多元函數(shù)的極限與連續(xù)性00413PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性004132007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系2與一元函數(shù)的極限相類似， 二元函數(shù)的極限 同樣是二元函數(shù)微積分的基礎(chǔ). 但因自變量個數(shù) 的增多, 導(dǎo)致多元函數(shù)的極限有重極限與累次極 限兩種形式, 而累次極限是一元函數(shù)情形下所不會出現(xiàn)的. 第1頁/共50頁2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系3一、二重極限 f2RD 0P定義定義1 設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù) 定義定義在在上上, 為為 D 的的 一個聚點(diǎn)一個聚點(diǎn), A 是一實(shí)數(shù)是一實(shí)數(shù). 若若0,0, 使得當(dāng)使得當(dāng) 0(;)PUPD 時時, 都有都有 |()|,f PA 0lim(

2、 ).PPPDf PA f0PP則稱則稱在在 D 上當(dāng)上當(dāng)時以時以 A 為極限為極限, 記作記作 第2頁/共50頁2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系40lim().PPf PA 0P00( , ),(,)x yxy當(dāng)當(dāng) P, 分別用坐標(biāo)分別用坐標(biāo) 表示時表示時, 上式也上式也 常寫作常寫作 00( ,)(,)lim( ,).x yxyf x yA 例例1 依定義驗(yàn)依定義驗(yàn)證證22( ,)(2,1)lim()7.x yxxyy證證 因?yàn)橐驗(yàn)?227xxyy22(4)2(1)xxyy簡記為簡記為第3頁/共50頁2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系5|(2)(2)(2)2(1)

3、(1)(1)|xxxyyyy|2|2|1|3|.xxyyy不妨先限制在點(diǎn)不妨先限制在點(diǎn)( (2, 1) )的方鄰域的方鄰域 ( ,) |2|1, |1|1x yxy內(nèi)來討論內(nèi)來討論, 于是有于是有|3|14|1|45,yyy |2|(2)(1)5|xyxy|2|1|57.xy第4頁/共50頁2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系62277|2|5|1|xxyyxy7 (|2|1|).xy0,min (1,),14 取取|2|, |1|xy 當(dāng)當(dāng)( ,)(2,1)x y 且且 時時, 就有就有 2277214.xxyy 這就證得這就證得 22( ,)(2,1)lim()7.x yxxyy

4、所以所以第5頁/共50頁2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系7例例2 2 設(shè)設(shè) 2222( ,)(0, 0),( ,)0,( ,)(0, 0),xyxyx yf x yxyx y， 證明證明( ,)(0,0)lim( ,)0.x yf x y 證證(證法一證法一) 0, 由由222222222202xyxyxyxyxyxy第6頁/共50頁2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系8222211(),22xyxy可知可知 222 ,0,xy 當(dāng)當(dāng)時時 便便有有22220,xyxyxy 故故( ,)(0,0)lim( ,)0.x yf x y 注意注意 不要把上面的估計(jì)式錯寫成：不要

5、把上面的估計(jì)式錯寫成：2222222210(),22xyxyxyxyxyxyxy 第7頁/共50頁2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系9( ,)(0, 0)x y ( ,)(0, 0),x y 因?yàn)橐驗(yàn)榈倪^程只要求的過程只要求 即即 220,xy 0.xy 而并不要求而并不要求 (證法二證法二) 作極坐標(biāo)變換作極坐標(biāo)變換 cos ,sin .xryr 這這時時 2222|( ,)0|xyf x yxyxy 2211|sin4|,44rr ( ,)(0, 0)x y 0r 等價于等價于( 對任何對任何 ). 由于由于 因此，因此，220,2,rxy只須只須對任何對任何 第8頁/共50頁

6、2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系10都有都有 2( ,)(0,0)1|( ,)0|,lim( ,)0.4x yf x yrf x y 即即下述定理及其推論相當(dāng)于一元函數(shù)極限的海涅歸下述定理及其推論相當(dāng)于一元函數(shù)極限的海涅歸結(jié)結(jié)原則原則( (而且證明方法也相類似而且證明方法也相類似). ). 定理定理10lim( )PPP Df PA 的充要條件是：對于的充要條件是：對于 D 的的 任一子集任一子集 E, ,只要只要 仍是仍是 E 的聚點(diǎn)的聚點(diǎn), ,就有就有0P0lim( ).PPP Ef PA 第9頁/共50頁2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系111ED 01lim(

7、 )PPP Ef P 推論推論1 若若, P0 是是 E1 的聚點(diǎn)的聚點(diǎn), 使使 不存在不存在, 則則0lim( )PPP Df P 也不存在也不存在 001212lim( )lim( )PPPPP EP Ef PAf PA與與120,EED P 推論推論2 若若 是它們的聚點(diǎn)，使得是它們的聚點(diǎn)，使得12AA 0lim( )PPP Df P 都存在，但都存在，但, 則則不存在不存在第10頁/共50頁2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系12推論推論3 極限極限 0lim( )PPP Df P 存在的充要條件是：存在的充要條件是：D 中任中任 一滿足條件一滿足條件00lim,nnnnPP

8、PPP 且且點(diǎn)點(diǎn)列列的的 它所它所 對應(yīng)的函數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)列()nf P都收斂都收斂 下面三個例子是它們的應(yīng)用下面三個例子是它們的應(yīng)用 22( ,)xyf x yxy ( ,)(0, 0)x y 例例3 討論討論當(dāng)當(dāng)時是時是否否存在極限存在極限( 注注: 本題結(jié)論很重要本題結(jié)論很重要, 以后常會用到以后常會用到. ) 解解 當(dāng)動點(diǎn)當(dāng)動點(diǎn) (x, y) 沿著直線沿著直線 而趨于定點(diǎn)而趨于定點(diǎn) (0, 0) ymx第11頁/共50頁2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系13時，由于時，由于2( ,)( ,)1mf x yf x mxm , 因此有因此有 2( ,)(0,0)0lim( ,)

9、lim( ,).1x yxymxmf x yf x mxm 這說明動點(diǎn)沿不同斜率這說明動點(diǎn)沿不同斜率 m 的直線趨于原點(diǎn)時的直線趨于原點(diǎn)時, 對應(yīng)對應(yīng) 的極限值不相同，因而所討論的極限不存在的極限值不相同，因而所討論的極限不存在210,( ,)0yxxf x y ，, ,， 其其余余部部分分. .4例例設(shè)設(shè)第12頁/共50頁2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系14如圖如圖 16-15 所示所示, 當(dāng)當(dāng) (x, y) 沿任何直線趨于原點(diǎn)時沿任何直線趨于原點(diǎn)時, 相應(yīng)的相應(yīng)的 ( ,)f x y都趨于都趨于 0, 但這并不表明此函數(shù)在但這并不表明此函數(shù)在 第13頁/共50頁2007年8月

10、南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系15( , )(0, 0)x y 時的極限為時的極限為 0. 因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng) (x, y) 沿拋物線沿拋物線 2(01)ykxk ( ,)f x y 趨于點(diǎn)趨于點(diǎn) O 時時, 將趨于將趨于1. 所所以極限以極限 ( , )(0,0)lim( , )x yf x y不存在不存在. ( , )xyf x yxy ( ,)(0, 0)x y 例例5 討論討論在在 時不時不 存在極限存在極限 解解 利用定理利用定理 1的推論的推論 2, 需要找出兩條路徑需要找出兩條路徑, 沿沿 著著此二路徑而使此二路徑而使 ( ,)(0, 0)x y 時時, 得到兩個相異得到兩個相異 的

11、極限的極限 第14頁/共50頁2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系16第一條路徑簡單地取第一條路徑簡單地取,yx 此時有此時有 2( , )(0,0)0()limlim0.2x yxyxxyxxyx 第二條路徑可考慮能使第二條路徑可考慮能使( , )xyf x yxy 的分子與的分子與 分母化為同階的無窮小分母化為同階的無窮小, 導(dǎo)致極限不為導(dǎo)致極限不為 0. 按此思路按此思路 的一種有效選擇的一種有效選擇, 是取是取 2.yxx 此時得到此時得到 222( , )(0,0)00()()limlimlim(1)1,x yxxyxxxyx xxxxyx 第15頁/共50頁2007年8月

12、南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系17這就達(dá)到了預(yù)期的目的這就達(dá)到了預(yù)期的目的 ( 非正常極限非正常極限 ) 的定義的定義 定義定義2 設(shè)設(shè) D 為二元函數(shù)為二元函數(shù)f的定義域，的定義域， 000(,)P xy是是 D 的一個聚點(diǎn)的一個聚點(diǎn). 若若 0,0,M 使得使得 0( ,)(; ),( , ),P x yUPDf x yM 都都有有0PP 則稱則稱 f在在 D 上當(dāng)上當(dāng) 時時, 有有非正常極限非正常極限 , 記記作作 00( ,)(,)lim( ,),x yxyf x y ( , )f x y 下面再給出當(dāng)下面再給出當(dāng) 時時, 000( , )(,)P x yP xy第16頁/共50頁2

13、007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系18或或 0lim( ).PPf P 仿此可類似地定義：仿此可類似地定義：00lim( )lim( ).PPPPf Pf P 與與例例6 設(shè)設(shè) 221( ,)23f x yxy . 證明證明 ( ,)(0,0)lim( ,).x yf x y 證證 此函數(shù)的圖象見后面的圖此函數(shù)的圖象見后面的圖. 第17頁/共50頁2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系19第18頁/共50頁2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系202222234()xyxy 0,M 因因 , 故對故對只需取只需取 2211,022xyMM 當(dāng)當(dāng)時時，就就有有22221

14、123,.23xyMMxy 即即這就證得結(jié)果這就證得結(jié)果 二元函數(shù)極限的四則法則與一元函數(shù)極限相仿二元函數(shù)極限的四則法則與一元函數(shù)極限相仿, 特特 同同, 這里不再一一敘述這里不再一一敘述.( , )f x y( )f P看作點(diǎn)函數(shù)看作點(diǎn)函數(shù)別把別把 時時, 相應(yīng)的證法也相相應(yīng)的證法也相 第19頁/共50頁2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系21不存在不存在.觀觀察察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 播放播放第20頁/共50頁2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系22二、累次極限是以任何方式趨于是以任何方式趨于 這種極限也稱為這種極限也稱為重重 00(

15、,),xy的的極限極限. 下面要考察下面要考察 x 與與 y 依一定的先后順序依一定的先后順序, 相繼相繼趨趨 在上面討論的在上面討論的00( ,)(,)lim( ,)x yxyf x y中中, 自變量自變量 ( , )x y0 x于于 與與 時時 f 的極限的極限, 這種極限稱為這種極限稱為累次極限累次極限. 0y定義定義3 ( , ),( , ),f x yx yDDxy設(shè)在軸、 軸上的投設(shè)在軸、 軸上的投000,.(),xyX YyY yy分別是的聚點(diǎn) 若對每一個分別是的聚點(diǎn) 若對每一個,XY影分別為、即影分別為、即|( , ),|( , ),Xxx yDYyx yD第21頁/共50頁2

16、007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系230( )lim( ,);xxyf x y 如果進(jìn)一步還存在極限如果進(jìn)一步還存在極限 0lim( ),yyLy 累次極限累次極限, 記作記作 0()xx0()yy則稱此則稱此 L 為為 先對先對 后后對對的的 ( , )f x y0lim( ,)xxf x y，它一般與它一般與 y 有關(guān)有關(guān), 記作記作 存在極限存在極限00lim lim( ,).yy xxLf x y 第22頁/共50頁2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系24類似地可以定義類似地可以定義先對先對 y 后對后對 x 的累次極限的累次極限: 00lim lim( ,).xx

17、 yyKf x y 注注 累次極限與重極限是兩個不同的概念累次極限與重極限是兩個不同的概念, 兩者之間兩者之間沒有蘊(yùn)涵關(guān)系沒有蘊(yùn)涵關(guān)系. 下面三個例子將說明這一點(diǎn)下面三個例子將說明這一點(diǎn). 22( ,)xyf x yxy ( , )f x y例例7 設(shè)設(shè) . 由例由例 3 知道知道 當(dāng)當(dāng)( , )(0, 0)x y 0y 時的重極限不存在時的重極限不存在. 但當(dāng)?shù)?dāng)時時, 有有 220lim0,xxyxy 第23頁/共50頁2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系25從而又有從而又有 2200limlim0.yxxyxy 同理可得同理可得 這說明這說明 f 的兩個累次極限都存在而且相等的

18、兩個累次極限都存在而且相等. 2200limlim0.xyxyxy 累次極限分別為累次極限分別為 例例8 設(shè)設(shè) , 它關(guān)于原點(diǎn)的兩個它關(guān)于原點(diǎn)的兩個 22( , )xyxyf x yxy第24頁/共50頁2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系262220000limlimlimlim(1)1,yxyyxyxyyyyxyy 2220000limlimlimlim(1)1.xyxxxyxyxxxxyx 當(dāng)沿斜率不同的直線當(dāng)沿斜率不同的直線,( ,)(0, 0)ymxx y 時時, 有有 訴我們訴我們, 這個結(jié)果是必然的這個結(jié)果是必然的. ) 22( , )(0,0)1lim,1x yymx

19、xyxymxym 因此該函數(shù)的重極限不存在因此該函數(shù)的重極限不存在. ( 下面的定理下面的定理 2 將告將告 第25頁/共50頁2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系27例例 設(shè)設(shè)11( ,)sinsinf x yxyyx, 它關(guān)于原點(diǎn)的兩它關(guān)于原點(diǎn)的兩 個累次極限都不存在個累次極限都不存在. 這是因?yàn)閷θ魏芜@是因?yàn)閷θ魏?0,y 而而當(dāng)當(dāng)0 x 時時, f 的第二項(xiàng)不存在極限的第二項(xiàng)不存在極限. 同理同理, f 的第一的第一 項(xiàng)當(dāng)項(xiàng)當(dāng) 時也不存在極限時也不存在極限. 但但是由于是由于 0y 11sinsin|,xyxyyx(,)(0, 0)lim( ,)0.x yf x y 故按定義

20、知道故按定義知道 時時 f 的重極限存在的重極限存在, 且且 ( , )(0,0)x y 第26頁/共50頁2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系28下述定理告訴我們下述定理告訴我們: 重極限與累次極限在一定條件重極限與累次極限在一定條件 下也是有聯(lián)系的下也是有聯(lián)系的. 定理定理2 若若 f (x, y) 的重極限的重極限 與與 00( ,)(,)lim( ,)x yxyf x y累次極限累次極限 00lim lim( ,)xx yyf x y都存在都存在, 則兩者必定相等則兩者必定相等. 證證 設(shè)設(shè) 00( ,)(,)lim( ,),x yxyf x yA 0,0, 0( ,)(;

21、)P x yUP 則則使得當(dāng)使得當(dāng)時時, 有有|( , )|.(1)f x yA 第27頁/共50頁2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系2900|(2)xx 的的 x, 存在極限存在極限 另由存在累次極限之假設(shè)另由存在累次極限之假設(shè), 對任一滿足不等式對任一滿足不等式 0lim( ,)( ).(3)yyf x yx |( )|.(4)xA 0yy回到不等式回到不等式(1), 讓其中讓其中, 由由 (3) 可得可得故由故由 (2), (4) 兩式兩式, 證得證得0lim( )xxxA , 即即0000( ,)(,)lim lim( ,)lim( ,).xx yyx yxyf x yf

22、x yA第28頁/共50頁2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系30由這個定理立即導(dǎo)出如下兩個便于應(yīng)用的推論由這個定理立即導(dǎo)出如下兩個便于應(yīng)用的推論. 00lim lim( ,)xx yyf x y00lim lim( ,)yy xxf x y, 推論推論1 若重極限若重極限 和累次極限和累次極限 00( ,)(,)lim( ,)x yxyf x y都存在都存在, 則三者必定相等則三者必定相等. 推論推論2 若累次極限若累次極限0000lim lim( ,)lim lim( ,)xx yyyy xxf x yf x y與與都存在但不相等都存在但不相等, 則重極限則重極限00( ,)(,

23、)lim( ,)x yxyf x y必定必定 不存在不存在. 第29頁/共50頁2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系31請注意請注意: (i) 定理定理 2 保證了在重極限與一個累次保證了在重極限與一個累次 極限都存在時極限都存在時, 它們必相等它們必相等. 但對另一個累次極限的但對另一個累次極限的 存在性卻得不出什么結(jié)論存在性卻得不出什么結(jié)論(ii) 推論推論 1 給出了累次極限次序可交換的一個充分給出了累次極限次序可交換的一個充分條件條件. (iii) 推論推論 2 可被用來否定重極限的存在性可被用來否定重極限的存在性(如例如例8 ). 第30頁/共50頁2007年8月南京航空航

24、天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系32 0000( , )(,)()f x yP xyUP在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi) 例例10 設(shè)設(shè) ,:有有定定義義 且且滿滿足足0lim( ,)( );xxf x yy 00(i)(),UPyy 在內(nèi),對每個存在極限在內(nèi),對每個存在極限 0(ii)()UPx在內(nèi),關(guān)于一致地存在極限在內(nèi),關(guān)于一致地存在極限 0lim( ,)( ).yyf x yx 試證明試證明: 0000lim lim( ,)lim lim( ,).xx yyyy xxf x yf x y 第31頁/共50頁2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系33證證 01 (lim( )0,(ii),yy

25、yA 證明存在由條件證明存在由條件00,0|(xyy 對對一一切切存存在在公公共共的的只只要要并并0( , )() ),x yUP 使便有使便有|( , )( )|.2f x yx 00|,yy 于于是是當(dāng)當(dāng)時時 又又有有|( , )( ,)|( , )( )|f x yf x yf x yx |( ,)( )|.f x yx 第32頁/共50頁2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系340,(i)xx再令由條件又得再令由條件又得|( )()|.yy 根據(jù)柯西準(zhǔn)則根據(jù)柯西準(zhǔn)則, 證得證得0lim( ).yyyA 存在存在02 (lim( )0,xxxA 證明由證明由|( )|( )( ,

26、 )|xAxf x y|( , )( )|( )| ,f x yyyA1 0( , )(),x yUPy 當(dāng)且與當(dāng)且與利用條件利用條件 (ii) 與結(jié)論與結(jié)論 , 0y第33頁/共50頁2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系35,充分接近時 可使充分接近時 可使|( )( , )|, |( )|;33xf x yyA0,(i),0,0|,yxx再將固定 由條件當(dāng)時再將固定 由條件當(dāng)時又有又有00lim( )lim( ).xxyyxy |( )|,xA即即這就證得這就證得|( , )( )|;3f x yy 第34頁/共50頁2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系36注注 本例給

27、出了二累次極限相等的又一充分條件本例給出了二累次極限相等的又一充分條件. 與與 定理定理16. 6 的推論的推論1 相比較相比較, 在這里的條件在這里的條件 (i) 與與 (ii) 成立時成立時, 重極限重極限00( ,)(,)lim( ,)x yxyf x y 未必存在未必存在. 第35頁/共50頁2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系37復(fù)習(xí)思考題試問累次極限試問累次極限是否就是動點(diǎn)是否就是動點(diǎn)1( , )x yl按按后后面面的的圖圖中中兩兩條條特特殊殊路路徑徑200(,)( , )?lxyf x y與與分分別別趨趨向向時時的的極極限限并并由由此此說說2212明明定定理理的的推推論論與與定定理理 的的推推論論是是不不是是相相同同的的？0000lim lim( ,)lim lim( ,)xx yyyy xxf x yf x y與與第36頁/共50頁2007年8月南京航空航