擴散系數(shù)與濃度的關(guān)系2011

1、第二講 擴散系數(shù)與濃度的關(guān)系一俁野方法一、問題引出前面在處理擴散問題時都是假定D為常數(shù)，通過解析法求解擴散方程。但實際上，擴散系數(shù)D是與濃度C(從而也與空間坐標(biāo))相關(guān)的。菲克第二定律式(7-11):(7-11)俁野(Matano)從實驗得出的濃 D(C)的方法，一般稱這種方法為夕二D芝.t :X :X式中的D不能從括號中提出，因此不能用普通的解析法求解。 度分布曲線C(x)出發(fā)，解決了計算不同濃度下的擴散系數(shù) 俁野法。、數(shù)學(xué)處理設(shè)式(7-11)的定解條件為：初始條件:t=0 時,J=C2(7-92)邊界條件:dCdx=0X= 土若(7-93)采用Boltzmann變換,(7-94)使偏微分方程

2、式(7-11)變?yōu)槌Ｎ⒎址匠獭?C.:td- ;tdC2t d(7-95):C1 dC.C dd-1 dC Dt d :xD*(7-96)td d'式(7-95)、(7-96)代入式(7-11)得(7-97) dC 1對式(7-97)中的dC從C1到C積分(7-98)注意到濃度分布曲線上的任一點表示同一時刻 因子提到積分號前邊，則式 (7-98)變?yōu)镃-x的關(guān)系，因此t為常數(shù)，可把與t相關(guān)的1 1 CCxdC = t d2 、t cici1 ,cL dC ' C dcyC dC'(7-99)xdC DD=iD2t ClV dx £ i dx 攔i I dx 力

3、注意邊界條件式(7-93)為所以dCdx C :Ci=0(7-100)xdC(7-101)式(7-101)即擴散系數(shù)D與濃度C之間的關(guān)系式。式中'生j是C-x曲線上濃度為 C處斜率的倒數(shù);dC cCf xdC為從C到C的積分。C1 下面再分析一下式(7-101)。由于擴散系數(shù) D與濃度C有關(guān)，在擴散過程中濃度分布曲線往往不會保持式(7-47)、(7-48)所示的中心對稱關(guān)系。可以進(jìn)行坐標(biāo)變換C2C xdC =0(7-102)xt x ,使圖7-25根據(jù)濃度分布曲線求不同濃 度下的擴散系數(shù)dC=0，所以由式(7-101)可知 C zC2式(7-102)所定的條件是必要的。 從幾何上看，這

4、樣變換坐標(biāo)的目的， 是要使x= 0的平面把圖7-25中畫 有影線的面積劃分為面積相等的兩 部分A和B , x ' = 0所決定的平面 就是俁野面。因為dx很明顯，只有當(dāng)擴散體系的體積不變時，俁野面才與原始焊接面重合。經(jīng)式(7-102)坐標(biāo)變換后式(7-101)變?yōu)?7-103)_.1 'dx '1 CD (C )= 一一 I x dC 2t LdC * C1 俁野法根據(jù)式(7-103)求濃度C=Cm時的擴散系數(shù) D(C)值的方法如下： 試樣經(jīng)t時間擴散后，根據(jù)實驗結(jié)果畫出濃度分布曲線； 用作圖法找出俁野面，即使 圖7-25中的面積A = B; 求積分 f xdC值，因為 1 'xdC = f x'dC+'x'dC =0,所以 f x'dC =xdC ,C1C|C1CC|C2即圖7-25中的面積B -(A - A)=A1, l-dx i為C-x曲線在濃度C處的斜率的倒數(shù)。時間已dC c知，則式(7-103)右邊各項均可求得，即可求出該濃度下的擴散系數(shù)D(C)。D(C)。經(jīng)