導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用函數(shù)極值與最值PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用函數(shù)極值與最值導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用函數(shù)極值與最值定義,0的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)若在若在x),()(0 xfxf 或或的一個(gè)的一個(gè)為函數(shù)為函數(shù)則稱則稱)()(0 xfxf)()(0 xfxf 極大值 (或極小值), 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.極值點(diǎn).恒有恒有一、函數(shù)的極值及其求法1. 函數(shù)極值的定義使函數(shù)取得極值的點(diǎn)x0稱為第1頁(yè)/共27頁(yè)1x2x3x4x5x6x 函數(shù)的極大值、極小值 是局部性的. 在一個(gè)區(qū)間內(nèi),函數(shù)可能存在許多個(gè)極值,最大值與最小值,有的極小值可能大于某個(gè)極大值.只是一點(diǎn)附近的 xyOab)(xfy 觀察 極值點(diǎn)的切線有什么特征？平行于x軸切線平行于x軸是否必為極

2、值點(diǎn)？第2頁(yè)/共27頁(yè)定理1(必要條件)注如,3xy , 00 xy.0不是極值點(diǎn)不是極值點(diǎn)但但 x(1)處處取取得得在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果函函數(shù)數(shù)0)(xxf,0處處可可導(dǎo)導(dǎo)且且在在x可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn).但函數(shù)的2. 極值的必要條件必是駐點(diǎn),. 0)(0 xf則必有則必有極值,3xy xyO 第3頁(yè)/共27頁(yè)xyO32xy 極值點(diǎn)也可能是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).如,32xy 32xy 但 怎樣從駐點(diǎn)中與導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)判斷一點(diǎn)(2)不可導(dǎo).0 x是極小值點(diǎn).是不是極值點(diǎn) 0 x在在即：極值點(diǎn)可能在兩類點(diǎn)中取到：一階導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)；一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).拐點(diǎn)可能在兩類點(diǎn)中取到：二階導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)；二階導(dǎo)數(shù)

3、不存在的點(diǎn).第4頁(yè)/共27頁(yè)定理2(第一充分條件)且在且在點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù)在在設(shè)設(shè),)(0 xxf,),()1(00時(shí)時(shí)若當(dāng)若當(dāng)xxx 0)( xf);0( ,),(00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxx0)( xf),0( 則)(0 xf為極大值,)()2(0附近不變號(hào)附近不變號(hào)在在若若xxf )(0 xf則不是極值.(極小值);3. 極值的充分條件xyO0 x xyO0 x .),(0o0內(nèi)可導(dǎo)的某去心鄰域xUx第5頁(yè)/共27頁(yè)0 x0 x 一般求極值的步驟求導(dǎo)數(shù); 求駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn);求相應(yīng)點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào),判別增減性;求極值.(1)(2)(3)(4)不是極值點(diǎn) xyOxyO第6頁(yè)/共27頁(yè)例解.)1()1()

4、(323的極值及單調(diào)區(qū)間的極值及單調(diào)區(qū)間求求 xxxf322)1()1(3)( xxxf313)1()1(32 xx312)1(3)711()1( xxx(1)(2)駐點(diǎn):, 1 x導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn):.117 x. 1 x(3)列表.求相應(yīng)區(qū)間的導(dǎo)數(shù)符號(hào),判別增減性,確定極值點(diǎn)和極值.第7頁(yè)/共27頁(yè)x)(xf )(xf), 1( 1 )117, 1( 117)1 ,117(1)1,( 0非極值極小值0)1( f極極小小值值2 . 2)117( f極大值極大值 0 不存在極大值駐點(diǎn):, 1 x導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn):,117 x. 1 x.)1()1()(323的極值及單調(diào)區(qū)間的極值及單調(diào)區(qū)間求求 xx

5、xf )(xf312)1(3)711()1( xxx單調(diào)增加區(qū)間:)., 1 ,117, 1 ,1,( 單調(diào)減少區(qū)間:).1 ,117(第8頁(yè)/共27頁(yè)定理3(第二充分條件)證, 0)(0 xf如果如果極大值 (極小值).為為則則)(0 xf0)(0 xf),0( 極值的二階充分條件 )(0 xf, 0 00)()(lim0 xxxfxfxx 0)(lim0 xxxfxx 因此,當(dāng)|0 xx 充分小時(shí),由極限的保號(hào)性. 0)(0 xxxf可見(jiàn),)(xf 與0 xx 異號(hào).,0 xx 當(dāng)當(dāng); 0)( xf,0 xx 當(dāng)當(dāng). 0)( xf所以,.)(0處取極大值處取極大值在點(diǎn)在點(diǎn)xxf第一充分條件

6、 對(duì)于駐點(diǎn),有時(shí)還可以利用函數(shù)在該點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號(hào)來(lái)判斷極值點(diǎn).第9頁(yè)/共27頁(yè)注,0)(0時(shí)時(shí) xf(1)定理3(第二充分條件)不能應(yīng)用.事實(shí)上, 0)(0 xf當(dāng)當(dāng),0)(0時(shí)時(shí) xf可能有極大值, 也可能有極小值,也可能沒(méi)有極值.如,)(41xxf ,)(42xxf 33)(xxf 處處在在0 x分別屬于上述三種情況.(2) 已經(jīng)知道駐點(diǎn)未必是極值點(diǎn)，第二充分條件實(shí)際上指出了，二階導(dǎo)不為零的駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn).第10頁(yè)/共27頁(yè)例解.20243)(23的極值的極值求求 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf得得駐駐點(diǎn)點(diǎn))2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f1

7、8 )4( f故極大值故極大值,60 )2(f18)2(f故極小值故極小值.48 . 2, 421 xx因?yàn)? 0 , 0 第11頁(yè)/共27頁(yè)例解.)2(1)(32的極值的極值求求 xxf)2()2(32)(31 xxxf,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x; 0)( xf時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x. 0)( xf1)2( f.)(在該點(diǎn)連續(xù)在該點(diǎn)連續(xù)但函數(shù)但函數(shù)xf.)(不存在不存在xf 32)2(1)( xxf所以,.)(的的極極大大值值為為xf第一充分條件xyO12第12頁(yè)/共27頁(yè)極值判別法的兩個(gè)充分條件第一充分條件對(duì)函數(shù)在點(diǎn)處是否可導(dǎo)沒(méi)有要求，只要求在點(diǎn)的鄰域內(nèi)可導(dǎo).第二充分條件則要求在該點(diǎn)處

8、二階可導(dǎo).第13頁(yè)/共27頁(yè)baabab二、最大值最小值問(wèn)題1.最值的求法xyOxyOxyO已經(jīng)知道，a, b上的連續(xù)函數(shù)必定存在最值.最值可能在以下點(diǎn)處取到：駐點(diǎn)端點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)第14頁(yè)/共27頁(yè)(1)其中最大(小)者 求連續(xù)函數(shù) f (x)在閉區(qū)間a, b上的最大(小)值的方法:將閉區(qū)間a, b內(nèi)所有駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的區(qū)間端點(diǎn)的就是 f (x)點(diǎn)(即為極值嫌疑點(diǎn))處的函數(shù)值和函數(shù)值 f (a), f (b)比較,在閉區(qū)間a, b上的最大(小)值.第15頁(yè)/共27頁(yè)上的上的在在求函數(shù)求函數(shù)4 , 3|23|)(2 xxxf解 )2 , 1(234 , 21 , 323)(22xxxxxxxf,)

9、4 , 3(內(nèi)內(nèi)在在 駐點(diǎn):,23 x最大值與最小值. )2 , 1(32)4 , 2()1 , 3(32)(xxxxxf例在分段點(diǎn)x=1，x=2是否可導(dǎo)？第16頁(yè)/共27頁(yè) )2 , 1(234 , 21 , 323)(22xxxxxxxf在x=1處1)1()(lim1 xfxfx10)23(lim21 xxxx1 1)1()(lim1 xfxfx10)23(lim21 xxxx1 所以x=1是不可導(dǎo)點(diǎn).x=2是否可導(dǎo)？第17頁(yè)/共27頁(yè)同理，x=2也是不可導(dǎo)點(diǎn),)4 , 3(內(nèi)內(nèi)在在 駐點(diǎn):,23 x2 , 1 x,20)3( f, 0)2( f, 0)1( f,41)23( f最大值最小

10、值, 6)4( f不可導(dǎo)點(diǎn)：第18頁(yè)/共27頁(yè)(2) 對(duì)實(shí)際問(wèn)題常?？墒孪葦喽ㄗ畲?小)值必在區(qū)間內(nèi)部取得, 如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)又僅有一個(gè)極值嫌疑點(diǎn), 那末這點(diǎn)處的函數(shù)值就是最大(小)值.第19頁(yè)/共27頁(yè)Ozyx例解hrV22 目標(biāo)函數(shù),222Rhr 由由得,)(222hhRV Rh 0)3(222hRVh h2hrR2. 應(yīng)用舉例(1)(2) 求最大值點(diǎn)半徑為R.求內(nèi)接于球的圓柱體的最大體積,設(shè)球的設(shè)圓柱體的高為2h,底半徑為r, 體積為V,第20頁(yè)/共27頁(yè) 圓柱體的最大體積一定存在, 故唯一駐點(diǎn)3Rh 就是最大值點(diǎn), 最大體積為3)3(222RRRV 3334R 令, 0 hV得3R

11、h (舍去負(fù)值)唯一駐點(diǎn))3(222hRVh 第21頁(yè)/共27頁(yè)(1) 從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型，寫(xiě)出其目標(biāo)函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.具有實(shí)際問(wèn)題背景的最值問(wèn)題一般思路：注(2) 從數(shù)學(xué)的角度分析最值可能的點(diǎn)，并結(jié)合實(shí)際背景，判斷是否是最值點(diǎn).第22頁(yè)/共27頁(yè)例 某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租,當(dāng)租金定為每月720元時(shí),公寓會(huì)全部租出去.當(dāng)租金每月增加40元時(shí),就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花費(fèi)80元的整修維護(hù)費(fèi).試問(wèn)房租定為多少可獲得最大收入?解 設(shè)房租為每月x 元，租出去的房子有 每月總收入為)(xL)80( x 4072050 x720 x套明顯，x應(yīng)該大于720.40 50第23頁(yè)/共27頁(yè))(xL 2070 x 0)( xL1400 x（唯一駐點(diǎn)） 40140068)801400()(xL)(43560 元元 )(xL)80( x 4072050 x故每月每套租金為1400元時(shí)收入最高.最大收入為課下閱