2021新高考數(shù)學(xué)通關(guān)秘籍專(zhuān)題09利用圖象求解函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

1、專(zhuān)題09利用圖象求解函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題【方法點(diǎn)撥】1. 函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)圖象與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，往往需分離函數(shù)，將零 點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，將零點(diǎn)所在區(qū)間問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 所在區(qū)間問(wèn)題-2. 利用圖象法解決零點(diǎn)問(wèn)題，分離函數(shù)的基本策略是：一赫一動(dòng)，一直一曲，動(dòng)直線、靜曲 線.3. 利用圖象法解決零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，作圖時(shí)要注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)等相關(guān)知識(shí)分析函數(shù)的單調(diào)性、奇 偶性、以及關(guān)鍵點(diǎn)線（如漸進(jìn)線），以保證圖像的準(zhǔn)確.【典型題示例】例1（2020天津9）已知函數(shù)/（兀）（keR）恰有4個(gè)零點(diǎn)，則R的取值范圍是（【答案】D點(diǎn),分k = 0,k<0,k>0

2、:-種情況，數(shù)形結(jié)合討論即川得到答案-【解析】注意到g（0） = 0,所以要使g（x）恰有4個(gè)零點(diǎn)，只需方程|也-2|=個(gè)實(shí)根即可,令此）=4x>0x<0當(dāng)此時(shí)I,如圖i, 1與如=借有2個(gè)不同交點(diǎn)，不滿足題意;當(dāng)kvO時(shí)，如圖2,此時(shí)y=|滋-2|與/?匕)=辛¥恒有3個(gè)不同交點(diǎn)，滿足題意;Ix I當(dāng)R>0時(shí)，如圖3,當(dāng)y = kx-2與y = T相切時(shí)，聯(lián)立方程得F-也+2 = 0，令 = ()得加一8 = 0,解得k = 2忑(負(fù)值舍去)，所以k>2忑 綜上，R的取值范闈為(oo,0)U(2>/N+8).本題是一道由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍的問(wèn)

3、題，其基本思路是運(yùn)用圖象，將零 點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，考查函數(shù)與方程的應(yīng)用、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化 歸思想、導(dǎo)數(shù)知識(shí)、一元二次方程、極值不等式、特值等進(jìn)行分析求參數(shù)的范圍-fex, x <1例2(2020 江蘇鎮(zhèn)江三模13)己知函數(shù)= i ,若函數(shù)+4x-3,l <x<3g(x) = /(x)比卜+2|有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.fex,x <1【解析】作= 與y = kx-v2圖彖，v-2 + 4x-3,l <x<3由 J-F + 4X-3 二 k(x+2),k >0,x>-2得伙'+ l)x2 + (4/ -4)x

4、+ 4疋 + 3 = 0 由厶=(4k2 -4)2 - 4(k2 + l)(4i2 + 3) = 0 得 k= L.k>O.k =坐,1515對(duì)應(yīng)圖中分界線；由y = k(x+2),k>0,x>-2過(guò)點(diǎn)(l,e)得k = * 對(duì)應(yīng)圖中分界線；當(dāng) y = k(x+2),k>Q,x>-2 與 y 相切于(x0,ev°)時(shí)，因?yàn)?yf = er,所以k = ex° = k(x0 + 2) R > 0 /. x0 = -l9k =-,對(duì)應(yīng)圖中分界線;因?yàn)楹瘮?shù)g(x) = /(x)-口兀+2|有三個(gè)零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)上的取值范圍是(°，乎故答

5、案為：o.例3(2020 江蘇南通基地校一聯(lián)考14)己知函數(shù)f(x) = x2-(m + l)x-l與 g(x) = hix-2x-2m的零點(diǎn)分別為xY ,x2和x3, x4. xl<xi<x2<xA,則實(shí)數(shù)加的取值范圍是.【答案】(一迪1)【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y = m與函數(shù)/?(%) = x一丄-1和e(x) = iliix-x交點(diǎn)的大小問(wèn)x2題，作出函數(shù)圖像，觀察圖像可得結(jié)果-【解析】由 f(x) = x2-(m + l)x-l = 0,得m = x-l,x對(duì)于函數(shù)h(x) = x一丄一 1,在(0,+“)上單調(diào)遞增，在(-oo,0)±單調(diào)遞減，X由 g(

6、x) = lnx-2x-2/n = 0,得m = nx-x,對(duì)于e(x) = -liix-x , y = -一1 =- 得 y = -nx-x在(0丄上單調(diào)遞增，在22x 2x2I 2)"£,+8上單調(diào)遞減，最大值為其圖像如圖，12 ) 222令x-丄一l = glnx-x得A(l,1),要兀vvvq,則直線y = fn要在人點(diǎn)下方, x 2:.m<-l,實(shí)數(shù)加的取值范圍是(_8廠1)例4(2020 江蘇七市(南通、泰州、揚(yáng)州、徐州、淮安、連云港、宿遷)三模13)' 2k(l),x<0己知函數(shù)f(x) = lX,若函數(shù)g(x) = f(-x)+f(x)有

7、且僅有四個(gè)不同的x2-2k, x>Q零點(diǎn),則實(shí)數(shù)左的取值范圍是.【答案】(27, +8)【解析】易知g(x) = /(-x) + /(x)是偶函數(shù)，問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為g(x) = x2 + k,x > 0有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)- XI2分離函數(shù)得；才=一一 + l(x>0),由圖形易知Q0,KX1 ?問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為y = y =+ l(x > 0)有兩個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題.( 2 設(shè)兩個(gè)函數(shù)圖彖的公切點(diǎn)為x0,+1 (x0>0)2I則彳一一+ l = -x02 ,解得兀=3, xnk兀012所以當(dāng)TV <- + 1時(shí)，即A->27時(shí)，上述兩個(gè)函數(shù)圖彖有兩個(gè)交點(diǎn) kX

8、。綜上所述，實(shí)數(shù)上的取值范圍是(27, +8).+ fnx2, x V 0,例5(2020 江蘇南通五月模擬13)已知函數(shù)f(x) = ex若函數(shù)/(x)ex + mx2, x > 0 ,有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是> 【答案】(YO,-扌)1 2【解析】/(x) = < V + mX ' X<Of是偶函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為於+加卡=0,即$=一處2(x>0) ex + mx2, x>0有兩個(gè)零點(diǎn)易知加<0兩邊均為曲線，較難求解.兩邊取自然對(duì)數(shù)，x=n(-m) + 21nx ,即 x-n(-m)=2nx問(wèn)題即為：g(x) = x-ln(-/

9、n)與h(x) = 21nx有兩個(gè)交點(diǎn)先考察直線y = x + b與/»(x) = 21nx相切，即只有一點(diǎn)交點(diǎn)的“臨界狀態(tài)”設(shè)切點(diǎn)為(x0,21ha0),則畑)=2 = 1,解得x0 = 2,此時(shí)切點(diǎn)為(2,21n2)xo代入 b = 21n2 2再求g(x) = x-lii(-/n)與/?(x) = 21nx有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍由圖彖知，當(dāng)g(x) = x-ln(-/w)在直線y = x + b F方時(shí)，滿足題意2故-lii(-w)<Z?=21ii2-2 ,解之得加v-冷，此時(shí)也符合m<0所以實(shí)數(shù)m的取值范闈是(yo廠各).點(diǎn)評(píng)：取對(duì)數(shù)的目的在于“化雙曲為一直一

10、曲”，簡(jiǎn)化了運(yùn)算、難度，取對(duì)數(shù)不影響零點(diǎn)的個(gè)數(shù).例6若函數(shù)/(x) = -總'有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)R的取值范圍為x+2【答案】型)50, + 8)32【分析】本題的難點(diǎn)是“分離函數(shù)”，函數(shù)分離的是否恰當(dāng)、易于進(jìn)一步解題，是分離時(shí)應(yīng)綜合考慮的重要因素，也是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、能力的綜合體現(xiàn)-本例中，可將已知變形為卞列多種形式：旦=2半= 2、甲=蚣+ 2),學(xué)=密：2),.,但利用1 Ax+2) x+2x(x+2)x3k卜 |k卜 |較簡(jiǎn)單.【解析】易知0是函數(shù)/(小=旦一2 個(gè)的零點(diǎn)，當(dāng)xHO時(shí)，/(x) = 旦也3=0 口J x+2x+2由圖象得：一壬<3<0或£

11、>0,解之得：k<k>027 k k32所以實(shí)數(shù)左的取值范圍為(yo,-磊)u(0,+ 8).例7( 2020 南通基地校第三次聯(lián)考14 )已知函數(shù)/(x) = ln(e24 + l),g(x) = x + a-2.若關(guān)于x的方程/(x) = g(x)有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的 取值范圍是.【答案】(ln2,ln(e4 + l)-2)【分析】從結(jié)構(gòu)上看，首先考慮“對(duì)化指”，方程 ln(e呷一“ + 1)=卜|+a 2Oe半Z + 1e卅"'=0,屬于復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，內(nèi)函數(shù)是指 數(shù)型，外函數(shù)是二次函數(shù)設(shè)/7(x) = e*4 + l-ew+fl_2,

12、 xwR,則(x)為偶函數(shù)，研究“一 半”，令t = cx-2, x>0,則關(guān)于r的方程尸一刊+ 1 = 0在(，2)內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí) 根，分離參數(shù)，利用“形”立得.【解析】方程/(x) = g(x)Oin(e2-4 + l) = |x| + a-2u>e2-4 + l-e+£I-2 = 0令/?(x) = e2|v|_4 + l-e|x|+fl_2, xeR,則顯然"(x)為偶函數(shù)，,x>0有兩個(gè)零所以方程/'(x) = g(x)有四個(gè)實(shí)根O函數(shù)h(x) = e2x4 + l-ev+fl-2點(diǎn),令t = er_2, x>0,則關(guān)于r的方程

13、尸一凸+ 1 = 0,即ea=r + -(e-2, z)內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，t結(jié)合函數(shù)y = t + -, t>e2的圖像，得2<efl<e2 + e-2, t即 ln2 <a<lii(e4 + 1)-2 ,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1112,ln(e4 + 1)-2).【鞏固訓(xùn)練】1.己知函數(shù)f(x) = ex-2x+a有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.2. 己知函數(shù)/(x) = d(2a-l)0 _(3a-1)(* + 20 + (兀+2尸有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.3. 已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若方程|x加ex+e冃初在區(qū)間2,4上有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則e實(shí)數(shù)

14、m的取值范圍是.4. 已知關(guān)于x的方程且=也有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是x-25. (2020 南通中學(xué)二調(diào))己知函數(shù)f(x) = x2-(a + l)x-2有兩個(gè)零點(diǎn)"血，函數(shù)g(x) = nx-2x-a有兩個(gè)零點(diǎn)兀,兀，滿足<x3 <x2 <x4 ,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為2elnx,x > 06. (2020 江蘇天一中學(xué)12月考)已知函數(shù)f(x) = 八，若函數(shù)g(x) = f(x)-ax2x +x9x<0有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.7. (2020 江蘇徐州打靶卷13)已知函數(shù)f(X)= lX2 4-X+l,X> 0十

15、+卉<0g(x) = mex (其中加是非零實(shí)數(shù))，若函數(shù)y = f(x)與函數(shù)y = g(x)的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，則的取值范 圍為8. (2020 河北衡水中學(xué)八調(diào))已知函數(shù)/(x) = a(2a-l)e2x -(3a-l)(x+2)ex +(X4-2)2 有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)Q的取值范圍是1八C e + lA.-,1B1,遼)2丿(1 e + 1C39.已知函數(shù)fx) = x-a- + a, awR,若關(guān)于x的方程/(x) = 2有且僅有三個(gè)不同的實(shí)根，且它們成等差數(shù)列，則實(shí)數(shù)Q取值的集合為.【答案或提示】1【答案】(-8,21112-22.【答案】扣卜1,3.【答案】e-2fe-

16、2)【解析】方程兩邊同時(shí)除以兀，令/(x) = hix-e + |，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=f(x)與歹=加的圖象在區(qū)間丄,亡打上有三個(gè)交點(diǎn)ex x X'當(dāng) xe(-,e)時(shí)，fx) < 0 , /(x)減：當(dāng) xe(e,e2)時(shí)，/,(x)>0, /(x)增. e故當(dāng)x = e時(shí)，/(%)取得極小值，且f(e) = 2-e<0 .又/(1) = 0 ,/(i) = e2-e-l>0, /(e:) = i-e + 2<0ee作出y =(x)|的圖彖，由圖象知實(shí)數(shù)加的取值范圍是:【解析】k = Q1 rx>x2- ,xvO,畫(huà)圖得出上的取值范圍.x-2R,x = O5.【答案】(-oo,-2)【提示】易知0是其中一個(gè)零點(diǎn),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2enx