九年級數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)(帶答案)資料

1、銳角三角函數(shù)與解直角三角形【考綱要求】1. 理解銳角三角函數(shù)的定義、性質(zhì)及應(yīng)用，特殊角三角函數(shù)值的求法，運用銳角三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的實際問題 . 題型有選擇題、填空題、解答題，多以中、低檔題出現(xiàn)；2. 命題的熱點為根據(jù)題中給出的信息構(gòu)建圖形，建立數(shù)學(xué)模型，然后用解直角三角形的知識解決問題 .【知識網(wǎng)絡(luò)】【考點梳理】考點一、銳角三角函數(shù)的概念如圖所示，在 Rt ABC中， C 90°， A 所對的邊的鄰邊， B 所對的邊 AC記為 b，叫做 B 的對邊，也是叫做斜邊BC記為 a，叫做 A 的對邊，也叫做 B A 的鄰邊，直角 C 所對的邊 AB 記為 c，BcaAbC銳角 A

2、 的對邊與斜邊的比叫做A 的正弦，記作sinA ，即 sin AA的對邊a ；斜邊c銳角 A 的鄰邊與斜邊的比叫做A 的余弦，記作cosA，即 cos AA的鄰邊b ；斜邊c銳角 A 的對邊與鄰邊的比叫做A 的正切，記作tanA ，即 tan AA的對邊aA的鄰邊.b同理 sin BB的對邊b ； cos BB的鄰邊a ； tan BB的對邊b 斜邊c斜邊cB的鄰邊a要點詮釋：(1) 正弦、余弦、正切函數(shù)是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關(guān)系，是兩條線段的比值角的度數(shù)確定時，其比值不變，角的度數(shù)變化時，比值也隨之變化(2)sinA，cosA，tanA分別是一個完整的數(shù)學(xué)符號，是一

3、個整體，不能寫成，不能理解成sin與 A，cos與 A，tan與 A 的乘積書寫時習(xí)慣上省略A 的角的記號“” ，但對三個大寫字母表示成的角( 如 AEF)，其正切應(yīng)寫成 “ tan AEF”，不能寫成 “ tanAEF”；另外，、常寫成、(3) 任何一個銳角都有相應(yīng)的銳角三角函數(shù)值，不因這個角不在某個三角形中而不存在(4) 由銳角三角函數(shù)的定義知：當(dāng)角度在0° A90°之間變化時， tanA 0考點二 、特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義，可求出0°、 30°、 45°、 60°、 90°角的各三角函數(shù)值，歸納如下：要點

4、詮釋：(1) 通過該表可以方便地知道 0°、 30°、 45°、 60°、 90°角的各三角函數(shù)值，它的另一個應(yīng)用就是：如果知道了一個銳角的三角函數(shù)值，就可以求出這個銳角的度數(shù)，例如：若，則銳角(2) 仔細研究表中數(shù)值的規(guī)律會發(fā)現(xiàn)：、sin90的值依次為0、1，而cos0、s i n 0、 cos90 的值的順序正好相反，、的值依次增大，其變化規(guī)律可以總結(jié)為：當(dāng)角度在 0° A90°之間變化時，正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大 ( 或減小 ) 而增大 ( 或減小 ) 余弦值隨銳角度數(shù)的增大 ( 或減小 ) 而減小 ( 或增大 )

5、 考點三 、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系如圖所示，在Rt ABC中， C=90°(1)互余關(guān)系：，；(2)平方關(guān)系：；(3)倒數(shù)關(guān)系：或；(4)商數(shù)關(guān)系：要點詮釋：銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可由銳角三角函數(shù)的意義推導(dǎo)得出，常應(yīng)用在三角函數(shù)的計算中，計算時巧用這些關(guān)系式可使運算簡便考點四 、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素( 直角除外 ) 求未知元素的過程，叫做解直角三角形在直角三角形中，除直角外，一共有5 個元素，即三條邊和兩個銳角.設(shè)在 Rt ABC中， C=90°， A、 B、 C所對的邊分別為a、b、 c，則有：222銳角之間的關(guān)系：A+ B=90° .邊角之

6、間的關(guān)系：.，.， h 為斜邊上的高.要點詮釋：(1) 直角三角形中有一個元素為定值( 直角為 90° ) ，是已知的值 .(2) 這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒有包括其他關(guān)系( 如不等關(guān)系 ).(3) 對這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.考點五、解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟Rt ABC由求 A，兩直角邊 (a ， b) B=90° A，兩邊斜邊，一直角邊 ( 如 c， a)由求 A， B=90° A， B=90° A，銳角、鄰邊( 如 A，b)，一直角邊一和一銳角 B=90° A，邊銳角、對

7、邊一( 如 A，a)，角 B=90° A，斜邊、銳角 ( 如 c， A)，要點詮釋：1在遇到解直角三角形的實際問題時，最好是先畫出一個直角三角形的草圖，按題意標明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對邊和鄰邊的順序進行計算 . 2若題中無特殊說明， “解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個條件為邊 .考點六、解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的知識應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實際問題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵.解這類問題的一般過程是：(1) 弄清題中名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯

8、角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.(2) 將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系， 把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題 .(3) 根據(jù)直角三角形 ( 或通過作垂線構(gòu)造直角三角形 ) 元素 ( 邊、角 ) 之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形 .(4) 得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，得出實際問題的解.拓展：在用直角三角形知識解決實際問題時，經(jīng)常會用到以下概念：(1) 坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示 .坡度 ( 坡比 ) ：坡面的鉛直高度h 和水平距離的比叫做坡度，用字母表示，則，如圖，坡度通常寫成=的形式.(2) 仰角、俯角：

9、視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖 .(3) 方位角：從某點的指北方向線按順時針轉(zhuǎn)到目標方向的水平角叫做方位角，如圖中，目標方向 PA， PB， PC的方位角分別為是40°， 135°， 245° .(4) 方向角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖中的目標方向線OA， OB， OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西 60° . 特別如：東南方向指的是南偏東 45°，東北方向指的是北偏東 45°，西南方向指的是南偏西 45°，西北方向指的是北偏西 45° .要點詮釋：1解直角三角形實際是用三角知識，通過數(shù)值計算，去求出圖形中的某些邊的長或角的大小，最好畫出它的示意圖.2非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點，恰當(dāng)引輔助線，使其轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩形來解