2021新高考數學通關秘籍專題09利用圖象求解函數零點問題

1、專題09利用圖象求解函數零點問題【方法點撥】1. 函數的零點就是函數圖象與X軸交點的橫坐標，解決實際問題時，往往需分離函數，將零 點個數問題轉化為兩個函數圖象交點個數問題，將零點所在區(qū)間問題，轉化為交點的橫坐標 所在區(qū)間問題-2. 利用圖象法解決零點問題，分離函數的基本策略是：一赫一動，一直一曲，動直線、靜曲 線.3. 利用圖象法解決零點問題時，作圖時要注意運用導數等相關知識分析函數的單調性、奇 偶性、以及關鍵點線（如漸進線），以保證圖像的準確.【典型題示例】例1（2020天津9）已知函數/（兀）（keR）恰有4個零點，則R的取值范圍是（【答案】D點,分k = 0,k<0,k>0

2、:-種情況，數形結合討論即川得到答案-【解析】注意到g（0） = 0,所以要使g（x）恰有4個零點，只需方程|也-2|=個實根即可,令此）=4x>0x<0當此時I,如圖i, 1與如=借有2個不同交點，不滿足題意;當kvO時，如圖2,此時y=|滋-2|與/?匕)=辛¥恒有3個不同交點，滿足題意;Ix I當R>0時，如圖3,當y = kx-2與y = T相切時，聯立方程得F-也+2 = 0，令 = ()得加一8 = 0,解得k = 2忑(負值舍去)，所以k>2忑 綜上，R的取值范闈為(oo,0)U(2>/N+8).本題是一道由函數零點個數求參數的取值范圍的問

3、題，其基本思路是運用圖象，將零 點個數問題轉化為兩函數圖象交點個數，考查函數與方程的應用、數形結合思想、轉化與化 歸思想、導數知識、一元二次方程、極值不等式、特值等進行分析求參數的范圍-fex, x <1例2(2020 江蘇鎮(zhèn)江三模13)己知函數= i ,若函數+4x-3,l <x<3g(x) = /(x)比卜+2|有三個零點，則實數k的取值范圍是.fex,x <1【解析】作= 與y = kx-v2圖彖，v-2 + 4x-3,l <x<3由 J-F + 4X-3 二 k(x+2),k >0,x>-2得伙'+ l)x2 + (4/ -4)x

4、+ 4疋 + 3 = 0 由厶=(4k2 -4)2 - 4(k2 + l)(4i2 + 3) = 0 得 k= L.k>O.k =坐,1515對應圖中分界線；由y = k(x+2),k>0,x>-2過點(l,e)得k = * 對應圖中分界線；當 y = k(x+2),k>Q,x>-2 與 y 相切于(x0,ev°)時，因為 yf = er,所以k = ex° = k(x0 + 2) R > 0 /. x0 = -l9k =-,對應圖中分界線;因為函數g(x) = /(x)-口兀+2|有三個零點，所以實數上的取值范圍是(°，乎故答

5、案為：o.例3(2020 江蘇南通基地校一聯考14)己知函數f(x) = x2-(m + l)x-l與 g(x) = hix-2x-2m的零點分別為xY ,x2和x3, x4. xl<xi<x2<xA,則實數加的取值范圍是.【答案】(一迪1)【分析】將問題轉化為函數y = m與函數/?(%) = x一丄-1和e(x) = iliix-x交點的大小問x2題，作出函數圖像，觀察圖像可得結果-【解析】由 f(x) = x2-(m + l)x-l = 0,得m = x-l,x對于函數h(x) = x一丄一 1,在(0,+“)上單調遞增，在(-oo,0)±單調遞減，X由 g(

6、x) = lnx-2x-2/n = 0,得m = nx-x,對于e(x) = -liix-x , y = -一1 =- 得 y = -nx-x在(0丄上單調遞增，在22x 2x2I 2)"£,+8上單調遞減，最大值為其圖像如圖，12 ) 222令x-丄一l = glnx-x得A(l,1),要兀vvvq,則直線y = fn要在人點下方, x 2:.m<-l,實數加的取值范圍是(_8廠1)例4(2020 江蘇七市(南通、泰州、揚州、徐州、淮安、連云港、宿遷)三模13)' 2k(l),x<0己知函數f(x) = lX,若函數g(x) = f(-x)+f(x)有

7、且僅有四個不同的x2-2k, x>Q零點,則實數左的取值范圍是.【答案】(27, +8)【解析】易知g(x) = /(-x) + /(x)是偶函數，問題可轉化為g(x) = x2 + k,x > 0有且僅有兩個不同的零點- XI2分離函數得；才=一一 + l(x>0),由圖形易知Q0,KX1 ?問題進一步轉化為y = y =+ l(x > 0)有兩個交點問題.( 2 設兩個函數圖彖的公切點為x0,+1 (x0>0)2I則彳一一+ l = -x02 ,解得兀=3, xnk兀012所以當TV <- + 1時，即A->27時，上述兩個函數圖彖有兩個交點 kX

8、。綜上所述，實數上的取值范圍是(27, +8).+ fnx2, x V 0,例5(2020 江蘇南通五月模擬13)已知函數f(x) = ex若函數/(x)ex + mx2, x > 0 ,有四個不同的零點，則實數m的取值范圍是> 【答案】(YO,-扌)1 2【解析】/(x) = < V + mX ' X<Of是偶函數，問題轉化為於+加卡=0,即$=一處2(x>0) ex + mx2, x>0有兩個零點易知加<0兩邊均為曲線，較難求解.兩邊取自然對數，x=n(-m) + 21nx ,即 x-n(-m)=2nx問題即為：g(x) = x-ln(-/

9、n)與h(x) = 21nx有兩個交點先考察直線y = x + b與/»(x) = 21nx相切，即只有一點交點的“臨界狀態(tài)”設切點為(x0,21ha0),則畑)=2 = 1,解得x0 = 2,此時切點為(2,21n2)xo代入 b = 21n2 2再求g(x) = x-lii(-/n)與/?(x) = 21nx有兩個交點時，m的取值范圍由圖彖知，當g(x) = x-ln(-/w)在直線y = x + b F方時，滿足題意2故-lii(-w)<Z?=21ii2-2 ,解之得加v-冷，此時也符合m<0所以實數m的取值范闈是(yo廠各).點評：取對數的目的在于“化雙曲為一直一

10、曲”，簡化了運算、難度，取對數不影響零點的個數.例6若函數/(x) = -總'有三個不同的零點，則實數R的取值范圍為x+2【答案】型)50, + 8)32【分析】本題的難點是“分離函數”，函數分離的是否恰當、易于進一步解題，是分離時應綜合考慮的重要因素，也是學生數學素養(yǎng)、能力的綜合體現-本例中，可將已知變形為卞列多種形式：旦=2半= 2、甲=蚣+ 2),學=密：2),.,但利用1 Ax+2) x+2x(x+2)x3k卜 |k卜 |較簡單.【解析】易知0是函數/(小=旦一2 個的零點，當xHO時，/(x) = 旦也3=0 口J x+2x+2由圖象得：一壬<3<0或£

11、>0,解之得：k<k>027 k k32所以實數左的取值范圍為(yo,-磊)u(0,+ 8).例7( 2020 南通基地校第三次聯考14 )已知函數/(x) = ln(e24 + l),g(x) = x + a-2.若關于x的方程/(x) = g(x)有四個不相等的實數解，則實數a的 取值范圍是.【答案】(ln2,ln(e4 + l)-2)【分析】從結構上看，首先考慮“對化指”，方程 ln(e呷一“ + 1)=卜|+a 2Oe半Z + 1e卅"'=0,屬于復合函數的零點問題，內函數是指 數型，外函數是二次函數設/7(x) = e*4 + l-ew+fl_2,

12、 xwR,則(x)為偶函數，研究“一 半”，令t = cx-2, x>0,則關于r的方程尸一刊+ 1 = 0在(，2)內有兩個不相等的實 根，分離參數，利用“形”立得.【解析】方程/(x) = g(x)Oin(e2-4 + l) = |x| + a-2u>e2-4 + l-e+£I-2 = 0令/?(x) = e2|v|_4 + l-e|x|+fl_2, xeR,則顯然"(x)為偶函數，,x>0有兩個零所以方程/'(x) = g(x)有四個實根O函數h(x) = e2x4 + l-ev+fl-2點,令t = er_2, x>0,則關于r的方程

13、尸一凸+ 1 = 0,即ea=r + -(e-2, z)內有兩個不相等的實根，t結合函數y = t + -, t>e2的圖像，得2<efl<e2 + e-2, t即 ln2 <a<lii(e4 + 1)-2 ,則實數a的取值范圍是(1112,ln(e4 + 1)-2).【鞏固訓練】1.己知函數f(x) = ex-2x+a有零點，則實數a的取值范圍是.2. 己知函數/(x) = d(2a-l)0 _(3a-1)(* + 20 + (兀+2尸有四個零點，則實數a的取值范圍是.3. 已知e為自然對數的底數，若方程|x加ex+e冃初在區(qū)間2,4上有三個不同實數根，則e實數

14、m的取值范圍是.4. 已知關于x的方程且=也有三個不同的實數解，則實數k的取值范圍是x-25. (2020 南通中學二調)己知函數f(x) = x2-(a + l)x-2有兩個零點"血，函數g(x) = nx-2x-a有兩個零點兀,兀，滿足<x3 <x2 <x4 ,則實數a的取值范圍為2elnx,x > 06. (2020 江蘇天一中學12月考)已知函數f(x) = 八，若函數g(x) = f(x)-ax2x +x9x<0有三個不同的零點，則實數a的取值范圍是.7. (2020 江蘇徐州打靶卷13)已知函數f(X)= lX2 4-X+l,X> 0十

15、+卉<0g(x) = mex (其中加是非零實數)，若函數y = f(x)與函數y = g(x)的圖象有且僅有兩個交點，則的取值范 圍為8. (2020 河北衡水中學八調)已知函數/(x) = a(2a-l)e2x -(3a-l)(x+2)ex +(X4-2)2 有四個零點，則實數Q的取值范圍是1八C e + lA.-,1B1,遼)2丿(1 e + 1C39.已知函數fx) = x-a- + a, awR,若關于x的方程/(x) = 2有且僅有三個不同的實根，且它們成等差數列，則實數Q取值的集合為.【答案或提示】1【答案】(-8,21112-22.【答案】扣卜1,3.【答案】e-2fe-

16、2)【解析】方程兩邊同時除以兀，令/(x) = hix-e + |，問題轉化為y=f(x)與歹=加的圖象在區(qū)間丄,亡打上有三個交點ex x X'當 xe(-,e)時，fx) < 0 , /(x)減：當 xe(e,e2)時，/,(x)>0, /(x)增. e故當x = e時，/(%)取得極小值，且f(e) = 2-e<0 .又/(1) = 0 ,/(i) = e2-e-l>0, /(e:) = i-e + 2<0ee作出y =(x)|的圖彖，由圖象知實數加的取值范圍是:【解析】k = Q1 rx>x2- ,xvO,畫圖得出上的取值范圍.x-2R,x = O5.【答案】(-oo,-2)【提示】易知0是其中一個零點,問題轉化為2enx