概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末證明題專項(xiàng)訓(xùn)練

1、證明題專項(xiàng)訓(xùn)練1. 設(shè)總體XN(0, B2),。X1,.,Xn是一個(gè)樣本，求b 2的矩估計(jì)量，并證明它為 b2的無 偏估計(jì)。2. 設(shè)總體X N(P,S2),參數(shù)H已知，CT2 (。2>0)未知，Xi,X2，Xn為一相應(yīng)的樣 本值。求S 2的最大似然估計(jì)量。，并證明它為。2的無偏估計(jì)。3. 設(shè)總體X服從N(u,。2),。2已知，u未知。Xi,，Xn是X的一個(gè)樣本，求u的矩估 計(jì)量，并證明它為 u的無偏估計(jì)。,P(B)4.設(shè) P(A) a0,試證：P(B | A) N1 -一 P(A)5.若隨機(jī)變量X N J,。2X - 口則 Z N 0,1 .CT設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,且都服從正態(tài)分布

2、N(0,9),而Xi,X2，X9和丫1,丫2,，丫9分別來自總體X和Y的樣本,試證統(tǒng)計(jì)量X1 X2X9129 t(9)U Y2 丫22丫92第3頁共3頁參考答案2 21.解:X的二階矩為：E(X )- °1 n 2X的二階樣本矩為 n J '1'2令：E(X2)=A2,1,二21 Xi2解得:n k 4,_21了 X22、-Xi。的矩估計(jì)量n J2，E(；?)= e( 、 X：)=二-2nk，它為。的無偏估計(jì)量.3'2.解：似然函數(shù)為L(o2) =n |二 e 堀 =1一 e 2寸,相應(yīng)的對數(shù)似然七沖 一 g ?函數(shù)為n 2£(xi -nln L(b

3、2) = _ 2 ln(2g2 )。2； 了22令對數(shù)似然函數(shù)對 。2的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到 。2的最大似然估計(jì)值為2':?2(Xi - 勺2n i 1E(<?2) =1無 E(Xin i、2它。為的無偏估計(jì)量3.解：樣本X1,.,Xn的似然函數(shù)為：L(x1,.,Xn,u) =(2 二 expl-1' (Xi -u)22'2“而 ln L(x1 ,.,xn ,u) = -n / 2 ln(2二)-業(yè)、3 - u)2 T2 kd令：d(ln L(x；,.,xn,u)=(x u)=0,解得：i? = 1e Xi U的最大似然估量l? = 1£ Xi 2'

4、; n k4n kj2'_ 1 nE(U?) = E(E Xk)=u, 它為u的無偏估計(jì)量. n k 44. 證明：因?yàn)?P(AuB)M1,即 P(A)+P(B)P(AB) <1P(A) P(B) -P(A)P(B | A) _1P(A)P(B| A) _ P(A) _1 _P(B)P(A)P(B | A) _ P(A) -P(B)_P(B)P(B | A) N1 -一 ( P(A)0 ) P(A)5.X -解法一：Z=的分布函數(shù)為CTP'：Z _x ： = P,1' I 冰= P'X _ CX J：.2二二"(5分)<T. x 上解法二：令g (x )=,貝UCTg(x沖(-8,危)上嚴(yán)格單調(diào)遞增(5分)r X -、一Z =的笞度函數(shù)為afZ z = fX h z h z =A X -令=u，礙aPZ 公 = J e 2 du =中(x )2- X 所以 Z N 0,1 .其反函數(shù)為 h(z)=uz + P , h'(z)=。，zW(°°，危)(4 分)X - 1 所以 Z=N(0,1).(6 分)CT6.由于X1,X2,X9是來自正態(tài)總體的樣本，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),則【】由于