高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的意義求導(dǎo)法則與高階導(dǎo)數(shù)知識與練習(xí)

1、導(dǎo)數(shù)的意義基本知識1導(dǎo)數(shù)、單側(cè)導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)的定義：左、右導(dǎo)數(shù)導(dǎo)函數(shù)2導(dǎo)數(shù)的幾何物理意義：幾何意義 ：表示曲線在點處的切線斜率，即其中是切線的傾角。物理意義：表示做變速直線運動的物體在時刻的瞬時速度，即。3在點可導(dǎo)的性質(zhì)：性質(zhì) 1（必要條件）在點可導(dǎo)在點連續(xù)，即： 可導(dǎo)連續(xù)，不連續(xù)不可導(dǎo)。性質(zhì) 2（充要條件）依此用于判定連續(xù)函數(shù)在分段點的可導(dǎo)性。性質(zhì)3在點可導(dǎo)且：當(dāng)有當(dāng)有即的符號指示了在點變化方向！4兩個結(jié)論： 1）可導(dǎo)的偶（奇）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇（偶）函數(shù)；2 ）可導(dǎo)的周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為具有相同周期的周期函數(shù)。下面給出結(jié)論 1 的證明：設(shè)為偶函數(shù)，即又可導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，即為偶函數(shù)。求導(dǎo)的基本知識

2、1. 求導(dǎo)法則（四則運算法則）：若 都在點 具有導(dǎo)數(shù)，那么它們的和、差、積、商（除分母為零的點外）都在 具有導(dǎo)數(shù)，且2. 反函數(shù)的求導(dǎo)法則：若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，可導(dǎo)且，則它的反函數(shù)在區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo)，且即“反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)”。3. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：若可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點可導(dǎo)，且4. 常用求導(dǎo)公式：（略）5. 補充兩個結(jié)論：點連續(xù)且，則點可導(dǎo)點可導(dǎo)。點連續(xù)且，則點可導(dǎo)點可導(dǎo)且。依此，可方便地判定在一點的可導(dǎo)性。點可導(dǎo)，點連續(xù)但不可導(dǎo)，則在點可導(dǎo)即若在點不可導(dǎo)，若在點可導(dǎo)且依此，可用于判定可導(dǎo)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)之積函數(shù)在一點可導(dǎo)性。證明：（或）有（或）（或）點可導(dǎo)點可導(dǎo)且點導(dǎo)數(shù)點導(dǎo)數(shù)。點

3、可導(dǎo)存在或即。設(shè)由知點可導(dǎo)且設(shè)點可導(dǎo)，反證之，若由知，由、點可導(dǎo)且知點可導(dǎo)與條件點連續(xù)矛盾高階導(dǎo)數(shù)基本知識1. 高階導(dǎo)數(shù)定義 :二階導(dǎo)數(shù)：階導(dǎo)數(shù)：2. 高階導(dǎo)數(shù)的基本公式：（任意數(shù)）、簡記為、，、階可導(dǎo)，重點難點1. 求一給定的函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)即，常用如下方法：（1）歸納法：先逐一求出 的一、二、三階導(dǎo)數(shù)，然后正確歸納 的公式（必要時用數(shù)學(xué)歸納法證明之）。（2）分解法：通過恒等變形將、，則有分解成。，求出（3）用萊布尼茲公式求乘積函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)。（4）利用簡單的初等函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)公式。2. 求高階導(dǎo)一般比較麻煩， 應(yīng)先化簡變成基本公式中的形式， 再套用公式。例（ 1）求有理分式的高階導(dǎo)時，應(yīng)先化為

4、真分式和多項式之和，而真分式分解成若干次數(shù)較低的分式之和，此后再求導(dǎo)。（2）求三角函數(shù)的高階導(dǎo)時，通過倍角公式或積化和差將其化為若干個基本三角函數(shù)的代數(shù)和，再行求導(dǎo)。（3）反三角函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)時，因反雙曲、對數(shù)函數(shù)的一階導(dǎo)都是代數(shù)函數(shù)，它們的高階導(dǎo)即求代數(shù)函數(shù)的低一階的導(dǎo)數(shù)。3. 計算帶有 或分段函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)時， 應(yīng)先把復(fù)合函數(shù)按分段函數(shù)正確表達，再逐次求導(dǎo)；在分段點若一階導(dǎo)不存在，則二階導(dǎo)不必計算； 若存在，應(yīng)根據(jù)一階導(dǎo)的分段表達式再按導(dǎo)數(shù)定義進行計算，步驟比較多，不要遺漏。習(xí)題選解1. 求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：（10）解：（采用逐階求導(dǎo)法解之）（ 11）解：3. 若存在，求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：（ 1）解：（ 2）解：4. 試從導(dǎo)出：（1）（2）證明：（ 1）（2）注：、等仍是的函數(shù)6. 驗證（、常數(shù)）滿足關(guān)系式。證明： 只須算出，再驗證之 8. 求下列函數(shù)的 階導(dǎo)數(shù)的一般表達式：（2）解：（ 4）解：由乘積函數(shù)的萊布尼茲公式和得：9. 求下列函數(shù)所指定的階的導(dǎo)數(shù)：（2）求.解： 的高階導(dǎo)數(shù)都為零，應(yīng)該用萊布尼茲公式計算本題在線檢測1. 設(shè)有階導(dǎo)數(shù)，求證：.2. 求下列函數(shù)的 階導(dǎo)數(shù)：（1）（2）（3）