線性分組碼-習題

1、信息論與編碼理論71.已知一個(5, 3)線性碼C的生成矩陣為:-"110011G =01101-00111(1) 求系統(tǒng)生成矩陣；(2) 列出C的信息位與系統(tǒng)碼字的映射關(guān)系；(3) 求其最小Hamming距離，并說明其檢錯、糾錯能力；(4) 求校驗矩陣H;(5) 列出譯碼表，求收到 r=11101時的譯碼步驟與譯碼結(jié)果。解：(1) 線性碼C的生成矩陣經(jīng)如下行變換：1 1 0 0 11 0 0 1 1C c 將第2、3加到第侑C C 0 110 1J 0 110 100111-00111100 1 1100 1 1_ . . _ .將第3加到第2行c c c0 110 1耳 0 10

2、 10J00 1 1 1_-0 0 111-得到線性碼C的系統(tǒng)生成矩陣為10 0 11Gs = 0 1 0 1 0-001110 1 0】：足0 0 1 1 1(2) 碼字c =(c0, C1,，cn #的編碼函數(shù)為c = f (m) = m0 1 0 0 1 11 m1 0 1(4)由 G = I n _k , Ak；x(n_k), H =AkMn _k) , I n_k ,得校驗矩陣1111 H =(5)消息序列 m=000,001,010,011,100,101,110,111，由 c=mGs 得碼字序列 C0=00000, C1=00111,C2=01010, C3=01101, C4

3、=10011, C5=10100,C6=11001, C7=11110(01101),所以將它則譯碼表如下：00000001110101001101100111010011001111101000010111 11101011101000110010001001011100100001111 10001000101110111110010001101100000100110;010110110010010101011100011111當接收到r =(11101)時，查找碼表發(fā)現(xiàn)它所在的列的子集頭為譯為 c=01101。2.設(shè)(7, 3)線性碼的生成矩陣如下-0101010G =0 0 10 1

4、1110 0 1 1 0 1(1) 求系統(tǒng)生成矩陣;(2) 求校驗矩陣；(3) 求最小漢明距離;(4) 列出伴隨式表。解：(1)生成矩陣G經(jīng)如下行變換00一10.00111交換第1、3行交換第2、3行 >一1一111得到系統(tǒng)生成矩陣:一1001101l0101010.0010111Gs 由 G =I n, Ak>(j), H =ABn)T, nA,得校驗矩陣為110 10 0 010 10 10 0H =0 110 0 10-1 0 1 0 0 0 1 -(3) 由于校驗矩陣H的任意兩列線性無關(guān),3列則線性相關(guān)，所以最小漢明距離 d=3。(4) (7, 3)線性碼的消息序列m=00

5、0,001,010,011,100,101,110,111，由 c=mGs 得碼字序列：C0=0000000 , C1=0010111, C2=0101010 , C3=0111101 , C4=1001101, C5=1011010,C6=1100111, C7=1110000。又因伴隨式有24=16種組合，差錯圖樣為1的有f7)=7 種,1TT差錯圖樣為 2的有| =21種，而由HrT =HeT,則計算陪集首的伴隨式，構(gòu)造伴 l2J隨表如下：伴隨式陪集首伴隨式陪集首000000000000101100100011011000000100110001001010010000011110011

6、000011100100001100000110010000001000111001001000100000010010110100001001000000100011001010000010000001011000001103 .已知一個(6, 3)線性碼C的生成矩陣為:10 0 10 1G = 0 1 0 0 1 1001110-(1) 寫出它所對應(yīng)的監(jiān)督矩陣H;(2) 求消息 M=(101)的碼字；(3) 若收到碼字為101010,計算伴隨式，并求最有可能的發(fā)送碼字。解:(1)線性碼C的生成矩陣G就是其系統(tǒng)生成矩陣Gs,所以其監(jiān)督矩陣H直接得出:一1011001011010：110001

7、 一H(2)消息 M=(m0,mi,m2)=(101),則碼字 c 為：C = f (m) = 1 0 0 1 0 1 I - 10(3)收到碼字r=(101010),則伴隨式rHT011一10們01111010001001-10011 0 .1 - 1 0 1 0 111C0=000000 , C1=001110, C2=010011 , C3=011101, C4 = 100101 , C5=101011 ,C6=110110,伴隨式最有可能發(fā)送的碼字 C為：C= (101011)。又(6, 3)線性碼的消息序列m=000,001,010,011,100,101,110,111，由 C=mGs 得碼字序列：4設(shè)(6, 3)線性碼的信息元序列為X1X2X3,它滿足如下監(jiān)督方程組|X1 X2 X4 =0 X2 X3 X5 = 0 X1 X3 X6 = 0(1) 求校驗矩陣，并校驗 10110是否為一個碼字；(2) 求生成矩陣，并由信息碼元序列101生成一個碼字。解：(1)由監(jiān)督方程直接得監(jiān)督矩陣即校驗矩陣為：110 10 0H = 0 1 1 0 1 010 10 0 16位，所以10110因為收到的序列10110為5位，而由(6, 3)線性碼生成的碼字為 不是碼字。(2)由 GTlnkAkn),H =