橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1

1、如何精確地設(shè)計、制作、建造出現(xiàn)實(shí)生活中這些橢圓形的如何精確地設(shè)計、制作、建造出現(xiàn)實(shí)生活中這些橢圓形的物件呢？物件呢？生生活活中中的的橢橢圓圓一一2圓的定義是什么？我們是怎么畫圓的？圓的定義是什么？我們是怎么畫圓的？1.兩點(diǎn)間的距離公式兩點(diǎn)間的距離公式,若設(shè)若設(shè)a(x1,y1) b(x2,y2)則則:|ab|=?212212|yyxxab在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡軌跡。yxo),(yxpr設(shè)圓上任意一點(diǎn)設(shè)圓上任意一點(diǎn)p(x，y) 以圓心以圓心o為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系 rop ryx 22兩邊平方，得兩邊平方，得 222ryx

2、3.如果將圓的定義中的一個定點(diǎn)變成兩個如果將圓的定義中的一個定點(diǎn)變成兩個定定 點(diǎn)點(diǎn),動點(diǎn)到定點(diǎn)距離的定長變成動點(diǎn)到兩動點(diǎn)到定點(diǎn)距離的定長變成動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定長定點(diǎn)的距離之和為定長.那么，將會形成什那么，將會形成什么樣么樣 的軌跡曲線呢？的軌跡曲線呢？ 4.動手作圖工 具： 紙板、細(xì)繩、圖釘作 法： 用圖釘穿過準(zhǔn)備好的細(xì)繩兩端的套內(nèi)，并把圖釘固定在兩個定點(diǎn)（兩個定點(diǎn)間的距離小于繩長）上，然后用筆尖繃緊繩子，使筆尖慢慢移動，看畫出的是什么樣的一條曲線 平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)f1、f2的距離之和等于常數(shù)（大于|f1f2|）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓橢圓。兩個定點(diǎn)f1、f2稱為焦點(diǎn)焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離稱為

3、焦距焦距，記為2c。若設(shè)m為橢圓上的任意一點(diǎn)，則|mf1|+|mf2|=2a注：定義中對“常數(shù)”加上了一個條件，即距離之和要大于|f1f2| (2a2c,ac0)f1f2m123化化 簡簡列列 式式設(shè)設(shè) 點(diǎn)點(diǎn)建建 系系f1f2xy 以以f1、f2 所在直線為所在直線為 x 軸，線段軸，線段 f1f2的垂直平分線為的垂直平分線為 y 軸建立直角坐標(biāo)系軸建立直角坐標(biāo)系p( x , y )設(shè)設(shè) p( x，y )是橢圓上任意一點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)設(shè)設(shè)|f1f2|=2c，則有，則有f1(-c，0)、f2(c，0)- , 0c , 0cf1f2xyp( x , y )- , 0c , 0c 橢圓上的點(diǎn)滿足橢

4、圓上的點(diǎn)滿足|pf1 | + | pf2 |為定值，設(shè)為為定值，設(shè)為2a，則，則2a2c221|=+pfxcy222|=-+pfx cy則：則：2222+-+= 2xcyx cya2222+= 2 -+xcyax cy2222222+= 4-4-+-+xcyaax cyx cy222-c =-+axax cy22222222-+=-acxa yaac設(shè)設(shè)222-= 0acbb得得即：即：2222+=1 0 xyababo方程方程: :2222+= 1 0 xyabab是橢圓的是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)方程方程xyof1f2p焦點(diǎn)為：焦點(diǎn)為：f1( -c , 0 )、f2( c , 0 ) 若以若以f1，

5、f2所在的直線為所在的直線為y軸，軸，線段線段 f1f2的垂直平分線為的垂直平分線為x 軸建立軸建立直角坐標(biāo)系，推導(dǎo)出的方程又是怎直角坐標(biāo)系，推導(dǎo)出的方程又是怎樣的呢？樣的呢？方程方程: :2222+= 1 0 xyabba也是橢圓的也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)方程方程焦點(diǎn)為：焦點(diǎn)為：f1( 0 , -c )、f2( 0 , c )注注：橢圓的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且兩焦：橢圓的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且兩焦 點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).oxyf1f2m(-c,0)(c,0)yoxf1f2m(0,-c)(0 , c)0(12222babyax)0(12222babxay橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的再認(rèn)識：（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)

6、方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個參數(shù)a、b、c滿足a2=b2+c2。（3）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個參數(shù)a、b、c的值。（4）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2與y2的分母哪一個大，則焦點(diǎn)在 哪一個軸上。2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪個大，焦點(diǎn)就在哪個軸上分母哪個大，焦點(diǎn)就在哪個軸上222=+abc平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)f1，f2的距離的和等的距離的和等于常數(shù)（大于于常數(shù)（大于f1f2）的點(diǎn)的軌跡）的點(diǎn)的軌跡12- , 0 , 0，fcfc120,-0,，fcfc標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程不不 同同 點(diǎn)點(diǎn)相相 同同 點(diǎn)點(diǎn)圖圖

7、形形焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)定定 義義a、b、c 的關(guān)系的關(guān)系焦點(diǎn)位置的判斷焦點(diǎn)位置的判斷4.根據(jù)所學(xué)知識完成下表根據(jù)所學(xué)知識完成下表xyf1 1f2 2poxyf1 1f2 2po22221.153xy ，則a ，b ；22222.146xy ，223.194xy ，則a ，b ；則a ，b ；則a ，b 224.137xy ，534632372.判定下列橢圓的焦點(diǎn)在什么軸上，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)1162522yx答：在答：在 x 軸上軸上,（-3，0）和（）和（3，0）116914422yx答：在答：在 y 軸上軸上,（0，-5）和（）和（0，5）62322 yx答：在答：在y 軸上軸上,（0，-1）和（

8、）和（0，1）判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)在哪個軸上的準(zhǔn)則：判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)在哪個軸上的準(zhǔn)則：x x2 2與與y y2 2的分母哪一個大，則焦點(diǎn)在哪一個軸上。的分母哪一個大，則焦點(diǎn)在哪一個軸上。1162522yx(1)已知橢圓的方程為： ，則a=_，b=_，c=_，焦點(diǎn)坐標(biāo)為：_焦距等于_;若cd為過左焦點(diǎn)f1的弦，則f2cd的周長為_543(3,0)、(-3,0)620f1f2cd15422yx(2)已知橢圓的方程為： ，則a=_，b=_，c=_，焦點(diǎn)坐標(biāo)為：_焦距等于_;曲線上一點(diǎn)p到焦點(diǎn)f1的距離為3，則點(diǎn)p到另一個焦點(diǎn)f2的距離等于_，則f1pf2的周長為_21(0,-1)、(0,1)

9、252 532 52xyf1 1f2 2po動點(diǎn)p到兩定點(diǎn)f1(-4,0)，f2(4,0)的距離之和為8，則動點(diǎn)p的軌跡為-（ ） a.橢圓 b.線段f1f2 c.直線f1f2 d.不能確定b例例1：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1 1）兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（）兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（4 4，0 0）、（）、（4 4，0 0），），橢圓上的一點(diǎn)橢圓上的一點(diǎn)p p到兩焦點(diǎn)距離的和等于到兩焦點(diǎn)距離的和等于1010；解：解： 橢圓的焦點(diǎn)在橢圓的焦點(diǎn)在x軸上軸上 設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為22221(0)xya ba

10、b 2a=10， 2c=8 a=5， c=422222549bac 221259xy解：解： 橢圓的焦點(diǎn)在橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，軸上，由橢圓的定義知，由橢圓的定義知，（2 2）兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（）兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0 0，2 2）、（）、（0 0，2 2），），并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)35,22 設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為22221(0)yxabab222235352222222a2 1010a 又又 c=222210 4 6bac 所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為221106yx求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)(2)焦點(diǎn)為焦點(diǎn)

11、為f f1 1(0,(0,3)3)，f f2 2(0,3),(0,3),且且a=5a=5；2212516yx2216xy(1)a= ,b=1,(1)a= ,b=1,焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x x軸上；軸上；(3)(3)兩個焦點(diǎn)分別是兩個焦點(diǎn)分別是f f1 1( (2,0)2,0)、f f2 2(2,0),(2,0),且過且過p( )p( )點(diǎn)；點(diǎn)； (4)(4)經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)p(p(2,0)2,0)和和q(0,q(0,3).3).小結(jié)：求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：小結(jié)：求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：定位：確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；定位：確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；定量：求定量：求a, ba, b的值的值. .622194yx23,

12、25221106xy例例2.2.已知方程已知方程 表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在x x軸上的橢圓，則軸上的橢圓，則m的取值范圍是的取值范圍是 . .22xy+=14m(0,4) 變變1 1：已知方程已知方程 表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在y y軸上的軸上的 橢圓，則橢圓，則m的取值范圍是的取值范圍是 . .2 22 2x xy y+ += =1 1m m - -1 13 3 - - m m(1,2)變變2 2：方程：方程 , ,分別求方程滿足下列條分別求方程滿足下列條件的件的m m的取值范圍：的取值范圍：表示一個圓；表示一個圓； 表示一個橢圓；表示一個橢圓；表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在x x軸上的橢圓。軸上的橢圓。22xy125 m16 mm=9/2-16m25-16m2c，即距離之和大于焦距時。當(dāng)2a=2c時，即距離之和等于焦距時當(dāng)2a 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪個大，焦點(diǎn)就在哪個軸上分母哪個大，焦點(diǎn)就在哪個軸上22