初中數(shù)學教材中的數(shù)學思想

1、初中數(shù)學教材中的數(shù)學思想天得一而清，地得一而寧，萬物得一而生，數(shù)學的美美在其統(tǒng)一性與簡單性。化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、整體思想、函數(shù)思想、對應思想等不都是數(shù)學統(tǒng)一美的表現(xiàn)嗎？方程、函數(shù)、不等式之間是統(tǒng)一的，加、減、乘、除之間是統(tǒng)一的，減就是加，除就是乘。數(shù)與式之間是統(tǒng)一的，數(shù)與形之間是統(tǒng)一的。在數(shù)學統(tǒng)一美的統(tǒng)領下，各種數(shù)學思想各善其能。本文簡略探討了初中數(shù)學中的一些數(shù)學思想，這是數(shù)學教學的目的所在，也是學生數(shù)學能力的體現(xiàn)。其實，每一種數(shù)學思想都可以寫厚厚的一本書，又豈是本文浮光掠影式的一帶而過。那么初中數(shù)學教材中滲透了那些數(shù)學思想呢？1、化歸思想 匈牙利著名數(shù)學家路莎·彼得在她的名著無

2、窮的玩藝一書中對“化歸方法”作過描述：“如上所述的推理過程，對于數(shù)學家的思維過程來說是很典型的，他們往往不對問題進行正面的攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉(zhuǎn)化為己經(jīng)能夠解決的問題。當然，從陳舊的實用觀點來看，以下的一個比擬也許是十分可笑的，但這一比擬在數(shù)學家中卻是廣為流傳的：現(xiàn)有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴擺在你面前，當你要燒水時，你應當怎么去做呢?往水壺里注滿水，點燃煤氣，然后把水壺放在煤氣灶上。你對問題的回答是正確的?，F(xiàn)把所說的問題稍作修改，即假設水壺里己經(jīng)裝滿了水，而所說問題中的其他情況都不變，試問，此時你應該怎樣去做?此時被問者一定會大聲而頗有把握地說：點燃煤氣，再把水壺放上去。他確信

3、這樣的回答是正確的，但是更完美的回答應該是這樣的：只有物理學家才會按照剛才所說的辦法去做，而數(shù)學家卻會回答：只須把水壺中的水倒掉，問題就化歸為前面所說的問題了?！睆倪@段話可以看出，化歸方法已經(jīng)成為了數(shù)學家們最典型的思維模式了”。 所謂“化歸”，從字面上看，可理解為轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思。數(shù)學中把待解決的問題通過轉(zhuǎn)化，歸結(jié)到一類己經(jīng)能解決或者比較容易解決的問題中去，最終獲得原問題的解答的一種手段和方法?；瘹w方法用框圖可直觀表示為：待解決的問題A易解決的問題B問題A的解答問題B的解答轉(zhuǎn)化化還原其中，問題B常被稱作化歸目標或方向，轉(zhuǎn)化的手段被稱為化歸途徑或化歸策略。所以化歸包括三個基本要素，即化歸對象、化

4、歸目標和化歸策略?；瘹w的方向是：由未知到已知，由復雜到簡單，由困難到容易。 初中數(shù)學處處都體現(xiàn)出轉(zhuǎn)化的思想，如化繁為簡、化難為易，化未知為己知，化多元為一元，化高次為低次等，是解決問題的一種最基本的思想。在具體內(nèi)容上，有加減法的轉(zhuǎn)化，乘除法的轉(zhuǎn)化，乘方與開方的轉(zhuǎn)化，添輔助線，設輔助元等等都是實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的具體手段。轉(zhuǎn)化思想是一種思維策略的表現(xiàn)，即我們常說的換個角度想問題。它是解決數(shù)學問題的重要思想，它要求我們能把握住問題的本質(zhì)，能辨證地看待事物，能運用所學的知識把復雜的問題轉(zhuǎn)化為較簡單的問題解決，把隱含的條件轉(zhuǎn)化為明顯的條件，把生疏的問題轉(zhuǎn)化為較熟知的問題解決。嚴格說，初中的幾何證明只能是指出待證

5、問題可以歸入哪個問題的證明或由哪個已證的定理或結(jié)論來證明，實質(zhì)上是一種化歸過程。老老實實從公理、公設、定義出發(fā)去證明每一個命題，既費時，又沒有必要，對初中學生來說有的甚至是不可能達到的。等價轉(zhuǎn)化本身是數(shù)學中的很重要的內(nèi)容，可以把較為深奧的問題化為較淺顯的問題，較復雜的問題轉(zhuǎn)化為較簡單的問題。學習數(shù)學時頭腦的靈活也體現(xiàn)在這種等價轉(zhuǎn)化上，能把原題改為一個新的題目且使兩題的已知條件及結(jié)論本質(zhì)上相同，做到此很不簡單。 例1：有雞、兔若干只同籠，已知共有頭12個，腿36條，問雞、兔各多少?此題解法較多，我們可以用化歸方法，若雞、兔同時抬起一半腿，則有腿18條，比頭數(shù)多6，問題很快解決。例2：如圖，正方形

6、的邊長為a，求圖中陰影部分面積。 分析：圖形不規(guī)則，換一個角度看，知陰影部分是由4個以正方形的邊長為直徑的半圓疊加再減去一個正方形而形成。有些問題如果直接解決難以入手，不妨換一個方向、角度或觀點來考慮，或許能使問題變得更清晰、更明朗，這就是轉(zhuǎn)化思想。2、符號化、方程與函數(shù)思想 符號化思想，方程思想和函數(shù)思想本來是三個不同的思想，它們各有側(cè)重點，符號化偏重于形式化、結(jié)構化。方程思想相對于算術法，偏重于關注問題中的等量關系、構造方程，由解方程而達到問題解決。函數(shù)思想則偏重于事物的運動變化，尋求變量之間的對應關系。但是，一方面，由于初中數(shù)學知識量畢竟有限，這三種思想的形成還有待學生在后繼學習中完成，

7、另一方面，這三種思想存在著有機的聯(lián)系，符號化是方程思想實現(xiàn)的基礎，而方程又可以看作是函數(shù)的特殊情況，方程方法也是研究函數(shù)的有力工具。因此，這里把這三種思想方法放在一起。 a、符號化思想符號既可以表示數(shù)，又可以表示量；既可以表示未知數(shù)，又可以表示已知數(shù)； 既可表示常量，又可表示變量，還可以用符號表示運算、表示關系、表示語句、表示圖形。如新教材第三章 字母表示數(shù)中的“ 擺火柴棒”的實驗， 就蘊涵著用字母表示數(shù)的思想， 如能先讓學生在具體實驗中計算一些具體的數(shù)值， 啟發(fā)學生歸納出字母表示數(shù)的思想，認識到字母表示數(shù)具有問題的一般性， 就便于問題的研究和解決，由此就可產(chǎn)生從算術到代數(shù)的認識飛躍。學生領會

8、了用字母表示數(shù)的思想就可順利地進行以下內(nèi)容的教學：（1） 用字母表示問題（ 代數(shù)式模仿、列代數(shù)式） ；（2） 用字母表示規(guī)律（ 運算定律、計算公式、認識數(shù)式通性的思想） ；（3） 用字母表示數(shù)來解題（ 適應字母式問題的能力）。 b、 方程思想方程思想就是把問題轉(zhuǎn)化為利用方程或方程組求解。運用方程思想解題在數(shù)學、物理、化學等學科中均有廣泛的應用。方程、函數(shù)、不等式關系緊密，是初中階段數(shù)學的重要內(nèi)容和考查熱點，尤其是二次函數(shù)與二次方程。不等式反映的是不等量的關系，往往也用等量關系(函數(shù)、方程)去解決問題。在中考中，用方程思想求解的題目隨處可見。同時，方程思想也是解幾何計算題的重要策略。 c、 函數(shù)

9、思想世界上一切事物都是處在運動、變化和發(fā)展的過程中，這就要求我們教學中重視函數(shù)的思想方法的教學。雖然函數(shù)知識安排在初三學習但函數(shù)思想已經(jīng)滲透到初一、二教材的各個內(nèi)容之中。因此，教學上要有意識、有計劃、有目的地培養(yǎng)函思想方法。讓學生逐漸形成以運動的觀點去觀察事物，并借助函數(shù)關系思考解決問題。 3、數(shù)形結(jié)合思想 “數(shù)”和“形”是數(shù)學教學中既有區(qū)別又有聯(lián)系的兩個對象。在數(shù)學教學中，突出數(shù)形結(jié)合思想，有利于學生從不同的側(cè)面加深對問題的認識和理解，提供解決問題的方法，也有利于培養(yǎng)學生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力。例如初中代數(shù)中，正是借助于數(shù)形結(jié)合的載體-數(shù)軸，介紹數(shù)與點的對應關系，相反數(shù)，絕對值的定義

10、，有理數(shù)大小比較的法則等，大大減少了學生學習這些知識的難度，因此數(shù)形結(jié)合的思想教學應貫穿于整個教學的始終。 “數(shù)”與“形”是同一個事物的兩個方面，以形判數(shù)，以數(shù)論形的思想方法就是數(shù)形結(jié)合法。數(shù)量問題有時借助于圖形可以很直觀地解決，反之，圖形問題有時轉(zhuǎn)化為數(shù)量問題可以很方便的解答。有些同學重視定理、公式的計算，可是不重視數(shù)形的結(jié)合，因此，學不好數(shù)學。曲線、圖象等是研究方程、函數(shù)的手段，給人以深刻的感性認識，有些難于計算或計算繁雜的題目只要畫一下圖形就一目了然，完全可以避免計算或減少計算量，尤其對于那些不要求運算過程的標準化題目更為適用。指導學生要想到數(shù)形結(jié)合的方法，更重要的是如何恰當?shù)剡x用圖形解

11、決問題，不然就事倍功半。例 若x、y為正實數(shù)，且的最小值是多少?解析：若能考慮到是以x、l為直角邊的直角三角形斜邊的長，是以y、2為直角邊的直角三角形斜邊的長，那么上述問題就變成了求兩條線段和的最值問題。如圖，線段AB=4。P為AB上一動點。設PA=x，PB=y。 A B為垂足，且CA= 1 ，BD=2，則PC+PD=+。易知當點P，C，D在同一條直線上時，PC+PD最小。作CE垂直DB的延長線于E。，易知EC =4 ED =2十1 =3，故PC十PD =DC = =5 故最小值為5。評析：此題難在對形如的式子的理解， 表示以正數(shù)a，b為直角邊的直角三角形的斜邊，看到這個式子應立刻在頭腦中產(chǎn)生

12、這個直角三角形，這當然需要經(jīng)驗的積累。有了這個直角三角形，解決問題便有了思路。4、分類討論思想嚴格說，“分類討論思想”不是數(shù)學所特有的，是自然科學乃至社會科學研究中都用到的基本邏輯方法，由于它在數(shù)學中的重要性，這里把它作為數(shù)學思想方法提出來。初中數(shù)學中實數(shù)的分類、三角形的分類、方程的分類等等，都體現(xiàn)了這一思想。啟發(fā)學生按不同的情況去對同一對象進行分類，幫助他們掌握好分類的方法原則，形成分類的思想。從具體的教法上看，如對初一有理數(shù)的加法教學中，引導學生觀察、思考、探究，將有理數(shù)的加法分為三類進行研究，正確歸納出有理數(shù)加法法則，這樣學生不僅掌握了具體的“法則”，而且對“分類”有了深刻的認識，那么在

13、較為復雜的情況下，利用掌握好的分類的思想方法，正確地確定標準，不重不漏地進行分類，從而使看問題更加全面。當數(shù)量大小不確定，或圖形的位置、形狀不確定時，常?？梢赃\用分類討論的思想來分析解決。在進行分類討論時，我們必須遵循以下原則：1、分類原則不重復、不遺漏。由于學生在思考問題時有時帶有片面性或缺乏條理性，所以在解決問題過程中，往往違背這個原則。實際上，在教材中定理證明、例題、習題中都采用了分類思想，只要同學們認真鉆研教材，多思考，并注意解題后的回顧與總結(jié)，在分類時就會做到不重、不漏。2、對復雜問題采用多級分類的方法討論，對一個復雜的問題有時進行一級分類，很難將問題討論清楚，這時需要對其中一類或幾

14、類再進行分類，即多級分類。多級分類是一個難點，應注意：(1)每一級分類一定要把握好分類標準。(2)每一級里,要始終如一地按一個標準討論，同時每一級都要以“不重不漏”為原則。例：解關于x的方程：a-bx=4-3x分析：應根據(jù)除數(shù)不能為零進行分類討論，同時，涉及a、b兩個字母，需進行兩級分類討論。解：a-bx=4-3x可整理為(b-3)x=a-4(1)當b3時，方程有唯一解x=(2)當b=3時，有兩種情況：a=4時，原方程的解是一切實數(shù),a4時,原方程無解。5、整體思想所謂整體思想，就是把所考察的對象，作為一個整體來對待，而這個整體是各要素按一定的思路組合成的有機統(tǒng)一體。從整體上去認識問題，思考問

15、題，是一種重要的思想方法，當然，這并不排斥把事物分解的重要性。在初中數(shù)學中，這種整體思想的例子不少，是一種相當重要的解題思想與策略。例 ： 在一條平直公路的甲乙兩端，分別有A，B兩輛車同時勻速相向開出，在離甲端80km處兩車相遇，相遇后各自繼續(xù)駛向前方，到終端后又立即返回，結(jié)果在離乙端60km處兩車又迎面相遇，求甲乙兩點間公路的長。 分析：若用方程思想，所設的物理量較多，方程不好解。若將A，B兩車的運動過程視為一個整體 如圖1所示，第一次相遇時，A，B兩車行駛的路程之和為一個全程，其中A車行駛了80km。到第二次相遇時，A，B兩車行駛的路程之和為三個全程，因兩車都勻速行駛，不難推出，此時A車應

16、行駛了3 × 80 = 240km。又由圖看出，A車實際行駛了一個全程加60km，故有 s+60=240km， s=180km。面對紛繁復雜的過程，有時不必考慮細節(jié)，而是將若干個過程視為整體，通盤考慮，定能化繁為簡。6、此外還有空間思想、對應思想、概率思想等，不勝枚舉。 空間思想：如初一教材第一章 豐富的圖形世界 就需要學生通過不斷的觀察，在展開與折疊、切截等數(shù)學活動過程中， 認識常見的基本幾何體及點、線、面等簡單的平面圖形，形成一定的空間思想，提高學生空間思維能力。在實際教學中， 我充分調(diào)動學生的主觀能動性，給予足夠的空間和時間， 通過每個學生自己的動手操作去體會新教材所安排的內(nèi)容

17、，發(fā)現(xiàn)新的問題。如在“面動成體”這一知識點上，我讓學生去觀察、思考“面動成體”的實例，并在課堂上充分發(fā)言進行討論，有的學生提到了“某些高檔賓館的旋轉(zhuǎn)大門，面動起來就成為圓柱體”。空間思想不同于數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)形結(jié)合強調(diào)的是代數(shù)與幾何之間的打通，而空間思想強調(diào)的是對空間點、線、面關系的直覺。初中幾何教材主要注重學生兩方面能力的培養(yǎng)：一是邏輯推理能力，二是空間想象能力。對應思想：對應本質(zhì)上反映了兩個集合的元素與元素之間某種關系，當兩個集合建立了某種對應時，這兩個集合的元素和元素之間就發(fā)生了某種關系，運用兩個集合元素和元素之間的對應關系來處理數(shù)學問題的思想就是對應思想。對應思想在初一教材中最典型的例子就是實數(shù)集與數(shù)軸上的點集的對應。函數(shù)和一元一次不等式（組）等章節(jié)中都存在著對應思想， 如研究一元一次不等式解法可通過與一元一次方程解法對比