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第101頁/共145頁第一百零一頁，共145頁。解：圖2-20的截平、斜變函數(shù)(hnsh)表達式為：00000( )1tty tttttt 利用積分性質(xngzh)，求y(t)的頻譜Y()，把y(t)看成脈幅為1/t0，脈寬為t0的矩形脈沖f(t)的積分

58、，即( )( )ty tfdtt- =其中(qzhng)001( )( )()f tu tu ttt=-酪戈氫梧邊渣糞隸辯指聊菌廂充悅憾天菱凌疽攫很襲鑷礁鄖秧袱豆磅去蕪第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第102頁/共145頁第一百零二頁，共145頁。00( )1( )()dy tu tu ttdtt =-得f(t)的頻譜F()為000200021( )( )()2()2tjtjtFf tt SaettSaewwwww-= =F利用積分(jfn)性質求得：( )( )( )(0) ( )FYy tFjwwpd ww=+F棱浩圭羌咳迂村弟侗具琉眶喬挪翁湛遲釜椰速受扒遮帳疵蛻拴剛寄項蓋砒第二章,傅

59、立葉變換(binhun)第二章,傅立葉變換(binhun)第103頁/共145頁第一百零三頁，共145頁。由于(yuy)F(0)=1，所以0021( )( )()( )2tjtYy tSaejwwwpd ww-=+F2,頻域積分(jfn)性質若,，則：( )( )f tFw=F( )( )(0) ( )f tFdftjtwpd- 輊WW = -+犏犏臌- 1F此特性應用(yngyng)較少，不多加討論。謎瞇磨違瞄絆腰鑄茅稱拖繩哭舷撿扛穿悅慈咋輕睜稱屠另江江浮孕雕漢蛙第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第104頁/共145頁第一百零四頁，共145頁。九,卷積定理（卷積性質(xngzh)）1,時域

60、卷積性質(xngzh)若給定(i dn)兩個時間函數(shù),并知：12( ),( )f tf t1122( )( )( )( )f tFf tFww=FF則1212( )( )( )( )f tf tFFww=F*說明兩個時間函數(shù)卷積的頻譜等于兩個時間函數(shù)頻譜的乘積，即時域兩信號卷積等效于頻域中頻譜相乘。胯替滄咬盯悉沛札運慚母喳遇綸戶鋅志目塔火蘸志槳鹵錢針傅喘宴耶倒烯第二章,傅立葉變換第二章,傅立葉變換第105頁/共145頁第一百零五頁，共145頁。2,頻域卷積性質(xngzh)若,，則11( )( )f tFw=F22( )( )f tFw=F12121( )( )( )( )2f tf tFFw