MATLAB的差值與曲線擬合PPT課件

1、MATLAB數(shù)據(jù)處理與應(yīng)用數(shù)據(jù)處理與應(yīng)用2011-2012學(xué)年選修課學(xué)年選修課西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所2主要內(nèi)容插值運(yùn)算曲線擬合分段函數(shù)拉格拉日插值牛頓插值Hermite插值西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所3MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合 簡介把試驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制成圖是點(diǎn)狀分布，將這些點(diǎn)練成曲線，然后轉(zhuǎn)化為有意義的數(shù)學(xué)函數(shù)，才能對(duì)數(shù)據(jù)做對(duì)比和分析上述過程涉及插值(interpolation)和曲線擬合(curve-fitting)插值過程中認(rèn)為數(shù)據(jù)是準(zhǔn)確的，求取描述點(diǎn)之間的數(shù)據(jù)曲線擬合中，假定已知曲線的規(guī)律，做曲線的最佳逼近，不需要經(jīng)過所有數(shù)據(jù)點(diǎn)西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所4MATLAB插值與曲線擬合

2、插值與曲線擬合插值計(jì)算假設(shè)試驗(yàn)得到一組數(shù)據(jù)形態(tài)為：f(xk)；其中k=1,2,n；且x1=axn=c如果某些點(diǎn)xi不屬于上述的xi ，但是a=xi=c，要估計(jì)這些點(diǎn)的函數(shù)值f(xi)就需要做插值運(yùn)算根據(jù)原始數(shù)據(jù)所描述的函數(shù)的復(fù)雜程度，存在有：一維插值二維插值Spline插值西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所5MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合一維插值一維插值可以是線性的，也可以是三次多項(xiàng)式或spline插值一維線性插值是假設(shè)兩個(gè)數(shù)據(jù)中的變化為線性關(guān)系，因此可由已知點(diǎn)的坐標(biāo)(f(a),a)和(f(c),c)計(jì)算b點(diǎn)的函數(shù)值f(b)一維線性插值是最簡單的插值，適用范圍很小可用較為復(fù)雜的三次多項(xiàng)式或sp

3、line來近似找到原函數(shù)f(x)()()()(afcfacabafbf西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所6MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合一維插值MATLAB的一維插值函數(shù)為interp1(a,c,b)和interp1(a,c,b,method)其中a,c為已知數(shù)據(jù)，而b為要插值的數(shù)據(jù)點(diǎn)，method為預(yù)先設(shè)定的插值方法，分別為線性(linear)、三次多項(xiàng)式(cubic)和spline如果數(shù)據(jù)的變化較大，以spline插值所形成的曲線最為平滑，效果最好三次多項(xiàng)式所得的曲線平滑度介于linear和spline之間西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所7MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合一維插值舉例假設(shè)汽

4、車引擎在額定轉(zhuǎn)速下溫度與時(shí)間的測量值關(guān)系如下00； 120； 260； 368； 477； 5110；用一維插值法估計(jì)時(shí)間為2.6s和4.9s時(shí)的溫度值。分別用三種方法估計(jì)其值x=0 1 2 3 4 5;y=0 20 60 68 77 110;y1=interp1(x,y,2.6)y2=interp1(x,y,2.6 4.9)y3=interp1(x,y,2.6 4.9,cubic)y3=interp1(x,y,2.6 4.9,spline)西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所8MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合一維插值舉例畫出插值后的時(shí)間與溫度變化曲線圖。t=0 1 2 2.6 3 4 4.9 5

5、;y1=0 20 60 64.8 68 77 106.7 110;y2=0 20 60 65.2 68 77 105.6 110;y3=0 20 60 67.3 68 77 105.2 110;plot(t,y1,t,y2,t,y3)西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所9MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所10MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合二維插值假設(shè)試驗(yàn)所得到的一組數(shù)據(jù)形態(tài)為z=f(xk,yk)，期中k=1，2，n；如果某些點(diǎn)(xi,yi)不屬于上述點(diǎn)，要估計(jì)這些點(diǎn)的函數(shù)值f(xi,yi)就需要進(jìn)行二維擦繪制運(yùn)算，二維插值相當(dāng)于二元函數(shù)運(yùn)算MATLAB中二維插值函數(shù)

6、是interp2(x,y,z,xi,yi)，期中xi,yi為要插值的數(shù)據(jù)點(diǎn)，x，y，z為已知數(shù)據(jù)通過設(shè)定interp2(x,y,z,xi,yi,method)也可以設(shè)定不同的插值方法，有l(wèi)inear、cubic和spline三種西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所11MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合二維插值舉例假設(shè)汽車的引擎轉(zhuǎn)速、溫度與時(shí)間的測量值關(guān)系如下表，估計(jì)時(shí)間為2.6s和速度為2500r時(shí)的溫度。T/SpeedTime/s2000r3000r4000r00001201101762601802203682403494773104505110405503西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所12MATLAB

7、插值與曲線擬合插值與曲線擬合二維插值舉例應(yīng)用函數(shù)interp2函數(shù)分別用linear、cubic、spline來估計(jì)時(shí)間2.6s和轉(zhuǎn)速2500r的溫度值。t=1 2 3 4 5;speed=2000 3000 4000;temp=20 110 176;60 180 220;68 240 349;77 310 450;110 405 503;temp1=interp2(speed,t,temp,2500,2.6)temp2=interp2(speed,t,temp,2500,2.6,cubic)temp3=interp2(speed,t,temp,2500,2.6,spline)西南交通大學(xué)摩擦

8、學(xué)研究所13MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合spline插值函數(shù)spline有兩種應(yīng)用形式，spline(x,y,xi)和spline(x,y)spline(x,y,xi)與interp1(x,y,xi,spline)效果一樣舉例x=0 1 2 3 4 5;y=0 20 60 68 77 110;y1=spline(x,y,2.6)y1=spline(x,y,2.6,4.9)西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所14MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合spline插值舉例：在0,10區(qū)間上按正弦規(guī)律y=sin(x)取10個(gè)點(diǎn)yi，再在區(qū)間0,10上取41個(gè)點(diǎn)，以yi為已知數(shù)據(jù)，對(duì)這41個(gè)點(diǎn)做sp

9、line插值運(yùn)算，得到函數(shù)值并繪圖，比較其值與正弦波偏離程度。x=0:10;y=sin(x);xx=0:0.25:10;yy=spline(x,y,xx);plot(x,y,o,xx,yy,xx,sin(xx);西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所15MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所16MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合spline插值采用一維線性插值運(yùn)算x=0:10;y=sin(x);xx=0:0.25:10;yy=interp1(x,y,xx);plot(x,y,o,xx,yy,xx,sin(xx);西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所17MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線

10、擬合西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所18MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合spline插值采用一維三次多項(xiàng)式插值運(yùn)算x=0:10;y=sin(x);xx=0:0.25:10;yy=interp1(x,y,xx,cubic);plot(x,y,o,xx,yy,xx,sin(xx);西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所19MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所20MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合spline插值向量t=1900:10:1990，p=75.995 91.972 105.711 123.203 131.669 150.697 179.323 203.212 226.

11、505 249.633表示從1900年到1990年人口普查的數(shù)字，利用spline插值法預(yù)測2000年的人口數(shù)，并繪制人口變化趨勢圖。t=1900:10:1990;p=75.995 91.972 105.711 123.203 131.669 150.697 179.323 203.212 226.505 249.633;y=spline(t,p,2000)plot(t 2000,p y,o)西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所21MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所22MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合spline插值畫一個(gè)圓并在數(shù)據(jù)點(diǎn)y(:,2)，y(:,6)處標(biāo)上字

12、母o。x=pi*0:0.5:2;y=0 1 0 -1 0 1 0;1 0 1 0 -1 0 1;pp=spline(x,y);yy=ppval(pp,linspace(0,2*pi,101);%計(jì)算分算函數(shù)的值plot(yy(1,:),yy(2,:),-b,y(1,2:5),y(2,2:5),or)西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所23MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所24MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合曲線擬合曲線擬合(curve-fitting)顧名思義就是用近似的曲線方程來代表一組離散的數(shù)據(jù)曲線擬合與插值有許多相似之處，二者最大區(qū)別再于曲線擬合要找出一個(gè)曲線函

13、數(shù)式，而插值僅求出與數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值而已曲線擬合運(yùn)用最小二乘法原理如果擬合的曲線限定為多項(xiàng)式就稱為多項(xiàng)式最小二乘法曲線擬合MATLAB提供的曲線擬合有多項(xiàng)式最小二乘擬合、普通最小二乘擬合等西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所25MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合線性回歸假設(shè)有一組數(shù)據(jù)形態(tài)為y=y(x)，其中x=0 1 2 3 4 5，y=0 20 60 68 77 110，用一個(gè)最簡單的方程式來表示這組數(shù)據(jù)，一階線性方程式最簡單隨意假設(shè)其方程式為y=20 xx=0 1 2 3 4 5;y=0 20 60 68 77 110;y1=20*xsum_sq=sum(y-y1).2)plot(x,y1,x

14、,y,o),title(Linear estimate),grid西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所26MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所27MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合線性回歸從圖中看出，所假設(shè)的方程與實(shí)際數(shù)據(jù)的差距很大，從理論上講，誤差平方和最小才是代表數(shù)據(jù)的最佳方程式，以此標(biāo)準(zhǔn)尋找數(shù)據(jù)方程式的方法稱為最小平方誤差法或線性回歸MATLAB中的polyfit()函數(shù)提供了從一階到高階多項(xiàng)式的回歸運(yùn)算，語法為coef=polyfit(x,y,n)，期中x、y為輸入數(shù)據(jù)，n為多項(xiàng)式的階數(shù)，coef為輸出數(shù)組，數(shù)值為多項(xiàng)式的系數(shù)項(xiàng)西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所28MATL

15、AB插值與曲線擬合插值與曲線擬合線性回歸假設(shè)一組數(shù)據(jù)x=0 1 2 3 4 5和y=0 20 60 68 77 110，期中y是x的函數(shù)，使用最小二乘法建立一階線性回歸方程用polyfit函數(shù)求出系數(shù)x=0 1 2 3 4 5;y=0 20 60 68 77 110;coef=polyfit(x,y,1)西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所29MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合線性回歸畫出方程的直線及x和y的數(shù)據(jù)點(diǎn)a1=coef(1);a0=coef(2);ybest=a1*x+a0;sum_sq=sum(y-ybest).2)plot(x,ybest,x,y,o);title(Linear reg

16、ression estimate),grid通過比較發(fā)現(xiàn)，最小平方誤差法獲得的誤差平方和要小于y=20 x的值西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所30MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所31MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合多項(xiàng)式回歸函數(shù)polyfit(x,y,n)中當(dāng)n大于等于2時(shí)，稱為多項(xiàng)式回歸高階多項(xiàng)式回歸有時(shí)并不如低階的更能代表原始數(shù)據(jù)對(duì)上述數(shù)據(jù)的x和y分別求二、三、四、五階多項(xiàng)式回歸方程，畫出其擬合曲線二階：x=0 1 2 3 4 5;y=0 20 60 68 77 110;coef=polyfit(x,y,2);ybest=coef(1)*x.2+coef(2

17、)*x+coef(3);plot(x,ybest,x,y,o),title(Linear regression estimate),grid西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所32MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合多項(xiàng)式回歸三階：x=0 1 2 3 4 5;y=0 20 60 68 77 110;coef=polyfit(x,y,3);ybest=coef(1)*x.3+coef(2)*x.2+coef(3)*x+coef(4);plot(x,ybest,x,y,o),title(Linear regression estimate),grid三階的擬合曲線最為光滑西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所33MAT

18、LAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合多項(xiàng)式回歸四階：x=0 1 2 3 4 5;y=0 20 60 68 77 110;coef=polyfit(x,y,4);ybest=coef(1)*x.4+coef(2)*x.3+coef(3)*x.2 +coef(4)*x+coef(5);plot(x,ybest,x,y,o),title(Linear regression estimate),grid西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所34MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合多項(xiàng)式回歸五階：x=0 1 2 3 4 5;y=0 20 60 68 77 110;coef=polyfit(x,y,5);ybest=

19、coef(1)*x.5+coef(2)*x.4+coef(3)*x.3+coef(4)*x.2+coef(5)*x+coef(6);plot(x,ybest,x,y,o),title(Linear regression estimate),grid五階以上的多項(xiàng)式回歸方程會(huì)通過所有的原始數(shù)據(jù)點(diǎn)，但曲振蕩劇烈西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所35MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所36MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合多次式擬合及函數(shù)的計(jì)算polyval也可用來做多項(xiàng)式函數(shù)計(jì)算，由polyfit計(jì)算出多項(xiàng)式的系數(shù)后，再由polyval計(jì)算出多項(xiàng)式的函數(shù)值語法polyval

20、(coef,x)，期中coef為多項(xiàng)式的各個(gè)系數(shù)所構(gòu)成的數(shù)組x=0:0.1:1;y=-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2;coef =polyfit(x,y,2)xi=0:0.01:1;yi=polyval(coef,xi);plot(x,y,o,xi,yi);西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所37MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合多次式擬合及函數(shù)的計(jì)算舉例：對(duì)數(shù)據(jù)x=0 1 2 3 4 5和y=0 20 60 68 77 110做二階到九階的多項(xiàng)式回歸分析，然后計(jì)算多項(xiàng)式的函數(shù)值，繪制其曲線x=0 1 2 3 4 5;y

21、=0 20 60 68 77 110;newx=0:0.05:5;for n=2:9f(:,n)=polyval(polyfit(x,y,n),newx);plot(newx,f(:,n),x,y,o);hold on;end西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所38MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所39MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合分段多項(xiàng)式函數(shù)函數(shù)pp=mkpp(breaks,coefs)是區(qū)間breaks上根據(jù)多項(xiàng)式的系數(shù)coefs構(gòu)建一個(gè)分段多項(xiàng)式ppbreaks是一個(gè)長度為L+1的向量，元素是每一個(gè)區(qū)間的起點(diǎn)與終點(diǎn)，共有L個(gè)區(qū)間coefs是一個(gè)L(k+1)的

22、矩陣函數(shù)ppval()可估算分段多項(xiàng)式pp在特殊點(diǎn)xx上的值v=ppval(pp,xx)西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所40MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合分段多項(xiàng)式函數(shù)舉例在區(qū)間-8 -4 0 4 8上分別畫出首尾相接的y=-0.5x+1；y=0.5x-1；y=-0.5x+1；y=0.5x-1四條線段breaks=-8 -4 0 4 8;coefs=-0.5 1;0.5 -1;-0.5 1;0.5 -1;pp=mkpp(breaks,coefs)x=-8:0.1:8;y=ppval(pp,x);plot(x,y,-b);西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所41MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合分段

23、多項(xiàng)式函數(shù)二次多項(xiàng)式y(tǒng)=-x2/4+x，在區(qū)間-8 -4 0 4 8上分別畫出y;-y;y;-y的曲線breaks=-8 -4 0 4 8;coefs=-1/4 1 0;pp=mkpp(breaks,coefs;-coefs;coefs;-coefs)x=-8:0.1:8;y=ppval(pp,x);plot(x,y,K-);西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所42MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合分段多項(xiàng)式函數(shù)在區(qū)間-8 -4上應(yīng)用函數(shù)pp=mkpp(breaks,coefs)構(gòu)建二次多項(xiàng)式函數(shù)y=-0.25x2+xcoefs=-0.25 1 0;pp=mkpp(-8 -4,coefs)x=-8:

24、0.1:-4;y=ppval(pp,x);plot(x,y);西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所43MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合分段多項(xiàng)式函數(shù)畫出分段函數(shù)在連續(xù)三個(gè)周期內(nèi)的圖像x=0 0.075 0.1 0.175 0.2 0.275 0.3;y=40/3 0;-40 1;40/3 0;-40 1;40/3 0;-40 1;pp=mkpp(x,y);xx=0:0.001:0.3;yy=ppval(pp,xx);plot(xx,yy,b-); 1 . 0 ,075. 0 , 140075. 0 , 0 ,3/40 xxy西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所44MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合西南交

25、通大學(xué)摩擦學(xué)研究所45MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合獲得分段多項(xiàng)式的詳細(xì)資料使用函數(shù)breaks,coefs,l,k,d=unmkpp(pp)可以獲得分段多項(xiàng)式的詳細(xì)資料Breaks是斷點(diǎn)數(shù)，coefs是系數(shù)，l是段數(shù)，k是項(xiàng)數(shù)，d是維數(shù)，pp是由于spine或mkpp所創(chuàng)建為分段二項(xiàng)多項(xiàng)式-0.25x4+x和-(-0.25x4+x)創(chuàng)建一個(gè)描述y=-0.25 1 0;pp=mkpp(-8 -4 0 4 8,y;-y;y;-y);breaks,coefs,l,k,d=unmkpp(pp)西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所46MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合拉格拉日插值法通過平面上不同兩

26、點(diǎn)可以去定一條直線經(jīng)過這兩點(diǎn)，這就是拉格拉日插值問題，對(duì)于不在同一條直線的三個(gè)點(diǎn)得到哦的插值多項(xiàng)式為拋物線舉例：已知cos30=sqrt(3)/2、cos45=sqrt(2)/2、 cos60=0.5、cos90=0，利用拉格拉日插值法計(jì)算cos(-40)、cos47、cos53、cos79、cos174的值，并給出插值多項(xiàng)式步驟：1.編寫拉格拉日插值方法函數(shù)文件lag.m2.編寫主函數(shù)文件lag_main.m3.命令窗口運(yùn)行l(wèi)ag_main西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所47MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合拉格拉日插值法x=pi/4,pi/6,pi/3,pi/2;y=cos(pi/4),co

27、s(pi/6),cos(pi/3),cos(pi/2);t=-40*pi/180,47*pi/180,53*pi/180,79*pi/180,174*pi/180;du=-40 47 53 79 174yt=lag(x,y,t)yreal=cos(-40*pi/180)cos(47*pi/180)cos(53*pi/180)cos(79*pi/180)cos(174*pi/180)dy=yt-yrealyt=lag(x,y)ezplot(yt,-pi/4,pi)hold onezplot(cos(t),-pi/4,pi);西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所48MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合牛頓

28、插值法牛頓插值法主要是基于插商的概念進(jìn)行的，當(dāng)增加插值基點(diǎn)時(shí)原來的計(jì)算結(jié)果對(duì)后面的計(jì)算仍然有用舉例：已知零階Bvessel函數(shù)f(x)在若干點(diǎn)處的函數(shù)值如下，X 1.0 1.3 1.6 1.9 2.2f(x) 0.7651977 0.6200860 0.4554022 0.2818186 0.1103623x=1.0 1.3 1.6 1.9 2.2;y=0.7651977 0.6200860 0.4554022 0.2818186 0.1103623;yt=niudun(x,y,1.5)西南交通大學(xué)摩擦學(xué)研究所49MATLAB插值與曲線擬合插值與曲線擬合牛頓插值法5階勒讓德多項(xiàng)式為P5=(63X5-70X3+15X)/8，在-1,1上任意取9個(gè)點(diǎn)，如x=-1 -0.3 0.4 -0.7 0 -0.4 0.8 0.7 1，不管取點(diǎn)順序1.根據(jù)5階勒讓德多項(xiàng)式，計(jì)算這9點(diǎn)的函數(shù)值；2.依據(jù)這9點(diǎn)作牛頓插值，畫出插值多項(xiàng)式圖像，與勒讓德多項(xiàng)式圖像相比較；3.計(jì)算x=0.24 -0.46 0.83時(shí)的近似結(jié)果，與真實(shí)結(jié)果相比。步驟：1.編寫牛頓插值