高中數(shù)學不等式知識點總結(jié)

1、占八、1不等式的根本性質(zhì)對稱性傳遞性b,b可加性同向可加性a b, c異向可減性a b, c可積性b, cacbca b, c 0同向正數(shù)可乘性ac bca0, c dacbd異向正數(shù)可除性0,0 c d平方法那么nna b (nN,且n1)開方法那么Ta Vb(n1)倒數(shù)法那么1 1a b；a2、幾個重要不等式2 2 a b 2aba，,當且僅當b時取""號.ab變形公式：a2 b22根本不等式,當且僅當ab時取到等號變形公式：a用根本不等式求最值時 三相等 2 ab積定和最小，和定積最大，要注意滿足三個條件“一正三個正數(shù)的算術一幾何平均不等式3abc(a、b、cR當且僅

2、當a b c時取到等號a b C ab bc ca a, b R ，(當且僅當a b c時取到等號).333 a3 b3 c3 3abc(a 0,b0,c0)平均不等式:號.即調(diào)和平均變形公式：幾何平均ab算術平均b2a2 b22平方平均.(a b)2,a，b R ,當且僅當ab時取""(當且僅當a b c時取到等號).假設abb0,那么_aab2當僅當a=b時取等號ba假設ab0,那么一2ab當僅當a=b時取等號bbm1anaaam1bnb ,(其中 a b 0, m 0, n 0)規(guī)律：小于1同加那么變大，大于 1冋加那么變小.當a 0時，x a x22 aXa或 x

3、a;2 2Xa x aaXa.絕對值三角不等式aba balb3、幾個著名不等式幕平均不等式:22aia22 an-ai n二維形式的三角不等式：a2an)2.22、X-y-2 2X2y2,(Xi X2)2 (y y2)2 (Xi,yi,X2,y2 R).二維形式的柯西不等式:R.當且僅當ad bc時，等號成立(a2 b2)(c2 d2) (ac bd )2 (a,b, c, d 三維形式的柯西不等式：厲2 a22 as2®2 b2 b3 aQ azd asd2. 一般形式的柯西不等式：2 2(aiE2 2.an )gb22 .bn2)(aibia2b2. anbn ).向量形式的柯

4、西不等式:ur uU LTLTurururur設,是兩個向量，那么當且僅當是零向量，或存在實數(shù)k，使k時,等號成立.排序不等式排序原理:設 aia2.an , b1b2bn為兩組實數(shù)Ci , C2 ,., Cn 是 bl,b2,., bn 的任-排列，那么albna2bn 1.an b|aicia?C2anCnaib1a2b2.anbn (反序和亂序和順序和，當且僅當aia24an或bib2.bn時，反序和等于順序和.琴生不等式：特例：凸函數(shù)、凹函數(shù)假設定義在某區(qū)間上的函數(shù)fX,對于定義域中任意兩點Xl，X2Xl x2,有忤f(xQ f(X2)或2或f(4、不等式證明的幾種常用方法 常用方法有

5、：比擬法作差，作商法fxj 恨2.那么稱fx為凸或凹函數(shù)、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學歸納法等常見不等式的放縮方法:1 23a ；7 舍去或加上一些項，如24 將分子或分母放大縮小，iiii如k2k(k i)'2k2k(ki)'i.k2.k k(k N*,kii)等i 2(a2);22i22,k . k . k 一匸,iTl5、一元二次不等式的解法2求一元二次不等式ax bx c 0或0)(a 0,2b 4ac 0解集的步驟:一化：化二次項前的系數(shù)為正數(shù) 二判：判斷對應方程的根 三求：求對應方程的根.四畫：畫出對應函數(shù)的圖象 .

6、五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集.規(guī)律：當二次項系數(shù)為正時，小于取中間，大于取兩邊.6、高次不等式的解法：穿根法 .，結(jié)合原式不等號的方向,分解因式，把根標在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿(奇穿偶切) 寫出不等式的解集7、分式不等式的解法：先移項通分標準化，那么f(x) g(x)f(x) g(x)f(x) g(x)f(x) g(x)g(x) 0“或規(guī)律：把分式不等式等價轉(zhuǎn)化為整式不等式求解8、無理不等式的解法：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解時同理)、f(x)a(a0)f(x)f(x)f(x)a(a0)f(x)f(x).f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)2g(x)或 f(x) 0或 g(x) 0g(x)

7、f(x)g(x)f(x)g(x)2.f(x),g(x)f(x) g(x) f(x)g(x)規(guī)律：把無理不等式等價轉(zhuǎn)化為有理不等式，訣竅在于從“小的一邊分析求解9、指數(shù)不等式的解法：當a 1時，af (x)ag(x)f(x) g(x)當 0 a 1 時，af(x) ag(x) f (x) g(x)規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化10、對數(shù)不等式的解法f(x) 0log a f(x) loga g(x) g(x) 0當 a 1 時，f(x) g(x)f(x) 0loga f (x) logag(x) g(x) 0.當 0 a 1 時，f(x) g(x)規(guī)律：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化11、含絕對值不等式的

8、解法：a (a 0)a.定義法：a(a °)平方法：f(x) g(x) f2(x) g2(x).同解變形法，其同解定理有： x a a x a(a 0); x a x a或 xa(a 0); If(x)| g(x) g(x) f(x) g(x) (g(x) 0) f (x) g(x) f(x) g(x)或f (x)g(x) (g (x) 0)規(guī)律：關鍵是去掉絕對值的符號.12、含有兩個(或兩個以上)絕對值的不等式的解法：規(guī)律：找零點、劃區(qū)間、分段討論去絕對值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含參數(shù)的不等式的解法2解形如ax bx c 0且含參數(shù)的不等式時，要對參數(shù)進行分類討論，分類討論的標準有:討論a與0的大?。挥懻撆c0的大??；討論兩根的大小.14、恒成立問題不等式ax2 bxc 0的解集是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是當a0時b0,c0；a0當a0時0.不等式ax2 bxc 0的解集是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是a0當a 0時0.f(x) a恒成立f (x)maxa;f(x) a恒成立f ( x)maxa：1f(x) a恒成立f (x)mina;f(x) a恒成立f ( x)mina15、線性規(guī)劃問題 常見的目標函數(shù)的類型：“