《用向量法求直線與平面所成的角》教案

1、第二講：立體幾何中的向量方法利用空間向量求直線與平面所成的角大家知道，立體幾何是高中數(shù)學學習的一個難點，以往學生學習立體幾何時，主要采取“形到形”的綜合推理方法，即根據(jù)題設條件，將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，再由線線，線面等關系確定結果，這種方法沒有一般規(guī)律可循，對人的智力形成極大的挑戰(zhàn)，技巧性較強， 致使大多數(shù)學生都感到束手無策。高中新教材中， 向量知識的引入，為學生解決立體幾何問題提供了一個有效的工具。它能利用代數(shù)方法解決立體幾何問題，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想。并且引入向量，對于某些立體幾何問題提供通法，避免了傳統(tǒng)立體幾何中的技巧性問題，因此降低了學生學習的難度，減輕了學生學習的負擔，體現(xiàn)了新課程

2、理念。為適應高中數(shù)學教材改革的需要，需要研究用向量法解決立體幾何的各種問題。本文舉例說明如何用向量法解決立體幾何的空間角問題。以此強化向量的應用價值，激發(fā)學生學習向量的興趣，從而達到提高學生解題能力的目的。利用向量法求空間角，不需要繁雜的推理，只需要將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量的代數(shù)運算，方便快捷?？臻g角主要包括線線角、線面角和二面角，下面對線面角的求法進行總結。教學目標1. 使學生學會求平面的法向量及直線與平面所成的角的向量方法；2. 使學生能夠應用向量方法解決一些簡單的立體幾何問題；3. 使學生的分析與推理能力和空間想象能力得到提高.教學重點求平面的法向量；求解直線與平面所成的角的向量法.教學難點

3、求解直線與平面所成的角的向量法.教學過程、復習回顧一、回顧有關知識：1、直線與平面所成的角： （范圍：0, ）2思考：設平面的法向量為 n ，則n, BA與的關系？ABO精選文庫nA（圖 1）BOn, BA2ABOnn, BA（圖2）2據(jù)圖分析可得：結論：sin | cos n, AB | | n ? AB | n | AB |2、用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”：（ 1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題； （化為向量問題 ）（ 2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間距離和夾角等問題；（進行向量運

4、算）（ 3）把向量的運算結果“翻譯”成相應的幾何意義。（回到圖形）、典例分析與練習例 1、如圖，正三棱柱ABC A1B1C1 的底面邊長為a , 側(cè)棱長為2a ，求 AC1 和 面 AA1 B1B 所成角的正弦值 .分析： 直線與平面所成的角步驟：1. 求出平面的法向量2. 求出直線的方向向量3. 求以上兩個向量的夾角， ( 銳角 ) 其余角為所求角解：如圖建立空間直角坐標系Axyz ，則 AA1(0,0,2a), AB (0, a,0),設平面 AA1B1 B 的法向量為n ( x, y, z)C1AC1 (3a,1a, 2a)A1B122Z由 nAA102az0y0 取 x1 ， n(1,

5、0,0)nAB0ay 0z0C設 AC1 和 面 AA1 B1B 所成角為ADB yyx| AC1 n |3 a2 |1xsin| cosAC1 , n2|3a 22| AC1 |N |AC1 和 面 AA1 B1B 所成角的正弦值1 .22精選文庫點撥 要注意“直線與平面所成的角”與“直線的方向向量與平面的法向量所成角”之間的關系，通常求斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其銳角就是斜線和平面所成的角。練習 1：如圖，在三棱柱ABC A1B1C1 中，側(cè)棱垂直于底面，底面是邊長為2 的正三角形，側(cè)棱長為3，求BB1 與平面 AB1C1 所成的角 .解：建立如圖所示的空間直角坐標系O-

6、xyz.則 A( 1， 0，0) ， B(0 ，3， 0) ， B1(0 ，3， 3) ，C1(1 ， 0， 3) r11n( x, y, z) ，設平面 ABC 的一個法向量為由令r( 3,3,2)z2，得 n設直線 BB1 與平面 AB1C1 所成角為，61則sin |cos ，| n· BB1|1| .n BB4×32| n| BB1|又 0 ， .26練習 2：如圖， 在棱長為的正方體ABCDA1B1C1D1 中， E、F 分別是棱 A1D1, A1B1 的中點 求 BC1 和面 EFBD所成的角 .解：如圖建立空間坐標系D xyz ，uuuruuur(2,2,0)則 DE(1,0,2) ， DBr( x, y,1)設面 EFBD 的法向量為 nuuurr0rDEn(2,2,1)由 uuurr0得 nDBn3精選文庫uuuur又 BC1 ( 2,0,2)記 BC1 和面 EFBD 所成的角為uuuur ruuuurr2BC1n則 sin | cos BC1 , n | |uuuurr| BC1 | n |2 BC1 和平面 EFBD 所成的角為4、小結與收獲1、直線與平面所成的角的正弦值 sin |cos n, AB | | n AB | | n | AB |2、求平面法向量的