2022年湘教版七下《用完全平方公式因式分解》公開課教案

1、第2課時(shí) 用完全平方公式因式分解【知識與技能】使學(xué)生了解運(yùn)用公式法分解因式的意義；會用公式法(直接用公式不超過兩次)分解因式(指數(shù)是正整數(shù))；使學(xué)生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考慮的方法，再考慮用平方差公式或完全平方公式進(jìn)行分解因式.【過程與方法】經(jīng)歷通過整式乘法的完全平方公式逆向得出運(yùn)用公式法分解因式的方法的過程，開展學(xué)生的逆向思維和推理能力.【情感態(tài)度】培養(yǎng)學(xué)生靈活的運(yùn)用知識的能力和積極思考的良好行為，體會因式分解在數(shù)學(xué)學(xué)科中的地位和價(jià)值.【教學(xué)重點(diǎn)】掌握公式法中利用完全平方公式進(jìn)行分解因式.【教學(xué)難點(diǎn)】靈活地運(yùn)用公式法或已學(xué)過的提公因式法進(jìn)行分解因式，正確判斷因式分解的徹底性問題

2、.一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知1.把以下各式分解因式(學(xué)生上臺板演)：(1)ax4ax2；(2)16m4n4.解：1ax4ax2=ax2(x+1)(x1)216m4n4=(4m2)2(n2)2=(4m2+n2)(4m2n2)=(4m2+n2)(2m+n)(2mn)2.除了平方差公式外，還有哪些公式？如何表示？3.怎樣用語言表述？(a+b)2=a2+2ab+b2(ab)2=a22ab+b2【教學(xué)說明】復(fù)習(xí)鋪墊對學(xué)習(xí)新知識是必要的，它可以掃清學(xué)習(xí)新知識的障礙，順利進(jìn)入新的知識學(xué)習(xí)之中.二、思考探究，獲取新知1.由因式分解和整式乘法的關(guān)系，大家能否猜測出用完全平方公式分解因式的公式呢？將完全平方公式倒寫：

3、a2+2ab+b2=(a+b)2;a22ab+b2=(ab)2.左邊的特點(diǎn)有：(1)多項(xiàng)式是三項(xiàng)式；(2)其中有兩項(xiàng)同號，且此兩項(xiàng)能寫成兩數(shù)或兩式的平方和的形式；(3)另一項(xiàng)為哪一項(xiàng)這兩數(shù)或兩式乘積的2倍.右邊的特點(diǎn)：這兩數(shù)或兩式和(差)的平方.如何利用完全平方公式進(jìn)行因式分解呢？2-3x+分解因式.分析：9x2=(3x)2, =()2,3x=2·3x·，原式即可用完全平方公式進(jìn)行因式分解.解：9x2-3x+=(3x)2-2·3x·+()2=(3x-)2【教學(xué)說明】在進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生掌握完全平方式的特征的同時(shí)，能讓學(xué)生對公式的特征有足夠的理解，并在此的根底

4、上，讓學(xué)生用自己的語言來闡述思考過程，這是符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律的，也表達(dá)了新課程標(biāo)準(zhǔn)下的理念.三、運(yùn)用新知，深化理解1.判別以下各式是不是完全平方式.(1)x2+y2;(2)x2+2xy+y2;(3)x2-2xy+y2;(4)x2+2xy-y2;(5)-x2+2xy-y2.解：(2)(3)(5)是完全平方式.2.當(dāng)m=時(shí)，x22(m3)x25是完全平方式.解：8或2.2+16axy-8ay2.解：原式=-8a(x2-2xy+y2)=-8a(x-y)24.分解因式(a2+1)2-4a2.解：原式=(a2+1+2a)(a2+1-2a)=(a+1)2(a-1)25.分解因式(a2-4a+4)-c2.解

5、：原式=(a-2)2-c2=(a-2+c)(a-2-c)6.(x+3y)2+(2x+6y)(3y-4x)+(4x-3y)2.解：原式=(x+3y)2-2(x+3y)(4x-3y)+(4x-3y)2=(x+3y-4x+3y)2=(-3x+6y)2.7.一天,小明在紙上寫了一個(gè)算式為4x2+8x+11,并對小剛說:“無論x取何值,這個(gè)代數(shù)式的值都是正值,你不信試一試?解：4x2+8x+11=(2x+2)2+7(2x+2)2+70 無論x取何值,這個(gè)代數(shù)式的值都是正值.【教學(xué)說明】在綜合應(yīng)用提公因式法和公式法分解因式時(shí),一般按以下兩步完成：(1)有公因式，先提公因式；(2)再用公式法進(jìn)行因式分解.四

6、、師生互動,課堂小結(jié)從今天的課程中，你學(xué)到了哪些知識？掌握了哪些方法？你認(rèn)為分解因式中的平方差公式以及完全平方公式與乘法公式有什么關(guān)系？1.布置作業(yè):教材第6667“中第2、4題.2.完成同步練習(xí)冊中本課時(shí)的練習(xí).因式分解雖然與整式的乘法是互逆運(yùn)算，但是對于學(xué)生而言，它是一個(gè)新的知識，學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中雖然已經(jīng)掌握平方差公式和完全平方公式，然而受思維定勢的影響，學(xué)生對公式的逆用會產(chǎn)生混淆，學(xué)生的慣性思維是平方差公式和完全平方公式.一旦要將公式逆向，局部學(xué)生就比擬難以接受，特別是學(xué)習(xí)能力較弱的學(xué)生，難度就更大一些.在練習(xí)中，根據(jù)學(xué)生的個(gè)體差異，有效分層，開展課內(nèi)技能訓(xùn)練，讓每個(gè)學(xué)生都學(xué)有所成.本

7、章復(fù)習(xí)【知識與技能】對本章的內(nèi)容進(jìn)行回憶和總結(jié)，熟練掌握數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、有理數(shù)等有關(guān)概念.掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運(yùn)算.【過程與方法】釆用討論法、練習(xí)法、嘗試指導(dǎo)法，反思有理數(shù)的概念和有理數(shù)的運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意識，訓(xùn)練和增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用新知識解決實(shí)際問題的能力.【情感態(tài)度】通過本章知識的學(xué)習(xí)，滲透數(shù)形結(jié)合的思想、辯證唯物主義思想，使學(xué)生學(xué)會如何歸納知識，反思自己的學(xué)習(xí)過程.【教學(xué)重點(diǎn)】回憶本章知識，構(gòu)建知識體系.【教學(xué)難點(diǎn)】有理數(shù)的運(yùn)算.一、知識框圖，整體把握【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生回憶本章知識點(diǎn)，展示本章知識框圖，使學(xué)生系統(tǒng)了解本章知識及它們之間的關(guān)系.教學(xué)時(shí)，

8、邊回憶邊建立知識框圖.二、釋疑解惑，加深理解1.理解根本概念要注意的一些問題：1對于正數(shù)與負(fù)數(shù)，不能簡單地理解為：帶“+號的數(shù)是正數(shù)，帶“-號的數(shù)是負(fù)數(shù).例如-a不一定是負(fù)數(shù)，因?yàn)樽帜竌代表任何一個(gè)有理數(shù)，當(dāng)a是0時(shí)，-a是0，當(dāng)a是負(fù)數(shù)時(shí)，-a是正數(shù)；引入負(fù)數(shù)后，數(shù)的范圍擴(kuò)大為有理數(shù)，除和與有關(guān)的數(shù)外，其他的數(shù)都是有理數(shù).2數(shù)軸能形象地表示數(shù)，所有的有理數(shù)都可用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)并不都是有理數(shù).右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，所以正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù).故而可以用數(shù)軸來比擬數(shù)的大小.3求相反數(shù)的方法：直接在數(shù)字前加負(fù)號；如果是式子，先把整個(gè)式子括起來，再在括號前

9、加負(fù)號；在數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的點(diǎn)分別位于原點(diǎn)的兩旁，且與原點(diǎn)的距離相等.0的相反數(shù)是0.4正數(shù)的絕對值是它本身；如果a0，那么a=a；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；如果a0，那么a=-a；0的絕對值是0，如果a=0，那么a=0.2.有理數(shù)的運(yùn)算的說明：1進(jìn)行有理數(shù)混合運(yùn)算的關(guān)建是熟練掌握加、減、乘、除、乘方的運(yùn)算法那么、運(yùn)算律及運(yùn)算順序.比擬復(fù)雜的混合運(yùn)算，一般可先根據(jù)題中的加減運(yùn)算，把算式分成幾段，計(jì)算時(shí)，先從每段的乘方開始，按順序運(yùn)算，有括號先算括號里的，同時(shí)要注意靈活運(yùn)用運(yùn)算律簡化運(yùn)算.2進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，應(yīng)注意：一是要注意運(yùn)算順序，先算高一級的運(yùn)算，再算低一級的運(yùn)算；二

10、是要注意觀察，靈活運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行簡便運(yùn)算，以提高運(yùn)算速度及運(yùn)算能力.3.關(guān)于本章的數(shù)學(xué)方法：數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)中一種常用思想方法，在有理數(shù)的混合運(yùn)算中常常與數(shù)軸、絕對值的知識融合于一體，畫出數(shù)軸、觀察數(shù)軸，從中進(jìn)行體驗(yàn)，有助于解決問題.三、典例精析，復(fù)習(xí)新知例1一只蝸牛從數(shù)軸上的原點(diǎn)出發(fā)，先向右移動2個(gè)單位，再向左移動5個(gè)單位，這時(shí)蝸牛與數(shù)軸上的田螺相距1.5個(gè)單位，求田螺表示的數(shù).【分析】先畫出數(shù)軸，如以下圖：蝸牛從原點(diǎn)O出發(fā)第一次向右移動2個(gè)單位，此時(shí)蝸牛表示的數(shù)為2，第二次向左移動5個(gè)單位，這時(shí)蝸牛表示的數(shù)為-3，又由于田螺與蝸牛相距1.5個(gè)單位，根據(jù)距離的概念和絕對值的知識，田螺在數(shù)

11、軸上位置在點(diǎn)P或P1，即表示的數(shù)是-4.5或-1.5.例2假設(shè)數(shù)a在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如以下圖，請化簡a+1和a-1.【分析】對于絕對值的化簡，分析出a+1，a-1的正負(fù)是解題的關(guān)鍵.結(jié)合數(shù)軸很容易得出結(jié)論.觀察數(shù)軸可知a的對應(yīng)點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)，所以a為正數(shù).所以a+1為正數(shù)，即a+1=a+1.因?yàn)閍的對應(yīng)點(diǎn)在0和1之間，所以a為小于1的正數(shù).所以a-10.解：因?yàn)閍0，所以a+10.所以a+1=a+1.因?yàn)?a1，所以a-10.所以a-1=-a-1=1-a.例3計(jì)算：【分析】進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，一定要準(zhǔn)確地把握有理數(shù)的運(yùn)算順序和運(yùn)算中的符號問題，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用運(yùn)算律簡化計(jì)算.例4下表是七年級1班第一

12、組學(xué)生的體重.以體重50kg為標(biāo)準(zhǔn)超出局部為正，缺乏局部為負(fù)：求：1這組同學(xué)中，哪個(gè)同學(xué)的身體最重？哪個(gè)同學(xué)的身體最輕？2這組同學(xué)的平均體重是多少？【分析】1求哪個(gè)同學(xué)的身體最重，即求哪個(gè)同學(xué)的體重超出50kg的最多；2超出50kg局部的平均值與50kg的和即為這組同學(xué)的平均體重.解：1因?yàn)?6-41357所以小天同學(xué)的身體最重，小麗同學(xué)的身體最輕.2這組同學(xué)的平均體重為：50+-6+(-4)+1+3+5+7÷6=50+6÷6=51(kg) 【分析】一般情況下，分?jǐn)?shù)計(jì)算是先通分.此題通分計(jì)算將很繁瑣，但我們觀察到各個(gè)分?jǐn)?shù)分母的后一個(gè)因數(shù)比前一個(gè)大1，且后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母含有前

13、一個(gè)分?jǐn)?shù)分母的因數(shù)，每一個(gè)分母中因數(shù)之差等于分子，故可利用如下一個(gè)關(guān)系式：再把每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，然后再計(jì)算，這種方法叫做裂項(xiàng)法.【教學(xué)說明】這一環(huán)節(jié)是本節(jié)課重點(diǎn)所在，這5個(gè)例題層次遞進(jìn)，對本章重要知識點(diǎn)進(jìn)行有效復(fù)習(xí)和穩(wěn)固，強(qiáng)化學(xué)生對本章重點(diǎn)知識的理解與運(yùn)用.四、復(fù)習(xí)訓(xùn)練，穩(wěn)固提高1.在數(shù)軸上的點(diǎn)A、B位置如以下圖，那么線段AB的長度為 3.1的絕對值是_，絕對值是的是_，絕對值等于它本身的數(shù)是_.2絕對值小于3的整數(shù)有_個(gè)；絕對值不大于3的整數(shù)有_個(gè)，分別是_.4.糧庫3天內(nèi)進(jìn)出庫的噸數(shù)如下:“+表示進(jìn)庫,“-表示出庫+26、-32、-15、+34、-38、-20.1經(jīng)過這3天，庫里的糧食是

14、增多還是減少了.2經(jīng)過這3天，倉庫管理員結(jié)算發(fā)現(xiàn)庫里還存480噸糧，那么3天前庫里存糧多少噸？3如果進(jìn)出的裝卸費(fèi)都是每噸5元，那么這3天要付多少裝卸費(fèi)？5.一個(gè)正方體木塊粘合成如以下圖形式，它們的棱長分別為1cm、2cm、4cm，要在模型外表涂油漆，如果除去局部不涂外，該油漆的本錢為5元/cm2，求模型涂漆共花費(fèi)多少元錢？【教學(xué)說明】師生共同回憶本章主要知識點(diǎn)，教師適時(shí)予以評講，說明應(yīng)用各知識點(diǎn)要注意的問題.對于所選例題，可根據(jù)需要適當(dāng)增減.3. 257-3、-2、-1、0、1、2、34.解：(1)26+-32+-15+34+-38+-20=-45答：經(jīng)過這3天，庫里的糧食是減少了45噸.24

15、80-45=525答：3天前庫里存糧525噸.326+32+15+34+38+20×5=825答：這3天要付裝卸費(fèi)825元.5.解：大正方體的涂漆面積是:42×442-22641276cm2棱長為2cm的正方體的涂漆面積是:22×422-1216319cm2棱長為1cm的正方體涂漆面積是:12×55cm2所以，總涂漆的面積為:76195100cm2總費(fèi)用為5×100500元答：模型的涂漆的總費(fèi)用為500元.五、師生互動，課堂小結(jié)本堂課你能系統(tǒng)地回憶本章所學(xué)有關(guān)有理數(shù)的知識嗎？你會用數(shù)軸來比擬數(shù)的大小嗎？你能熟練地進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算嗎？【教學(xué)說明】教師引導(dǎo)學(xué)生回憶本章知識，盡可能讓學(xué)生自主交流與反思，對于學(xué)生的困