有關(guān)函數(shù)凸凹性的一個結(jié)論在高考解題中的應(yīng)用

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載函數(shù)凸凹性在高考解題中的應(yīng)用一隅函數(shù)凸凹性是高等數(shù)學(xué)研究的函數(shù)重要性質(zhì)之一,雖然在高中數(shù)學(xué)的課標(biāo)中沒有對凸凹函數(shù)做具體要求 ,但是它的身影在高考試題中卻頻頻出現(xiàn). 充分說明了高考命題源于課本，又高于課本的原則，同時也體現(xiàn)了高考為高校輸送優(yōu)秀人才的選拔性功能.下面僅就函數(shù)凸凹性的一個側(cè)面在高考題中的應(yīng)用做初步論述.一、 凹凸函數(shù)的定義及相關(guān)定理定義 ：如果函數(shù) f (x) 對其定義域中任意的 x1， x2 都有如下不等式x1x21f ( x1 )f ( x2 )（ 1）f (2)2成立，則稱 f ( x) 是下凸（凸）函數(shù)(如圖 1所示 ) ，當(dāng)且僅當(dāng) x1x2 時等號成立如果函

2、數(shù) f ( x) 對其定義域中任意的x1， x2 都有如下不等式x1x2)1f ( x2 )（2）f (f (x1)22成立，則稱 f ( x) 是上凸（凹）函數(shù)(如圖 2所示 ) ，當(dāng)且僅當(dāng) x1x2 時等號成立從幾何意義來看，不等式（1）表示定義域中任意兩點(diǎn)x1 ， x2 的中點(diǎn) M 所對應(yīng)的曲線上的點(diǎn)Q位于弦上對應(yīng)點(diǎn)P 的下面不等式（2）則有相反的意義引理： 設(shè)函數(shù) f (x) 在開區(qū)間 I 上可導(dǎo)，則(1)f (x) 在區(qū)間 I 上為上凸函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f (x) 在區(qū)間 I 單調(diào)減少(2)f (x) 在區(qū)間 I 上為下凸函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f (x) 在區(qū)間 I 單調(diào)增加定理： 若函數(shù)f ( x)

3、在開區(qū)間 (a,b) 上為下凸函數(shù)且可導(dǎo)，P( x0 , y0 ) 為其圖像上一點(diǎn)，則函數(shù) f (x) 的圖像必在P 點(diǎn)處函數(shù)切線的上方；反之， 若函數(shù)f (x) 在開區(qū)間 (a,b)上為上凸函數(shù)且可導(dǎo)，則函數(shù)f (x) 的圖像必在P 點(diǎn)處函數(shù)切線的下方.學(xué)習(xí)必備歡迎下載證明 : 由函數(shù) f( x) 在開區(qū)間 I 上可導(dǎo) , 從而 P 點(diǎn)處函數(shù)切線方程為yf ( x0 )( x x0 )y0記 F (x) f ( x)f (x0 )( x x0 )y0 ,F ( x)f ( x)f (x0 )當(dāng) f (x) 在開區(qū)間 ( a, b) 上為下凸函數(shù)時 , 由引理得 F ( x) 在 xx0 處取

4、得最小值0, 即F (x) 0, 也即 f ( x)f ( x0 )( x x0 )y0 ,即證函數(shù) f (x) 的圖像在 P 點(diǎn)處函數(shù)切線的上方;同理可得 , 若函數(shù) f ( x) 在開區(qū)間 (a, b) 上為上凸函數(shù)且可導(dǎo)，則函數(shù)f ( x) 的圖像必在P 點(diǎn)處函數(shù)切線的下方 .二、定理在高考題中的應(yīng)用以下就 20XX 年高考試題中出現(xiàn)的若干有關(guān)凸凹性的試題來說明定理的解題應(yīng)用價值.例 1.(新課標(biāo)理 21)已知函數(shù) f (x) 滿足滿足f ( x)f (1)ex 1f (0)x1x2 ；2（ 1）求 f ( x) 的解析式及單調(diào)區(qū)間；（ 2）若 f ( x)1 x2ax b ，求 ( a

5、1)b 的最大值。2解：（ 1）略（ 2）解法一（試題原標(biāo)準(zhǔn)解答）f ( x)1x2axbh( x)ex(a 1)x b0 得 h ( x) ex(a 1)2當(dāng) a10 時， h ( x)0yh( x) 在 xR 上單調(diào)遞增x時， h(x)與h( x)0 矛盾當(dāng) a10 時， h ( x)0xln( a1),h ( x) 0xln( a1)得：當(dāng) xln( a 1) 時， h(x)min(a1)(a1)ln( a1)b0(a1)b(a1)2(a1)2 ln( a1)(a10)令 F ( x)x2x2 ln x(x0) ；則 F ( x)x(12ln x)F ( x) 00 xe, F (x)

6、0xe當(dāng) xe 時， F ( x) maxe2學(xué)習(xí)必備歡迎下載當(dāng) ae1,be 時， (a1)b 的最大值為 e12分析： 如果把 f (x)x2axb 轉(zhuǎn)化為 ex( a1) xb, 那么第（ 2）問本質(zhì)上不就2是下凸函數(shù)圖象位于某直線上方問題嗎？這樣一來，只需y( a1) x b 是 yex 的切線或切線的下方平行線即可. 由此得解法二由題意 ,f ( x)1x2axb , 即 ex(a1) xb, x R 恒成立 ,2記 g( x) ex , 所以 g( x) 圖象位于直線y(a1) xb 的上方 .由 g(x) 下凸性及定理, 存在 x0R , 使得直線y(a1) xb 與 g (x)

7、 圖象在 x x0處的切線 l : yex0 ( xx0 )ex0重合或平行 ( 位于切線 l 下方 ),也即是a1ex0,所以 (a1)b e2 x0 (1x0 ) ,bex0 (1x0 )記 ()e2 x(1), xR , 則 (a1)bh( x) max , 對 h(x) 求導(dǎo)討論可得h xxh( x) maxe, 故 (a1)b 的最大值為e.22解后反思 : 解法一基于題目代數(shù)條件、放縮求最值，解法自然，但僅停留在條件到結(jié)論的表面計(jì)算， 部分學(xué)生由于計(jì)算量大和討論繁瑣而望而卻步；解法二簡潔明快， 直觀性較強(qiáng)，且揭示了試題立意的本質(zhì)即是基于函數(shù)凹凸性立意.例 2(遼寧理21) 設(shè) f

8、(x) ln( x1)x 1 axb(a,b R,a, b為常數(shù) ) ，曲線yf ( x) 與直線 y3x 在 (0， 0)點(diǎn)相切。2( )求 a,b 的值。( )證明：當(dāng) 0x2 時， f ( x )9 x。x 6解 :(1) a=0,b=-1學(xué)習(xí)必備歡迎下載評注 :以上兩種解答均為原試題標(biāo)準(zhǔn)解法, 利用了函數(shù)的單調(diào)性或者均值不等式證9 x明出 f (x)x6 .但是通過上述過程可以看出,仍有計(jì)算繁瑣,思維量大的瑕疵.而我們?nèi)绻軓念}設(shè)中得到啟發(fā) ,看出直線 y39xx 即是 yf ( x) 在原點(diǎn)處切線 , 也是 y處切2x6線的話 , 那么本題即可轉(zhuǎn)化為兩個簡單不等式證明: f ( x)3 x,9x3 x 在 0x 22x 62學(xué)習(xí)必備歡迎下載上成立即可 .由函數(shù) y9x, 我就不再一f ( x) 及 y的凸凹性 , 這個證明是顯然且直觀的x6一贅述了 .以下為 201