2022年初中數(shù)學(xué)《二次函數(shù)的綜合應(yīng)用3》精品教案

1、21.6 綜合與實踐獲取最大利潤教學(xué)目標(biāo)【知識與技能】能夠分析和表示實際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系,并運(yùn)用二次函數(shù)的知識求出實際問題的最大(或小)值,培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.【過程與方法】應(yīng)用已有的知識,經(jīng)過自主探索和合作交流嘗試解決問題.【情感、態(tài)度與價值觀】在經(jīng)歷和體驗數(shù)學(xué)知識發(fā)現(xiàn)的過程中,提高思維品質(zhì),在勇于創(chuàng)新的過程中樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.重點(diǎn)難點(diǎn)【重點(diǎn)】二次函數(shù)在最優(yōu)化問題中的應(yīng)用.【難點(diǎn)】從現(xiàn)實問題中建立二次函數(shù)模型,學(xué)生較難理解和掌握.教學(xué)過程一、問題引入在日常生活、生產(chǎn)和科研中,常常會遇到求什么條件下可使面積最大、利潤最大、材料最省、時間最少、效率最高等問題,這類問題稱為最優(yōu)

2、化問題.其中一些問題可以歸結(jié)為求二次函數(shù)的最大值或最小值.如何利用二次函數(shù)分析解決這樣的問題呢?本節(jié)課我們來研究二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用.做一做:從地面豎直向上拋出一個小球,小球的高度h(單位:m)與小球的運(yùn)動時間t(單位:s)之間的關(guān)系式是:h=30t-5t2(0t6).小球運(yùn)動的時間是多少時,小球最高?小球運(yùn)動中的最大高度是多少?我們可以借助函數(shù)圖象解決這個問題,畫出函數(shù)h=30t-5t2(0t6)的圖象,如以下圖,可以看出這個函數(shù)的圖象是一條拋物線的一局部.這條拋物線的頂點(diǎn)是這個函數(shù)圖象的最高點(diǎn),也就是說,當(dāng)t取頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)時,這個函數(shù)有最大值.因此,當(dāng)t=-=-=3時,h有最大值=4

3、5,也就是說,小球運(yùn)動的時間是3s時,小球最高,小球運(yùn)動中的最大高度是45 m.一般地,當(dāng)a>0(或a<0)時,拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)是最低(或高)點(diǎn),也就是說,當(dāng)x=-時,二次函數(shù)y=ax2+bx+c有最小(或大)值.二、新課教授問題1.用總長為60 m的籬笆圍成矩形場地,矩形面積S隨矩形一邊長l的變化而變化.當(dāng)l是多少時,場地面積S最大?師生活動:學(xué)生積極思考,找到等量關(guān)系式,并嘗試解答.教師巡視、指導(dǎo),最后給出解答過程.解:矩形場地的周長是60 m,一邊長l,那么另一邊長為(-l),場地的面積S=l(30-l),即S=-l2+30l(0<l<30).因此

4、,當(dāng)l=-=-=15(m)時,S有最大值=225(m2).即當(dāng)l是15 m時,場地面積S最大,最大值是225 m2.問題2.某商品現(xiàn)在的售價是每件60元,每星期可賣出300件,市場調(diào)查反映,如調(diào)整價格,每漲價1元,每星期要少賣出10件;每降價1元,每星期可多賣出20件.商品的進(jìn)價為每件40元,如何定價才能使利潤最大?師生活動:教師分析存在的問題,書寫解答過程.分析:調(diào)整價格包括漲價和降價兩種情況.我們先來看漲價的情況.設(shè)每件漲價x元,那么每星期售出商品的利潤y隨之改變.我們先來確定y隨x變化的函數(shù)關(guān)系式,漲價x元時,每星期少賣10x件,實際賣出(300-10x)元.銷售額為(60+x)(300

5、-10x)元,買進(jìn)商品需付40(300-10x)元.因此,所得利潤為y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x),(0x30)即y=-10x2+100x+600=-10(x2-10x)+600=-10(x2-10x+25)+850=-10(x-5)2+850(0x30)所在,在漲價的情況下,漲價5元,即定價65元時,利潤最大,最大為850元.思考:在降價的情況下,最大利潤是多少?(降價元,即定價元時,利潤最大,最大為6 125元.)思考:由上面的討論及現(xiàn)在的銷售情況,你知道如何定價才能使利潤最大了嗎?(在漲價的情況下,定價65元;在降價的情況下,定價元.)問題3:圖中是拋物線形拱

6、橋,當(dāng)水面在l時,拱頂離水面2 m,水面寬4 m.假設(shè)水面下降1 m,水面寬度增加多少?師生活動:學(xué)生完成解答.教師分析存在的問題,書寫解答過程.分析:我們知道二次函數(shù)的圖象是拋物線,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,就可以求出這條拋物線表示的二次函數(shù).為解題簡便,以拋物線的對稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系.可設(shè)這條拋物線表示的二次函數(shù)為y=ax2.由拋物線經(jīng)過點(diǎn)(2,-2),可得-2=a×22,解得a=-,這條拋物線表示的二次函數(shù)為y=-x2.水面下降1 m,水面所在位置的縱坐標(biāo)為y=-3,代入上述表達(dá)式得x=±.故水面下降1 m,水面寬度增加(2-4)m.讓學(xué)生回憶解題過程,討論、交流、歸納

7、解題步驟:(1)先分析問題中的數(shù)量關(guān)系,列出函數(shù)關(guān)系式;(2)研究自變量的取值范圍;(3)研究所得的函數(shù);(4)檢驗x的取值是否是自變量的取值范圍內(nèi),并求相關(guān)的值;(5)解決提出的實際問題.學(xué)生嘗試從前面四道題中找到解題規(guī)律.教師補(bǔ)充學(xué)生答復(fù)中的缺乏,及時糾正.三、穩(wěn)固練習(xí)1.二次函數(shù)y=(3+x)(1-2x),當(dāng)x=時,函數(shù)有最值,為. 【答案】-大2.二次函數(shù)y=x2-8x+c的最小值為0,那么c的值等于()【答案】D3.沿墻用長32 m的竹籬笆圍成一個矩形的護(hù)欄(三面),怎樣圍才能使矩形護(hù)欄面積最大?最大面積為多少?試畫出所得函數(shù)的圖象.【答案】圍成的矩形一邊長為8 m、另一邊

8、長為16 m可使矩形護(hù)欄的面積最大,最大面積為128 m2.圖象略.(注意自變量的取值范圍)4.某旅社有客房120間,每間客房的日租金為50元,每天都客滿,旅社裝修后要提高租金,經(jīng)市場調(diào)查,如果一間客房的日租金增加5元,那么客房每天出租會減少6間,不考慮其他因素,旅社將每間客房的日租金提高到多少元時,客房日租金的總收入最高?比裝修前的日租金總收入增加多少元?【答案】將每間客房的日租金提高到75元時,總收入最高,比裝修前的日租金總收入增加750元.5.某產(chǎn)品每件的本錢價是120元,試銷階段,每件產(chǎn)品的銷售價x (元)與產(chǎn)品的日銷售量y(臺)之間的函數(shù)關(guān)系如下表所示:x(元)130150165y(

9、臺)705035并且日銷售量y是每件售價x的一次函數(shù).(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)為獲得最大利潤,每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少元?此時每日銷售的利潤是多少?【答案】(1)y=-x+200(2)銷售利潤S=(-x+200)(x-120),當(dāng)售價定為每件160元時,每日銷售利潤最大為1 600元.四、課堂小結(jié)1.得出用二次函數(shù)知識解決實際生活中的最值問題的一般步驟:(1)列出二次函數(shù)的表達(dá)式,并根據(jù)自變量的實際意義確定自變量的取值范圍;(2)在自變量的取值范圍內(nèi),運(yùn)用公式法或通過配方求出二次函數(shù)的最大值或最小值.2.解題循環(huán)圖:教學(xué)反思本節(jié)課充分運(yùn)用導(dǎo)學(xué)提綱,教師提前通過一系列問題的設(shè)置引

10、導(dǎo)學(xué)生課前預(yù)習(xí).在課堂上通過對一系列問題的解決與交流,讓學(xué)生通過二次函數(shù)掌握解決面積最大、利潤最大等這一類題的方法,學(xué)會用建模的思想去解決和函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用問題.所以在例題的處理中適當(dāng)?shù)亟档土穗y度,讓學(xué)生的思維有一個拓展的空間.在訓(xùn)練的過程中,通過學(xué)生的獨(dú)立思考與小組合作探究相結(jié)合,使學(xué)生的分析能力、表達(dá)能力及思維能力都得到訓(xùn)練和提高.同時也注重對解題方法與解題模式的歸納與總結(jié),并適當(dāng)?shù)貪B透轉(zhuǎn)化、化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法.就整節(jié)課看,學(xué)生的積極性得以充分調(diào)動,特別是學(xué)困生,在獨(dú)立思考和小組合作中改變以往的配角地位,也能積極參與到課堂學(xué)習(xí)活動中.今后繼續(xù)發(fā)揚(yáng)從學(xué)生出發(fā),從學(xué)生的需要出發(fā),把問題

11、的難度降低,讓學(xué)生在能力范圍內(nèi)掌握新知識,等有了足夠的熱身運(yùn)動之后再去拓展延伸.第2課時比例線段1知道線段的比的概念，會計算兩條線段的比；(重點(diǎn))2理解成比例線段的概念；(重點(diǎn))3掌握成比例線段的判定方法(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入請觀察以下幾幅圖片，你能發(fā)現(xiàn)些什么？你能對觀察到的圖片特點(diǎn)進(jìn)行歸納嗎？這些例子都是形狀相同、大小不同的圖形它們之所以大小不同，是因為它們圖上對應(yīng)的線段的長度不同二、合作探究探究點(diǎn)一：線段的比【類型一】根據(jù)線段的比求長度如下列圖，M為線段AB上一點(diǎn)，AMMB35，且AB16cm，求線段AM、BM的長度解：線段AM與MB的比反映了這兩條線段在全線段AB中所占的份數(shù)，由AMMB3

12、5可知AMAB，MBAB.AB16cm，AM×166(cm)，MB×1610(cm)方法總結(jié)：此題也可設(shè)AM3k，MB5k，利用3k5k16求解更簡便，這也是解這類題常用的方法【類型二】比例尺在比例尺為150 000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是3cm，那么甲、乙兩地的實際距離是_m.解析：根據(jù)“比例尺可求解設(shè)甲、乙兩地的實際距離為xcm，那么有150 0003x，解得x150 000cm1500m.方法總結(jié)：理解比例尺的意義，注意實際尺寸的單位要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化探究點(diǎn)二：成比例線段【類型一】判斷線段成比例以下四組線段中，是成比例線段的是()A3cm，4cm，5cm，6cm

13、B4cm，8cm，3cm，5cmC5cm，15cm，2cm，6cmD8cm，4cm，1cm，3cm解析：將每組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，前兩條線段的比和后兩條線段的比相等的四條線段成比例四個選項中，只有C項排列后有.應(yīng)選C.方法總結(jié)：判斷四條線段是否成比例的方法：(1)把四條線段按從小到大順序排好，計算前兩條線段的比和后兩條線段的比，看是否相等作出判斷；(2)把四條線段按從小到大順序排好，計算前后兩個數(shù)的積與中間兩個數(shù)的積，看是否相等作出判斷【類型二】由線段成比例求線段的長三條線段的長分別為1cm，cm，2cm，請你再給出一條線段，使得它的長與前面三條線段的長能夠組成一個比例式解：因為此題中沒有明確告知是求1，2的第四比例項，因此所添加的線段長可能是前三個數(shù)的第四比例項，也可能不是前三個數(shù)的第四比例項，因此應(yīng)進(jìn)行分類討論設(shè)要求的