線性方程組的發(fā)展人物和應(yīng)用演示文稿學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1第一頁，共19頁。答曰：上禾一秉，九斗、四分(s fn)斗之一，中禾一秉，四斗、四分(s fn)斗之一，下禾一秉，二斗、四分(s fn)斗之三。其實(qsh)這僅僅是三元一次方程的簡單應(yīng)用：設(shè)：上禾一秉x斗， 中禾一秉y斗 下禾一秉z斗由題意得：3x+2y+z=392x+3y+z=34X+2y+3z=26第1頁/共19頁第二頁，共19頁。(2)對線性方程組解法的改進九章算術(shù)中用直除法解線性方程組，比較麻煩劉徽在方程章的注釋中，對直除法加以改進，創(chuàng)立了互乘相消法例如方程組劉徽是這樣解的：(1)2，(2)5，得(4)-(3)，得21y20(下略)顯然，這種方法與現(xiàn)代加減消元法一致，不過那時

2、用的是籌算劉徽認為，這種方法可以推廣到多元，“以小推大，雖四、五行不異也”他還進一步指出，“相消”時要看兩方程首項(shu xin)系數(shù)的同異，同則相減，異則相加劉徽的工作，大大減化了線性方程組解法第2頁/共19頁第三頁，共19頁。方程理論的初步總結(jié)劉徽在深入研究九章算術(shù)方程章的基礎(chǔ)上，提出了比較系統(tǒng)的方程理論劉徽所謂“程”是程式或關(guān)系式的意思，相當(dāng)于現(xiàn)在的方程，而“方程”則相當(dāng)于現(xiàn)在的方程組他說：“二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之并列為行，故謂之方程”這就是說：“有兩個所求之物，需列兩個程；有三個所求之物，需列三個程程的個數(shù)必須與所求物的個數(shù)一致諸程并列，恰成一方形，所以叫方程”這里的“

3、物”，實質(zhì)上是未知數(shù)，只是當(dāng)時尚未抽象出未知數(shù)的明確概念定義中的“皆如物數(shù)程之”是十分重要的，它與劉徽提出的另一原則“行之左右無所同存”，共同構(gòu)成了方程組有唯一組解的條件若譯成現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言，這兩條即：方程個數(shù)必須與未知數(shù)個數(shù)一致，任意兩個方程的系數(shù)不能相同(xin tn)或成比例劉徽還認識到，當(dāng)方程組中方程的個數(shù)少于所求物個數(shù)時，方程組的解不唯一；如果是齊次方程組，則方程組的解可以成比例地擴大或縮小，即“舉率以言之”第3頁/共19頁第四頁，共19頁。公元1247年，秦九韶完成了數(shù)書九章一書，成為當(dāng)時中國數(shù)學(xué)的最高峰。在該書中，秦九韶將九章算術(shù)中解方程組的“直除法”改進(gijn)為“互乘法”，

4、便線性方程組理論又增加了新內(nèi)容,至少用初等方法解線性方程組理論已由我國數(shù)學(xué)家基本創(chuàng)立完成。大約1678年，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲首次開始線性方程組在西方的研究。1667年，萊布尼茨發(fā)表了他的第一篇數(shù)學(xué)論文論組合的藝術(shù)。這是一篇關(guān)于數(shù)理邏輯的文章，其基本思想是想把理論的真理性論證歸結(jié)于一種計算的結(jié)果(ji gu)。這篇論文雖不夠成熟，但卻閃耀著創(chuàng)新的智慧和數(shù)學(xué)的才華，后來的一系列工作使他成為數(shù)理邏輯的創(chuàng)始人。 第4頁/共19頁第五頁，共19頁。在17世紀(jì)末，萊布尼茲研究線性方程組的解法時，開始使用指標(biāo)數(shù)的系統(tǒng)集合來表示方程組的系數(shù)，并得到現(xiàn)在稱為結(jié)式的一個行列式。大約在1729年，馬克勞林開始用行列

5、式的方法解含2-4個未知量的線線性方程組，還使用了所謂的克萊姆法則，克萊姆在1750年把這個法則發(fā)表出來。 （其實創(chuàng)新需要想象力，當(dāng)初中生在做二元一次方程的時候無聊的把系數(shù)拿出來組合，他就會發(fā)現(xiàn)只要(zhyo)在這些數(shù)字之間換算就可以解開這個方程，因為這和方程本身的未知數(shù)并沒有關(guān)系，不論它是x，或y，或其他什么，都不影響答案，推而廣之，是否對3元 4元 甚至n元也成立呢？我想當(dāng)時的科學(xué)家就這么無聊中創(chuàng)時代的吧。）第5頁/共19頁第六頁，共19頁。1750年，克拉默在他的代表作 線性代數(shù)分析導(dǎo)言中，創(chuàng)立了克拉默法則，用它解含有(hn yu)5個末知量5個方程的線性方程組?？死▌t(fz)：假若

6、有n個未知數(shù)，n個方程組成的方程組： a11X1+a12X2+a1nXn = b1, a21X1+a22X2+a2nXn = b2, an1X1+an2X2+annXn = bn. 或者寫成矩陣形式為Ax=b,其中A為n*n方陣(fn zhn)，x為n個變量構(gòu)成列向量，b為n個常數(shù)項構(gòu)成列向量。 而當(dāng)它的系數(shù)矩陣可逆，或者說對應(yīng)的行列式|A|不等于0的時候，它有唯一解xi=|Ai|/|A|,其中Aii = 1，2，n是矩陣A中第i列的a 1i，a 2i，a ni （即第i列）依次換成b1，b2，bn所得的矩陣。 克萊姆法則不僅僅適用于實數(shù)域，它在任何域上面都可以成立。 使用克萊姆法則求線性方程

7、組的解的算法時間復(fù)雜度可以達到O(n3)，這個時間復(fù)雜度同其它常用的線性方程組求解方法，比如高斯消元法相當(dāng)。 第6頁/共19頁第七頁，共19頁。1764年，法國數(shù)學(xué)家裴蜀 (Bezout，1730-1783)研究了含有n個未知量n個方程的齊次線性方程組的求解(qi ji)問題，證明了這樣的方程組有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零。后來，裴蜀和拉普拉斯 (Laplace，1749一1827)等以行列式為工具，給出了齊次線性方程組有非零解的條件。1867年，道奇(do q)森 （Dodgson， 1832-1898）的著作行列式初等理論發(fā)表，他證明了含有n個未知量m個方程的一般線性方程組有解的充要條

8、件是系數(shù)陣和增廣陣有同階的非零子式，這就是現(xiàn)在的結(jié)論:系數(shù)陣和增廣陣的秩相等。道奇(do q)森第7頁/共19頁第八頁，共19頁。 基爾霍夫電壓(diny)定理：沿某個方向環(huán)繞回路一周的所有電壓(diny)降RI的代數(shù)和等于沿同一方向環(huán)繞該回路一周的電源電壓(diny)代數(shù)和。11I1-3I2=306I2-3I1-I3=53I3-I1=-25第8頁/共19頁第九頁，共19頁。I1=3 I2=1 I3=-8第9頁/共19頁第十頁，共19頁。 劍橋(jin qio)減肥食譜用33種食物精確提供31種營養(yǎng)，可用線性方程組來計算。試求三種食品的組合，使得混合食物提供劍橋(jin qio)食譜需求的營養(yǎng)

9、。 現(xiàn)僅考慮(kol)三種食品三種營養(yǎng)成分如下表：第10頁/共19頁第十一頁，共19頁。解：設(shè)這三種(sn zhn)食物的兩分別為x1，x2，x3 （單位：100克）第11頁/共19頁第十二頁，共19頁。為了提供(tgng)所需要的蛋白質(zhì)、碳水化合物和脂肪總量食譜中需要(xyo)包含0.277單位的脫脂奶粉，0.392單位(dnwi)的大豆粉，0.233單位(dnwi)的乳清。第12頁/共19頁第十三頁，共19頁。配平化學(xué)(huxu)方程式【解】上述化學(xué)反應(yīng)式中包含【解】上述化學(xué)反應(yīng)式中包含5種不同的原子種不同的原子(yunz)（鉀、錳、氧、硫（鉀、錳、氧、硫、氫），于是在中為每一種反應(yīng)物和生

10、成物構(gòu)成如下向量：、氫），于是在中為每一種反應(yīng)物和生成物構(gòu)成如下向量：其中(qzhng)x1、x2 、 x3 、 x4 、 x5 、 x6均為正整數(shù)第13頁/共19頁第十四頁，共19頁。其中，每一個向量的各個分量依次表示反應(yīng)物和生成物中鉀、錳、氧、硫、氫的原子數(shù)目。為了(wi le)配平化學(xué)方程式，系數(shù)必須滿足方程組求解(qi ji)該齊次線性方程組，得到通解：由于化學(xué)方程式通常取最簡的正整數(shù)，因此(ync)在通解中取即得配平后的化學(xué)方程式：第14頁/共19頁第十五頁，共19頁。列昂惕夫的“交換模型”：假設(shè)一個國家(guji)的經(jīng)濟分為很多行業(yè)，例如制造業(yè)、通訊業(yè)、娛樂業(yè)和服務(wù)行業(yè)等。我們知道

11、每個部門一年的總產(chǎn)出，并準(zhǔn)確了解其產(chǎn)出如何在經(jīng)濟的其它部門之間分配或“交易”。把一個部門產(chǎn)出的總貨幣價值稱為該產(chǎn)出的價格（price）.列昂惕夫證明了如下結(jié)論：存在賦給各部門總產(chǎn)出的平衡價格，使得每個部門的投入與產(chǎn)出都相等。 經(jīng)濟系統(tǒng)經(jīng)濟系統(tǒng)(xtng)的平衡的平衡 第15頁/共19頁第十六頁，共19頁?！窘狻繌谋怼窘狻繌谋?-2可以看出，沿列表示每個行業(yè)的產(chǎn)出分配到可以看出，沿列表示每個行業(yè)的產(chǎn)出分配到何處，沿行表示每個行業(yè)所需的投入。例如，第何處，沿行表示每個行業(yè)所需的投入。例如，第1行說明五行說明五金金(wjn)化工行業(yè)購買了化工行業(yè)購買了80%的能源產(chǎn)出、的能源產(chǎn)出、40%的機械產(chǎn)出的機械產(chǎn)出以及以及20%的本行業(yè)產(chǎn)出，由于三個行業(yè)的總產(chǎn)出價格分別是的本行業(yè)產(chǎn)出，由于三個行業(yè)的總產(chǎn)出價格分別是p1、p2 、 p3，因此五金，因此五金(wjn)化工行業(yè)必須分別向三個化工行業(yè)必須分別向三個行業(yè)支付元行業(yè)支付元0.2p1、 0.8p2、0.4p3 。 得：得：第16頁/共19頁第十七頁，共19頁。該方程組的通解(tngji)為 ，此即經(jīng)濟(jngj)系統(tǒng)的平衡價格向量，每個p3的