圓形鏡共焦腔及高斯光束

1、 激光大作業(yè) 一圓形鏡共焦腔1. 圓形鏡共焦腔鏡面波場分布振幅分布：相位分布：其中，為鏡面上的基模光斑半徑，= 稱為締合拉蓋爾多項式, 基模與若干高階模的振幅分布如下： 下面是基模的振幅分布與相位分布和若干高階模的振幅分布圖： （用matlab編程） 基模的振幅分布 程序一： >> h = polar(0 2*pi, 0 2); >> delete(h); >> hold on>> contour(xx, yy, zz, 50); >> surf(xx, yy, zz); >> hold off>> view(

2、-19, 22); >>t=linspace(0,2*pi,100); >> r=0:0.05:2;>> tt,rr=meshgrid(t,r);>> xx,yy=pol2cart(tt,rr);>> c=30;>> w=2;>> zz=2*exp(-(xx.2+yy.2)/w2);所畫圖形如下所示： 振幅分布在極坐標中的表示 程序二： >>t=linspace(0,2*pi,100); >>surf(xx, yy, zz);>>r=0:0.05:5;>>tt,r

3、r=meshgrid(t,r);>>xx,yy=pol2cart(tt,rr);>>c=2；>>w=2;>>zz=c*exp(-(xx.2+yy.2)/w2); 振幅分布在直角坐標中的表示 基模的相位分布：程序：> > t=linspace(0,2*pi,1000);>> rh=0:0.001:4;>>tt,rr=meshgrid(t,rh);>>x,y=pol2cart(tt,rr);>>r=4;>>z=real(sqrt(r2-(x.2+y.2)-r/2);>>

4、;mesh(x, y, z); % 曲面圖 相位分布在直角坐標中的表示 振幅分布程序：>>t=linspace(0,2*pi,100); >>r=0:0.1:5; >>tt,rr=meshgrid(t,r); >>xx,yy=pol2cart(tt,rr); >>c=2; >>w=2; >>zz=c*(1-2*(xx.2+yy.2)/w2).*exp(-(xx.2+yy.2)/w2); >>surf(xx,yy,zz); 振幅分振幅分布程序：>>t=linspace(0,2*pi,60)

5、;>>r=0:0.1:4;>>tt,rr=meshgrid(t,r);>>xx,yy=pol2cart(tt,rr);>>c=2;>>w=2;>>zz=c*sqrt(2)/w*exp(-(xx.2+yy.2)/w2).*xx;>>surf(xx, yy, zz);所畫圖形如下所示： 振幅分布2. 圓形鏡共焦腔行波場分布行波場為 L：共焦腔腔長 f =L/2:鏡的焦距 1 ：振幅衰減因子2 ：橫向振幅分布因子3 ：位相因子，決定了共焦腔的位相分布 kz：傳播因子 ：位相彎曲因子 ：附加相移因子等相位面分布與腔的軸

6、線交于點的等相位面方程可以寫成：忽略由于z的微小變化引起的附加相移因子，知處等相位面方程為 上式為拋物面方程，頂點在z=處，焦距的大小是 =z+為等相位面曲率半徑 程序： clear clc ezplot('y-x-4/x',-16,16); xlabel('z值'); ylabel('R(z)值'); title('R(z)=z+f2/z'); R(z)隨z的變化 共焦腔等相位面振幅分布因基模光斑半徑故 為一雙曲線 對于基模，基模共焦場在任一z坐標處的橫截面內(nèi)都是高斯分布。對于確定的z值，光場隨r的變化如下程序：>>

7、t=linspace(0,2*pi,100); >> r=0:0.05:2;>> tt,rr=meshgrid(t,r);>> xx,yy=pol2cart(tt,rr);>> c=30;>> w=2;>> zz=c*exp(-(xx.2+yy.2)/w2);>> h = polar(0 2*pi, 0 2); >> delete(h); >> hold on>> contour(xx, yy, zz, 50); >> surf(xx, yy, zz); >

8、> hold off>> view(-19, 22); 光場在腔中的基模傳播模體積基模 高階模基模遠場發(fā)散角2 高斯光束的傳播1.高斯光束在介質(zhì)中的傳播 由前面知，如果腔內(nèi)無任何介質(zhì)（除空氣外），即無源腔，高斯光束將以弧形等相位面向兩邊傳播，若以腔中心為z坐標原點，則等相位面的曲率半徑為 =z+對于確定的z,光束在橫截面內(nèi)呈高斯分布，即如果腔中存在一定厚度的介質(zhì)，那么，高斯光束將如何傳播如圖 設高斯光束在束腰（z=0）處，開始穿過厚度為L，折射率為n的介質(zhì)，在z=0處，基模高斯光束滿足 （1） 首先，討論場函數(shù)為的光束自z=0處垂直入射到傳輸矩陣為T=的介質(zhì)中，其場函數(shù)如何分

9、布。由于，且，則利用費涅耳衍射積分公式，易知 （2） 上圖中，傳輸矩陣為T=，則由（1）式和（2）式，知其中，為波數(shù)， 如果考慮相彎曲因子和附加相移因子，其中由此可見，高斯光束傳播的等相位面和無介質(zhì)時相同，即介質(zhì)不影響等相位面的傳播。即介質(zhì)不改變高斯光束的等相位面曲率半徑和光斑半徑。對于介質(zhì)中光強 =而自由空間中 P（r,z）=取=1，m，n=1.2，。當L=1000mm，,5000mm,10000mm時光強分布曲線a=1; b=1; n=1.2; m=133/125000*0.001;L=1000;k=2*pi/m;A=a2*b4*k2*n2/(b4*k2*n2+4*L2);r=0:0.01

10、:8;t=0:0.01:2*pi;rr tt=meshgrid(r,t);x,y=pol2cart(rr,tt);z=A*exp(-2*A2/b2*(x.2+y.2);mesh(x,y,z)程序：L=1000mmL=10000mmL=5000mm而對于自由空間 a=1;b=1;c=3;r=0:0.01:8; t=0:0.01:2*pi;rr tt=meshgrid(r,t);x,y=pol2cart(rr,tt);z=a2*b2/c2*exp(-2*(x.2+y.2)/c2);mesh(x,y,z)程序： 由以上分析知，1) 介質(zhì)中高斯光束的傳播與自由空間高斯光束的傳播的等相位面相同，曲率半徑

11、相同，光斑半徑相同。2) 介質(zhì)中高斯光束的強度分布不同于自由空間的強度分布，介質(zhì)中，橫截面的強度主要以中心處分布，隨著L的增大，強度分布寬度增加，強度減小，但強度分布寬度隨L變化較慢。而自由空間中，隨z值的增加，強度分布寬度增加，強度減小。變化速度比較快。3) 介質(zhì)中高斯光束的強度分布隨介質(zhì)長度L的變化而變化，由強度表達式也可知高斯光束的強度分布也隨折射率的變化而變化。雖然上述結論是以高斯光束在束腰處進入介質(zhì)為前提的，但它們是普遍使用的。2.光束在環(huán)形諧振腔中的傳播（以三個反射鏡組成的諧振腔為例），如圖LLL光束傳播途徑為M2M3M1M2圖中M2為M2關于M3的對稱反射鏡，則從M2經(jīng)M3到M1

12、的光線等效為從M2到M1的光線,相關參數(shù)如下所示，R1=R2=2L，圖中所畫光線組成等邊三角形，邊長為L，則M2與M1組成對稱共焦腔，如圖所示圖二因此，M1與M3之間仍為高斯光束，只是趨近于M3處上半部分部分的消失，同理，M2與M3之間仍為高斯光束，且情形與M1與M3之間相同，切關于M3的法線對稱。對于M1與M2之間的光束，由費涅耳衍射積分知，此時，角不再是趨于0，而是，故1+而是，故所得積分結果只是差一個倍，故仍為高斯分布。故分布圖如下M1和M2鏡之間，取兩鏡中心處為z原點，取基模高斯光束場振幅表達式為：，只是，則橫截面內(nèi)振幅分布曲線如圖所示程序：>>c=2；>>w=

13、2;>>zz=c*exp(-(xx.2+yy.2)/w2);>>surf(xx, yy, zz);>>t=linspace(0,pi,100); >>r=0:0.05:5;>>tt,rr=meshgrid(t,r);>>xx,yy=pol2cart(tt,rr);橫截面內(nèi)相位分布：程序：>>t=linspace(0,2*pi,1000);>> rh=0:0.001:4;>>tt,rr=meshgrid(t,rh);>>x,y=pol2cart(tt,rr);>>r

14、=4;>>z=real(sqrt(r2-(x.2+y.2)-r/2);>>mesh(x, y, z); % 曲面圖M1與M3之間，取M3與軸線交點為z原點，如圖二，由分析知對軸線上半部分在<w(z)時，光斑半徑取，在>w(z)時光斑半徑取w(z)。而下半部分正常。所以在<w(z)的區(qū)域基模的振幅分布為程序：t1=linspace(0,pi,100); t2=linspace(pi,2*pi,100) r=0:0.05:2; tt,rr=meshgrid(t1,r); th,rh=meshgrid(t2,r); xx,yy=pol2cart(tt,rr); 上半部分 x,y=pol2cart(th,rh); c=30; w1=2; w2=4; zz=c*exp(-(xx.2+yy.2)/w12); z=c*exp(-(x.2+y.2)/w22);surf(x, y, z); surf(xx, yy, zz); 下半部分在<w(z)的區(qū)域