多元正態(tài)分布的參數(shù)估計與檢驗(yàn)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1多元正態(tài)分布的參數(shù)估計與檢驗(yàn)多元正態(tài)分布的參數(shù)估計與檢驗(yàn)如果 維隨機(jī)向量 (隨機(jī)變量)pTpXXXX),(21 定義(聯(lián)合)概率密度函數(shù)為 )()(21exp|)2(1),(121221 XVXVxxxfTpp則稱隨機(jī)向量 為 維正態(tài)隨機(jī)向量， Xp其中 稱為均值向量，為協(xié)方差矩陣(協(xié)差陣)，且V. 0 V對于一般情形, 0 V仍可定義多維正記為 。),(VNXp 態(tài)隨機(jī)向量，當(dāng) 時，0 V第1頁/共19頁若令多元正態(tài)分布的性質(zhì)：（1）維正態(tài)分布由其均值向量和協(xié)方差陣唯一確定。p（2）對于任一 維向量 及 階非負(fù)定矩陣 ，（3）設(shè) ， 是 常數(shù)矩陣，),(VNXp Apm b是 維向量

2、，m).,(TpAVAbANY , bAXY 則p pV必存在 維正態(tài)隨機(jī)向量 。p),(VNXp 有前面的密度表示，而當(dāng) 時，X0| V的分X布是退化的正態(tài)分布。第2頁/共19頁（4）為 維正態(tài)隨機(jī)向量的充要條件為對任Xp一 維向量 ，c 是一維正態(tài)隨機(jī)變量。XcT（5）設(shè) 為多維正態(tài)隨機(jī)向量，TTTXXX),(21 則 與 互不相關(guān)的充要條件是 與1X2X 相互獨(dú)立。1X2X注：0),( YXCov 若 ，則稱 與 互不相關(guān)。XY（6）設(shè) ，),(VNXp 則 的充要條mV )(rank件是存在 矩陣 使得pm B)(VBBT BYX其中 。), 0(mmINYp第3頁/共19頁證明充分性

3、由性質(zhì)3立得。下證必要性。由于 是秩 為的非負(fù)定陣，則必存在正Vm交矩陣 使得U 000000000000001mTVUU 其中 。mii, 1, 0 第4頁/共19頁令,00000021 m 則有.00000002121DIIVUUImmpTmp 令)(0021 XUIWYZTmp第5頁/共19頁則由性質(zhì)3知 ，), 0(DNZp且 ,), 0(mmINY由上式可得.0002121YUZIUXmp 若記,021 UB它是 矩陣，即有mp BYX第6頁/共19頁（7）若 ,),(VNXp 且 ，0| V則).()()(21pXVXT 證明由 可知 是正定矩陣，0| VV所以21 V存在且為對稱

4、矩陣，這樣)()(2121 XVVXT)()(2121 XVXVT令),(21 XVY則)., 0(ppINY,YYT 且第7頁/共19頁由性質(zhì)3知 的每個分量 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，YiY且相互獨(dú)立，故 分布的定義知).(2pYYT 2 第8頁/共19頁在此給出多元正態(tài)分布的參數(shù) 和 的估 V計。為簡單計，僅考慮 的情形。0 V設(shè) 是來自多元正態(tài)總)(,21pnXXXn 體 的簡單樣本，),(VNp 令 nkkXnX11 nkTkkXXXXS1)(樣本均值向量樣本離差陣第9頁/共19頁定理則 是設(shè) 是來自多元正)(,21pnXXXn 態(tài)總體 的簡單樣本，),(VNp 且 ，0 VX 的極大似然估

5、計，Sn1是 的極大似然估計。V定理則 是設(shè) 是來自多元正)(,21pnXXXn 態(tài)總體 的簡單樣本，),(VNp 且 ，0 VX 的一致最小方差無偏估計，Sn11 是 的一致V最小方差無偏估計。第10頁/共19頁（一）協(xié)差陣 已知時，均值 的檢驗(yàn)V 設(shè) 是來自多元正態(tài)總)(,21pnXXXn 體 的簡單樣本，),(VNp 其中 已知。V考慮假設(shè)檢驗(yàn)問題0100 ：，：HH令),()(010 XVXnDT則可以證明當(dāng)成立時，即 時，0H0 )(2pD 第11頁/共19頁而當(dāng) 不成立時，0H有偏大的趨勢。D因此，對給定的顯著性水平 ， 當(dāng))()()(21010pXVXnDT 時拒絕 ，0H否則接

6、受 ，即拒絕域?yàn)?H )(:21pDDW 第12頁/共19頁（二）協(xié)差陣 未知時，均值 的檢驗(yàn)V 設(shè) 是來自多元正態(tài)總)(,21pnXXXn 體 的簡單樣本，),(VNp 其中 未知。V考慮假設(shè)檢驗(yàn)問題0100 ：，：HH令),()(010 XSXpnpnFT則可以證成立時，即 時，0H0 ),(pnpFF 明當(dāng)?shù)?3頁/共19頁而當(dāng) 不成立時，0H有偏大的趨勢。F因此，對給定的顯著性水平 ， 當(dāng)時拒絕 ，0H否則接受 ，即拒絕域?yàn)?H ),(:1pnpFFFW ),()()(1010pnpFXSXpnpnFT 第14頁/共19頁（三）兩個正態(tài)總體均值相等的檢驗(yàn)設(shè) 是來自多元正態(tài)總)(,121

7、1pnXXXn 體 的簡單樣本，),(1VNp 考慮假設(shè)檢驗(yàn)問題211210 ：，：HH)(,2212pnYYYn 是來自多元正態(tài)總 的簡單樣本，),(2VNp 且兩個樣本相互獨(dú)立，協(xié)方差陣 。0 V根據(jù)協(xié)方差陣 已知和未知分兩種情形：V第15頁/共19頁（1）V已知檢驗(yàn)統(tǒng)計量)()(12121YXVYXnnnnDT 可以證明當(dāng) 成立時，即 時，0H21 )()()(212121pYXVYXnnnnDT 而當(dāng) 不成立時，0H有偏大的趨勢。 D因此，對給定的顯著性水平 ， 當(dāng)?shù)?6頁/共19頁時拒絕 ，0H否則接受 ，即拒絕域?yàn)?H )(:21pDDW )()()(2112121pYXVYXnnnnDT （2）V未知檢驗(yàn)統(tǒng)計量)()() 2)() 1(121212121YXVYXnnnnppnnnnFT 第17頁/共19頁可以證明當(dāng) 成立時，即 時