初中數(shù)學(xué)圓的輔助線(xiàn)八種作法

1、中考數(shù)學(xué)圓的輔助線(xiàn)在平面幾何中， 與圓有關(guān)的許多題目需要添加輔助線(xiàn)來(lái)解決。 百思不得其解的題目，添上合適的輔助線(xiàn)， 問(wèn)題就會(huì)迎刃而解， 思路暢通， 從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。添加輔助線(xiàn)的方法有很多， 本文只通過(guò)分析探索歸納幾種圓中常見(jiàn)的輔助線(xiàn)的作法。下面以幾道題目為例加以說(shuō)明。1.有弦，可作弦心距在解決與弦、弧有關(guān)的問(wèn)題時(shí)， 常常需要作出弦心距、 半徑等輔助線(xiàn)，以便應(yīng)用于垂徑定理和勾股定理解決問(wèn)題。例1如圖 1, O 的弦 AB、CD 相交于點(diǎn) P，且 AC=BD 。求證： PO 平分 APD。OAPEBFDC P B圖 1分析 1：由等弦 AC=BD 可得出等弧(=，AC進(jìn)一步得出 A

2、B(= CD(BD，從而可證等弦AB=CD ，由同圓中等弦上的弦心距相等且分別垂直于它們所對(duì)應(yīng)的弦，因此可作輔助線(xiàn)OE AB， OF CD，易證 OPE OPF，得出 PO 平分 APD。證法 1：作 OE AB 于 E，OFCD 于 F( =(=> (=> AB=CDAC=BD =>ACBDABCD=> OE=OF OEP= OFP=90 ° => OPE OPF 0OP=OP=> OPE= OPF => PO 平分 APD分析 2：如圖 1-1 ，欲證 PO 平分 APD，即證 OPA= OPD，可把 OPA 與 OPD 構(gòu)造在兩個(gè)三角形

3、中，證三角形全等，于是不妨作輔助線(xiàn)即半徑 OA， OD ，因此易證 ACP DBP，得 AP=DP ，從而易證 OPA OPD。精選文庫(kù)OAPBDC P B圖 1-1證法 2：連結(jié) OA，OD 。 CAP= BDP APC= DPB=> ACP DBPAC=BD=>AP=DPOA=OD=> OPA OPD => OPA= OPD =>PO 平分 APDOP=OP2.有直徑，可作直徑上的圓周角對(duì)于關(guān)系到直徑的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，可作直徑上的圓周角，以便利用直徑所對(duì)的圓周角是直角這個(gè)性質(zhì)。例 2 如圖 2，在 ABC 中， AB=AC ，以 AB 為直徑作 O 交 BC于點(diǎn)

4、D ，過(guò) D作 O 的切線(xiàn) DM 交 AC 于 M。求證DM AC。AOA.12MBDC圖 2分析：由 AB 是直徑，很自然想到其所對(duì)的圓周角是直角。于是可連結(jié)AD，得 ADB=Rt ,又由等腰三角形性質(zhì)可得1= 2，再由弦切角的性質(zhì)可得 ADM= B，故易證 AMD= ADB=90 °，從而 DM AC。-2精選文庫(kù)證明連結(jié) AD。AB 為 O 的直徑 => ADB=Rt =>1=2AB=ACDM 切 O 于 D=>ADM= B=> 1+ B= 2+ ADM => AMD= ADB= Rt => DM AC說(shuō)明，由直徑及等腰三角形想到作直徑上的圓

5、周角。3. 當(dāng)圓中有切線(xiàn)常連結(jié)過(guò)切點(diǎn)的半徑或過(guò)切點(diǎn)的弦例 3 如圖 3,AB 是 O 的直徑， 點(diǎn) D 在 AB 的延長(zhǎng)線(xiàn)上， BD=OB ，DC 切 O 于 C 點(diǎn)。求 A 的度數(shù)。分析：由過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直于切線(xiàn)，于是可作輔助線(xiàn)即半徑OC，得 Rt，再由解直角三角形可得COB 的度數(shù)，從而可求 A 的度數(shù)。C.DAOB圖 3解：連結(jié) OC。DC 切 O 于 C => OCD=90 °=> COSCOD=OC/OD=1/2=>COB=60°OC=OB=BD=> A=1/2 COB=30 °說(shuō)明，由過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直于切線(xiàn)想到連結(jié)半徑。例 4

6、如圖 4，已知 ABC 中， 1= 2，圓 O 過(guò) A、D 兩點(diǎn)，且與 BC切于 D 點(diǎn)。求證EF/BC。A-312精選文庫(kù)分析：欲證EF/BC，可找同位角或內(nèi)錯(cuò)角是否相等，顯然同位角相等不易證，于是可連結(jié)DE，得一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角BDE 與 DEF，由圓的性質(zhì)可知這兩個(gè)角分別等于1 和 2，故易證 EF/BC。證明連結(jié) DE。BC 切 O 于 D => BDE= 1 2= DEF => BDE= DEF =>EF/BC 1= 2說(shuō)明，由有切線(xiàn)且在同圓中等弧所對(duì)的圓周角相等想到連結(jié)弦。4.當(dāng)兩圓相切，可作公切線(xiàn)或連心線(xiàn)例 5 已知：如圖 5， O1 與 O2 外切于點(diǎn) P，過(guò) P 點(diǎn)

7、作兩條直線(xiàn)分別交 O1 與 O2 于點(diǎn) A、 B、C、 D。求證 PB?PC=PA?PD。分析：欲證PB?PC=PA ?PD，即證 PA PB=PC PD，由此可作輔助線(xiàn)AC、 BD，并證 AC/DB ，要證平行，需證一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，如C= D，然后考慮到這兩個(gè)角分別與弦切角有關(guān)，進(jìn)而再作輔助線(xiàn)即兩圓公切線(xiàn)MN ，從而問(wèn)題迎刃而解。AMD.P.OO21CNB圖 5-4精選文庫(kù)證明連結(jié) AC、 BD，過(guò) P 點(diǎn)作兩圓的內(nèi)公切線(xiàn)MN=> APM= C， BPN= D=> C=D APM= BPN=> AC/DB => PAPB=PCPD => PB ?PC=PA?PD

8、說(shuō)明，由需證弦平行且弦切角等于其所夾弧對(duì)的圓周角想到作公切線(xiàn)和作弦。例 6 已知：如圖 6， O1 與 O2 內(nèi)切于點(diǎn) T，經(jīng)過(guò)切點(diǎn) T 的直線(xiàn)與 O1 與 O2 分別相交于點(diǎn) A 和 B。求證 TA TB=O 1AO 2B。A 21BT O1 O2圖 6分析：欲證TA TB=O 1A O2 B，可考慮證這四條線(xiàn)段所在的三角形相似， 即證 TO1A TO2 B，于是只需連結(jié) O2O1 ，并延長(zhǎng)， 必過(guò)切點(diǎn)，則產(chǎn)生 TO1A 和 TO2B，由 1= 2= T，則 O1 A/ O 2B，易證線(xiàn)段比相等。證明連結(jié)并延長(zhǎng)O2O1=> O2O1 必過(guò)切點(diǎn) T O1 和 O2內(nèi)切于點(diǎn)TO1A=O 1

9、T => 1= T=> 1= 2 => O 1A/ O 2B O2T= O 2B => 2= T=> TO1A TO2B => TA TB=O 1A O2B說(shuō)明，由連心線(xiàn)必過(guò)切點(diǎn)可構(gòu)造三角形證全等想到作連心線(xiàn)。5當(dāng)兩圓相交，可作公共弦或連心線(xiàn)。例 7如圖 7， O1 與 O2相交于 A、B兩點(diǎn)，過(guò)A 點(diǎn)作 O2 的切線(xiàn)交 O1 于點(diǎn) C，-5精選文庫(kù)直線(xiàn) CB 交 O2 于點(diǎn) D， DA 延長(zhǎng)線(xiàn)交 O1 于點(diǎn) E，連結(jié) CE。求證 CA=CE。FAEDO.21 .OBC 圖 7分析：欲證CA=CE，考慮在三角形中證它們所對(duì)的角相等，即E=CAE，又由 DAF

10、= CAE，想到弦切角 DAF 與所夾弧對(duì)的圓周角相等，故需作輔助線(xiàn)：公共弦 AB，得 E= DBA，易證 CA=CE。證明連結(jié) AB。CA 切 O2于 A => DAF=DBA四邊形 ABCE 內(nèi)接于 O1 => E= DBA DAF= CAE=> E=CAE => CA=CE說(shuō)明，由兩圓相交及用到弦切角和圓內(nèi)接四邊形想到作公共弦。D E CMO1O2GNAFB圖 8-6精選文庫(kù)例 8如圖 8，在梯形 ABCD 中，以?xún)裳麬D、 BC 分別為直徑的兩個(gè)圓相交于M 、N 兩點(diǎn)，過(guò) M 、 N 的直線(xiàn)與梯形上、下底交于E、 F。求證： MN AB。分析：因?yàn)?MN 是公共

11、弦，若作輔助線(xiàn) O1 O2，必有 MN OO，再由 OO是梯形的中位線(xiàn)，得O1O /AB ，從而易證 MN AB。12122證明連結(jié)OO2交EF于 G=>MN OO2。11DO1=O 1A， CO2=O 2B => O 1O2 是梯形 ABCD 的中位線(xiàn) => O 1O2/AB=> EFA= EGO =Rt => MN AB1說(shuō)明，由兩圓相交連心線(xiàn)垂直于公共弦想到作連心線(xiàn)。6有半圓，可作整圓AF例 9如圖 9， BC 為 O 的直徑， AD BC 于 D，(EO, AD 交 BF于 E。求證AE=BEBD.CBA=AF分析：欲證 AE=BE，可考慮在三角形中證這兩

12、邊H所對(duì)角相等。即 ABF= BAE，再考慮證這兩個(gè)圓周角 圖 9所對(duì)的弧相等，故需補(bǔ)全(=(=易證 AE=BE.O，可證BH，故有BABHAF，證明補(bǔ)全 O，延長(zhǎng) AD 交 O 于 H，直徑 BC AD => (=BA BH( = (BA= AF，=>=> ABF= BAH => AE=BEBH AF說(shuō)明，由平分弦的直徑必平分弦所對(duì)的弧想到補(bǔ)全圓。7相交兩圓中至少有一個(gè)圓經(jīng)過(guò)另一個(gè)圓的圓心，遇到這類(lèi)問(wèn)題，常用的輔助線(xiàn)是連結(jié)過(guò)交點(diǎn)的半徑例 10如圖 10， O1 與 O2 相交于A、 B 兩點(diǎn)，且O2 在 O1 上，點(diǎn) P 在 O1 上，點(diǎn) Q 在 O2 上，若 APB=40 °，求 AQB 的度數(shù)。PA.O1OQ2-7B精選文庫(kù)分析連結(jié) O2A、 O2B，在 O1 中利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)求得AO 2B=140 °，在 O2 中， AQB=1/2 AO 2B=70 °。證明過(guò)程略。說(shuō)明，由同圓內(nèi)同弧所對(duì)的圓周角等于