中考數(shù)學(xué) 第一部分 基礎(chǔ)知識過關(guān) 第一章 數(shù)與式 第4講 二次根式課件 (8)

1、第第2121講講 圓的有關(guān)性質(zhì)圓的有關(guān)性質(zhì)泰安考情分析泰安考情分析基礎(chǔ)知識過關(guān)基礎(chǔ)知識過關(guān)泰安考點(diǎn)聚焦泰安考點(diǎn)聚焦總綱目錄總綱目錄隨堂鞏固練習(xí)隨堂鞏固練習(xí)泰安考情分析基礎(chǔ)知識過關(guān)知識點(diǎn)一知識點(diǎn)一 圓的有關(guān)概念圓的有關(guān)概念知識點(diǎn)二知識點(diǎn)二 圓的有關(guān)性質(zhì)圓的有關(guān)性質(zhì)知識點(diǎn)三知識點(diǎn)三 圓內(nèi)接四邊形圓內(nèi)接四邊形知識點(diǎn)一知識點(diǎn)一 圓的有關(guān)概念圓的有關(guān)概念1.1.圓的兩種定義圓的兩種定義(1)在一個(gè)平面內(nèi),線段OA繞它 固定的一個(gè)端點(diǎn)O 旋轉(zhuǎn)一周,另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓,其固定的端點(diǎn)O叫做 圓心 ,線段OA叫做 半徑 .(2)在同一平面上到定點(diǎn)的距離等于 定長 的所有點(diǎn)的集合叫做圓.2.2.弦和弧

2、弦和弧(1)弦:連接圓上 任意兩點(diǎn) 的線段叫做弦,經(jīng)過圓心的弦叫做 直徑 ,直徑是圓中最長的弦.(2)弧:圓上 任意兩點(diǎn)間的部分 叫做圓弧,簡稱弧.弧可分為 劣弧 、半圓和優(yōu)弧.3.3.同心圓和等圓同心圓和等圓: :圓心相同的圓叫做同心圓;半徑相等的圓叫做等圓.4.4.圓心角和圓周角圓心角和圓周角: :頂點(diǎn)在 圓心上 的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓上,并且 兩邊都與圓相交 的角叫做圓周角.5.5.弦心距弦心距: :圓心到弦的距離叫做 弦心距 ,即由圓心向弦作垂線段,則這條垂線段的長度叫做弦心距.知識點(diǎn)二知識點(diǎn)二 圓的有關(guān)性質(zhì)圓的有關(guān)性質(zhì)1.1.圓的對稱性圓的對稱性(1)圓是軸對稱圖形, 任何一條直徑

3、所在的直線 都是圓的對稱軸;(2)圓是中心對稱圖形,對稱中心是 圓心 .2.2.垂徑定理及其推論垂徑定理及其推論(1)定理:垂直于弦的直徑平分 弦 ,并且平分 弦所對的兩條弧 .(2)推論:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的弧.溫馨提示溫馨提示 (1)過圓心;(2)垂直于弦;(3)平分弦;(4)平分弦所對的優(yōu)弧;(5)平分弦所對的劣弧,這五條結(jié)論中的任意兩條成立,那么其他的結(jié)論也成立.3.3.圓心角、弧、弦之間的關(guān)系圓心角、弧、弦之間的關(guān)系(1)定理:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的 弧 相等,所對的 弦 相等,所對的弦的弦心距相等.(2)推論:在同圓或等圓中,兩個(gè)圓心角、兩

4、條弧、兩條弦、兩條弦心距中,有一組量相等,那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.4.4.圓周角定理及推論圓周角定理及推論(1)定理:在同圓或等圓中,同弧所對的圓周角相等,都等于它所對圓心角的 一半 .(2)推論: 同弧或等弧 所對的圓周角相等;半圓(或直徑)所對的圓周角是 直角 ;90的圓周角所對是 直徑 .溫馨提示溫馨提示 (1)同一條弧所對的圓周角相等,同一條弦所對的圓周角相等或互補(bǔ);(2)當(dāng)已知條件中有直徑時(shí),常常作直徑所對的圓周角,這是圓中常作的輔助線;(3)等弧只存在于同圓或等圓中,是指能夠完全重合的弧,而不是弧長相等或者所對圓心角相等的弧.知識點(diǎn)三知識點(diǎn)三 圓內(nèi)接四邊形圓內(nèi)接四邊形

5、1.定義:四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上的四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形.2.性質(zhì):圓內(nèi)接四邊形的對角 互補(bǔ) .泰安考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)一考點(diǎn)一 垂徑定理及其推論垂徑定理及其推論考點(diǎn)二考點(diǎn)二 圓心角、弧、弦的關(guān)系圓心角、弧、弦的關(guān)系考點(diǎn)三考點(diǎn)三 圓周角定理及其推論圓周角定理及其推論考點(diǎn)四考點(diǎn)四 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)考點(diǎn)一考點(diǎn)一 垂徑定理及其推論垂徑定理及其推論中考解題指導(dǎo)中考解題指導(dǎo)大部分求圓中弦或線段長度或者出現(xiàn)弦的中點(diǎn)的題目都要用到垂徑定理,我們要熟記垂徑定理的“兩條件三結(jié)論”,并熟練運(yùn)用定理本身和它的推論.例例1 1 (2017泰安一模)如圖,AB是O的直徑,點(diǎn)D平分弧AC,AC=5,DE=1.

6、5,則OE= .43解析解析OD為O半徑,點(diǎn)D平分弧AC,AC=5,ODAC,AE=CE=2.5.設(shè)OE=x,DE=1.5,OA=OD=x+1.5.在RtAEO中,AE2+OE2=AO2,即2.52+x2=(x+1.5)2,解得x= .43變式變式1-11-1一條排水管的截面如圖所示,已知排水管的半徑OA=1 m,水面寬AB=1.2 m,某天下雨后,水管水面上升了0.2 m,則此時(shí)排水管水面寬CD等于 1.6 m.解析解析如圖,作OEAB于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,連接OC.AB=1.2 m,OEAB,由垂徑定理知AE=0.6 m.OA=1 m,OE=0.8 m.水管水面上升了0.2 m,EF=0.

7、2 m,OF=0.8 m-0.2 m=0.6 m,CF= = =0.8(m),CD=1.6 m.22OCOF2210.6考點(diǎn)二考點(diǎn)二 圓心角、弧、弦的關(guān)系圓心角、弧、弦的關(guān)系例例2如圖,D,E分別是O的半徑OA,OB上的點(diǎn),CDOA,CEOB,CD=CE,則與的大小關(guān)系是 = .AClBClAClBCl解析解析CDOA,CEOB,CDO=CEO=90,又CD=CE,CO=CO,CODCOE.COD=COE,=.AClBCl變式變式2-1 (2017甘肅蘭州)如圖,在O中,的長=的長,點(diǎn)D在O上,CDB=25,則AOB=( B )A.45B.50 C.55D.60ABBC解析連接OC.CDB=2

8、5,COB=50.又=,AOB=COB=50,故選B.ABlBCl變式變式2-22-2如圖,AB是半圓的直徑,點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn),ABC=50,則DAB等于( C )A.55B.60 C.65D.70解析解析連接BD,如圖.點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn),即的長=的長,ABD=CBD,又ABC=50,ABD=50=25,AB是半圓的直徑,ADB=90,DAB=90-25=65.故選C.CDAD12方法方法技巧方法方法技巧熟記并能靈活運(yùn)用圓心角、弧、弦之間的關(guān)系的定理及推論是解決此類問題的關(guān)鍵.考點(diǎn)三考點(diǎn)三 圓周角定理及其推論圓周角定理及其推論例例3 (2017泰安)如圖,ABC內(nèi)接于O,若A=,則OBC等

9、于( D )A.180- B.2 C.90+ D.90-解析解析連接OC,則BOC=2A=2,OB=OC,OBC=OCB=(180-2)=90-.12變式變式3-1 (2016泰安)如圖,ABC內(nèi)接于O,AB是O的直徑,B=30,CE平分ACB交O于E,交AB于點(diǎn)D,連接AE,則SADESCDB=( D )A.1 B.1 C.12 D.233解析解析如圖所示,連接OE.AB是O的直徑,ACB=90.在RtACB中,B=30,設(shè)AC=x,則AB=2x,BC=x,OA=x.3CE平分ACB,ACE=BCE=ACB=45,BAE=BCE=45,AOE=2ACE=90,AOE為等腰直角三角形,AE=x

10、,BAE=BCE,ADE=BDC,ADECDB,SADE SCDB=2 3.故選D.1222AEBC223xx變式變式3-23-2 (2018泰安)如圖,O是ABC的外接圓,A=45,BC=4,則O的直徑為 4 .2解析解析連接OB,OC,A=45,BOC=90.OB=OC,BOC為等腰直角三角形.BC=4,OB=OC=2,圓的直徑為22=4.222方法方法技巧方法方法技巧求圓周角的度數(shù),可以轉(zhuǎn)化為求同弧所對的圓心角的度數(shù),同理,求圓心角的度數(shù),可以轉(zhuǎn)化為求同弧所對的圓周角的度數(shù).考點(diǎn)四考點(diǎn)四 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)中考解題指導(dǎo)中考解題指導(dǎo)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)、圓內(nèi)接四邊形的外

11、角等于它的內(nèi)對角,此知識點(diǎn)較為簡單,但也是非常容易忽略的,當(dāng)碰到圓與四邊形結(jié)合的題目時(shí),要優(yōu)先考慮圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和推論.例例4 (2017泰安)如圖,圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊AB過圓心O,過點(diǎn)C的切線與邊AD所在直線垂直于點(diǎn)M,若ABC=55,則ACD等于( A )A.20B.35 C.40D.55解析解析連接OC,CM所在直線為O的切線,CMOC.CMAM,OCAM,DAC=ACO.又OA=OC,OAC=ACO,DAC=OAC.AB為O的直徑,ACB=90,ABC=55,CAO=DAC=35.四邊形ABCD為O的內(nèi)接四邊形,ADC+ABC=180,ADC=125,ACD=180-DAC-

12、ADC=180-35-125=20.變式變式4-1如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于O,若四邊形ABCO是平行四邊形,則ADC的大小為 ( C )A.45B.50C.60D.75解析解析設(shè)ADC=x,則AOC=2x.四邊形ABCO是平行四邊形,B=AOC.四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形,B+D=180,x+2x=180,x=60.ADC=60.故選C.變式變式4-2如圖,A,B,C三點(diǎn)在O上,且CBD=60,那么AOC= 120 .解析解析如圖,在優(yōu)弧AC上取一點(diǎn)E,連接AE,CE,則四邊形ABCE為圓的內(nèi)接四邊形,且AOC=2AEC,AEC+ABC=180,CBD+ABC=180,AEC=CBD=6

13、0.AOC=2AEC=120.方法方法技巧通過圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)的性質(zhì),實(shí)現(xiàn)角與角之方法方法技巧方法方法技巧通過圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)的性質(zhì),實(shí)現(xiàn)角與角之間的轉(zhuǎn)化,這是解決此類問題的關(guān)鍵.一、選擇題一、選擇題1.(2018濟(jì)寧)如圖,點(diǎn)B,C,D在O上,若BCD=130,則BOD的度數(shù)是( D )A.50 B.60 C.80 D.100隨堂鞏固訓(xùn)練2.在半徑為13的O中,弦ABCD,弦AB和CD的距離為7,若AB=24,則CD 的長為( D )A.10 B.4C.10或4 D.10或2 30301653.(2018湖北武漢)如圖,在O中,點(diǎn)C在優(yōu)弧上,將弧 折疊后剛好經(jīng)過AB的中點(diǎn)D.若O的半

14、徑為,AB=4,則BC的長是( B )A.2 B.3 C. D.ABBC5325 32652二、填空題二、填空題4.如圖,將半徑為4 cm的圓形紙片折疊后,圓弧恰好經(jīng)過圓心O,則折痕AB的長為 4 cm.3解析解析連接AO,過O作ODAB,交于點(diǎn)D,交弦AB于點(diǎn)E.折疊后恰好經(jīng)過圓心O,OE=DE.O的半徑為4cm,ABABOE=OD=4=2cm,由ODAB,知AB=2AE,在RtAOE中,AE=2cm,AB=2AE=4cm.121222OAOE224233三、解答題三、解答題5.如圖,以ABC的一邊AB為直徑的半圓與其他兩邊AC,BC的交點(diǎn)分別為D,E,且 = .(1)試判斷ABC的形狀,并說明理由;(2)已知半圓的半徑為5,BC=12,求sinABD的值.DElBEl解析解析(1)ABC為等腰三角形.理由如下:連接AE,如圖所示.的長=的長,DAE=BA