2019年揭陽市高考一模試題(理數(shù))

1、6 . 2019年揭陽市高考“一?！痹囶} 數(shù)學（理科） 本試卷共 4 頁，21 小題，滿分 150 分.考試用時 120 分鐘. 注意事項： 1.答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位 號填寫在答題卡上. 2 選擇題每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑，如 需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上. 3 非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內 相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液， 不按以上要求作答的答案無效. 4考生必須保持答

2、題卡的整潔 ，考試結束后，將試卷和答題卡一并交回. 參考公式： 如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是 P,那么n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生 k 次的概 率 Pn（k）=C：Pk（1 -PT . 、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，滿分 40 分在每小題給出的四個選項中，只有 項是符合題目要求的. 5 . 一質點受到平面上的三個力 尺丁2怎（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài). 已知F1,F2成 120角，且匕丁2的大小分別為 1 和 2,則有 fi f h rt A . F1, F3成 90角 B . F1, F3成 150 角 C . F2,F3 成 90 角 D . F2,F3 成 6

3、0角 1. 已知集合 A =1,2?, B =a, b,若 API B = ,則AUB為. 2. 1 A ?,1,b 1 C . 込 1 .-1,-,1 設函數(shù) f （x）二 cos （2x -禦）, 則f (x)是 A .最小正周期為二的奇函數(shù) C .最小正周期為一的奇函數(shù) 2 已知隨機變量服從正態(tài)分布 .最小正周期為 .最小正周期為 二的偶函數(shù) -的偶函數(shù) 2 N(2,- 2) , P( _ 4) =0.84，貝U P( -0)= A . 0.16 B .0.32 C .0.68 D .0.84 4.數(shù)列an 是公差不為 0 的等差數(shù)列， 且a1,a3,a7為等比數(shù)列bn的連續(xù)三項，則數(shù)列

4、bn 的公比為 A.、2 B .4 C .2 D 1 2 3 . 表示的平面區(qū)域為 B y D D 7.一物體 A 以速度v=3t +2 （ t的單位：s, v的單位：m/s）,在一直線上運動，在此直線 上在物體 A 出發(fā)的同時，物體 B 在物體 A 的正前方 8m 處以 v=& （t的單位：s, V的單 位：m/s）的速度與 A 同向運動，設ns 后兩物體相遇，則 n的值為 、填空題：本大題共 7 小題，考生作答 6 小題，每小題 5 分，滿分 30 分. （一）必做題（9- 13 題） f (x 1),x ： 4. 13 .下圖甲是某市有關部門根據對當?shù)馗刹康脑率杖肭闆r調查后畫出的

5、樣本頻率分布直方圖， 已知圖甲A. 4 帀 B . 2 10 3 &平面內稱橫坐標為整數(shù)的點為“次整點” 線，則傾斜角大于 45的直線條數(shù)為. A. 10 B . 11 C . 4 D . 5 .過函數(shù)y二一 9X2圖象上任意兩個次整點作直 9.已知函數(shù)y二lg（4 -x）的定義域為 A，集合B二x| x ： a，若 P： Q： “ B ”的充分不必要條件，則實數(shù) a 的取值范圍 _ . x2 y2 10 .雙曲線 1上一點 P 到右焦點的距離是實軸兩端點到右焦 16 9 點距離的等差中項，貝 y P 點到左焦點的距離為 _ . 11.某師傅用鐵皮制作一封閉的工件，其直觀圖的三視圖如右

6、圖示 （單位長度：cm,圖中水平線與豎線垂直），則制作該工件用去的 鐵皮的12 .已知函數(shù) f (x)二 1 X (2)心 則 f(log23)= 中從左向右第一組的頻數(shù)為 4000.在樣本中記月收入在 1000,1500， 1500,2000）, 2000,2500）,2500,3000）,3000,3500） , 3500, 4000的人數(shù)依次為 A、 A、代.圖乙是統(tǒng)計圖甲中月工資收入在一定范圍內的人數(shù)的算法流程圖， 則樣本的容量n ；圖乙輸出的S二 _ .（用數(shù)字作答） 圖甲 （二）選做題（14、15 題，考生只能從中選做一題） X = 1 +1 14. （坐標系與參數(shù)方程選做題）設直

7、線1,的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），以坐標原 y = a + 3t 點為極點，X 軸為極軸建立極坐標系得另一直線 12的方程為sin v-3cos4 = 0. 若直線h與12間的距離為、10，則實數(shù)a的值為 _ . 15. （幾何證明選做題） 如圖，已知P是L O外一點，PD為L O的切線，D為 切點，割線 PEF 經過圓心O,若PF =12,PD =紙3,則.EFD的度數(shù)為 _ 三解答題：本大題共 6 小題，滿分 80 分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟. 16. （本題滿分 12 分） z2 二 m (m -3cos2 x)i ( ,m, X R,),且 乙二 z?. （1 ）若 =

8、0 且 0 ： x ：二，求 X 的值; 某品牌的汽車 4S 店，對最近 100位采用分期付款的購車者進行 統(tǒng)計，統(tǒng)（2）設-=f （X），已知當 x = 時, 1 兀 =2，試求cos（4）的值. /輸入 A1? A2 , A 6/ I S= 0,i = 2 | i=i+1 是 + 是 S = S+AJ 圖乙 已知復數(shù) 乙=sin2x： ； i 17.（本題滿分 12 分） 付款方式 分 1 期 分 2 期 分 3 期 分 4 期 分 5 期 頻 數(shù) 40 20 a 10 b 頻率組距 開始 /輸出 S/ 結束 3 期付款的頻率為 0.2 , 4S 店經銷一輛該品牌的汽車， 分 2期或 3

9、期付款其利潤為 1.5 萬元；分 4 期或 5 期付 計結果如右表所示：已知分 顧客分 1 期付款，其利潤為 1 萬元; 款，其利潤為 2 萬元用表示經銷一輛汽車的利潤 （1） 求上表中的a,b值； （2） 若以頻率作為概率，求事件 期付款”的概率P（A）; （3） 求 的分布列及數(shù)學期望 18.（本題滿分 14 分） 右圖為一簡單組合體，其底面 EC / PD，且 PD =2EC , 求證：BE/平面 PDA N為線段PB的中點，求證： EN _平面PDB ; PD 二 A 2，求平面 PBE 與平面 ABCD 所成的二面角的大小. (1) (2) (3) AD A: “購買該品牌汽車的 3

10、 位顧客中，至多有 1 位采用 3 ABC:為正方形，PD _平面ABCD , B 19(本題滿分 14 分) 2 2 已知如圖，橢圓方程為 x I- =1(4 b 0) .P 為橢圓上的動點 16 b2 Fi、F-為橢圓的兩焦點，當點 P 不在 x軸上時，過 R 作/ F1PF-的外角 平分線的垂線 F1M,垂足為 M 當點 P 在 x軸上時，定義 M 與 P 重合. (1) 求 M 點的軌跡 T 的方程； (2)已知0(0,0)、E(2,1)，試探究是否存在這樣的點 Q : Q是軌跡 內部的整點(平面內橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點) S 0EQ 2 ?若存在，求出點 Q 的坐標，若不存在

11、，說明理由. 20.(本題滿分 14 分) 設函數(shù) f (x) = x| x _1| m,g(x) = In x. (1) 當m . 1時，求函數(shù)y = f (x)在0, m上的最大值； (2) 記函數(shù)p(x) = f (x)-g(x)， 若函數(shù)p(x)有零點， 求 m 的取值范圍 21 .(本題滿分 14 分) x 1 已知：x1, x2 （% ：x2）是方程x2 -6x 5 =0 的兩根，且 yn 口 , xn .2 = （5 ）xn d. * xn yn n N . （門求, y2,y3的值； n (2)設Zn = y.yn卅，求證：送z狂26n ； i=1 (3)求證：對 十N有|y2

12、n -yn ，且 OEQ 的面積 y P J_ 1_ 625 26n W. 參考答案及評分說明 一.選擇題： DBAC ACCB 1 1 1 解析：1 由 Q B =得 2 a=-1 , b ，故選 D. 2. f (x) = cos(2x -二)-cos2x，可知答案選 B. 3由正態(tài)分布的特征得 P乞0) = 1 - P乞4) =1 - 0.84 =0.16，選 A. 經=2，選 C. 5.由匸 F? F3 =0= F3 - -(FF2) 二 F32 =(FF2)2 = F21 F22 2| F1 | | F2 |cos120 -14 4 |F3|= . 3 由 | 吒 | = 1,| F

13、2 |= 2,| F31=、3 知，F(xiàn).j, F3 成 90角，故選 A. C. n Q n 7依題意得 (3t2 2)dt = 8 亠 I 8tdt, n3 2n = 8 4n2 = (n -4)(n2 2) = 0= n = 4, 選 C. &如圖，設曲線 y = J9-X2的次整點分別為 P,R,川P7,過點 P傾斜角大于 45的直線有RP2,PP3，過點B的有BB, 過點F3有PR、P3P7，過點巳有P4P、P4P5、47，過 點P有PsRRB,過點P6的有P6P7,共 11 條，故選 B. 1 二、填空題：9. a A4 ； 10. 13_、； 11. 100(3+75) ;

14、 12. 一 ； 24 科網 13. 10000、6000; 14.9 或- 11; 15. 30 . 解析：9. A=x|xv4，由右圖易得a4. 4. 設數(shù)列an的公差為 d ( d 式0),由 af =a1a7得(a +2d)2 =印(耳 +6d)n a =2d 6.不等式組 f(x)-f(y) _0; 1 _x _4. x_y _0; 即 x y-5_0;或 x y 5 乞 0; 1x乞4. 1乞x乞4. 故其對應平面區(qū)域應為圖 F2 10.由 a =4,b =3 得 c = 5 設左焦點為 F1 ,右焦點為 F?,則 IPF2 (a + c + c a) = c = 5 , 由雙曲線

15、的定義得：| PF1 |=2a |PF2戶8 13. 11.該幾何體的形狀如圖，它是底面為正方形，各個側面均為直角三角形 的四棱錐，用去的鐵皮的面積即該棱錐的表面積 12.由已知得 f (log2 3) = f (log23 1) = f (log2 3 2) = f (log2 3 3) = f (log224) log2(24 )丄 1 2 二 24 13.v月收入在1000,1500）的頻率為0.0008 500 =0.4，且有 4000 人 樣本的容量 n = 4000 = 10000 ,由圖乙知輸出的s = A2 A3 HI As=10000 0.4 4000=6000. 14.將直

16、線h的方程化為普通方程得 3x-y，a-3 = 0，將直線I?的方程化為直角坐標方程得 a 一11 由切割線定理得 PD2二PEPF = PE =空 =4 PF 12 1 二 EF =8, OD =4, / OD _ PD , OD PO . . P =30 , 2 POD =60； PDE = EFD =301 .解答題: 16 解：(1)T Z| = Z2 sin 2x = m 二 m；3cos2x =sin 2x - - 3 cos2x 若 =0 貝V sin2x -、3cos2x = 0得 tan2x 二 3 / 0 x ：二,.0 . 2x : 2二 c 兀 .2x ,或 2x 二

17、3 3 2 二 x 或 - 6 3 .(1)|092 24 3x -y -4 =0，由兩平行線的距離公式得 1 二4 1 =：怖二 |a 1| = 10 二 a = 9 或 15. 4 S = 100(3、5) P A - 1 .,3 (2)T 二 f(x)二sin 2x i 可3 cos2x = 2(sin2x cos2x) 2 2分 c/ c 兀 c 兀 JI =2(sin 2xcos cos2xsin ) =2sin(2 x )- 8 分 3 3 3 1 當 x = :時，= 2 H 1 兀 1 兀 1 二 2sin(2 ) , sin(2 ) , sin( 2 ) - 9 3 2 3

18、4 3 4 3 6 6 3 cos(4 )=2 (-) -1- . - 2 分 3 4 8 a 17解：(1)由 0.2 得 a =20 100 40 20 a 10 b =100 . b =10 - 2 分 (2) 記分期付款的期數(shù)為 ，依題意得： . 40 蛙 20 衛(wèi) P( =1) 0.4, P( =2) 0.2, P( =3)72, 100 100 = 10 衛(wèi) 10 PC： =4) 0.1, PC： =5) 0.1 - 5 分 100 100 則“購買該品牌汽車的 3 位顧客中至多有 1 位采用 3 期付款”的概率： P(A) = 0.83 +C3o.2x(1O.2)2 =0.896

19、 - 7 分 (3) 的可能取值為： 1, 1.5 , 2 (單位萬元) P( =1) = P( =1)=0.4 - 8 分 P( =1.5) = P( =2) P( =3) =0.4 - 9 分 P(=2) =P(：=4) P(F： =5) =0.1 0.1 =0.2 - 10 分 . 的數(shù)學期望 E=1 0.4 1.5 0.4 2 0.2 =1.4(萬元)-12 分. 18.解：(1)證明： EC / PD , PD 平面 PDA , EC 二 平 面PDA .EC/ 平面 PDA , 同理可得 BC/平面 PDA- 2 / EC 平面 EBC,BC 平面 EBC 且 ECp|BC =C

20、.平面BEC /平面PDA- 3 又 BE 二 平面 EBC . BE/ 平面 PDA - 4 (2)證法 1 :連結 AC 與 BD 交于點 F,連結 NF, n 1 1.5 2 P 0.4 0.4 0.2 2 昇 2 : cos(4 ) = cos2(2 )=2cos (2 ) 1 = 2sin ( 2：) 111 分 . 的分布列為 分 F 為 BD 的中點， .NF / PD 且 NF 二丄 PD , - 6 分 27 分 13 分 10 分 設平面 PBE 與平面 ABCD 所成的二面角為二， 1 又 EC / PD 且 EC PD 2 NF / EC 且 NF =EC 四邊形 NF

21、CE 為平行四邊形 - NE / FC DB _ AC , PD _ 平面 ABCD , AC _ PD , AC 二面 ABCD 又 PD BD = D AC _ 面 PBD 證法 2:如圖以點 設該簡單組合體的底面邊長為 NE _ 面 PDB - D 為坐標原點，以 AD 所在的直線為 1, PD = a x 軸建立空間直角坐標系如圖示: 則 B(1,1,0),C(0,1,0), P(0,0, a), a 1 1 a E(0,1,-), N(-,-,-) 2 2 2 2 1 1 EN =( ,0) , PB=(1,1,a), DB =(11,0) 2 2 1 1 -EN PB 1 1 -

22、a 0=0, 2 2 1 1 EN DB 1 1 0 0 =0 2 2 EN _ PB,EN _ DB (3) / PB、DB 面 PDB，且 PBDB=B NE _ 面 PDB - 解法 1 ：連結 DN 由(2)知NE丄面PDB AD DN為平面 PBE 的法向量，設 / DP為平面 ABCD 的法向量, DB f ；2AD PD AD =1，則 N(1,-2) DN =(-, 2 2 2 2 2 )-11 DP =(0,0,、2), 12 7 分 13 分 10 分 貝y COS 二 |DN | |DP | 72 解法 2:延長 PE 與 DC 的延長線交于點 G,連結 GB 則 GB

23、為平面 PBE 與 ABCD 勺交線 - / PD =2EC CD 二CG =CB即平面 PBE 與平面 ABCD 所成的二面角為 45 14 9 分 11 分 D B、G 在以 C 為圓心、以 BC 為半徑的圓上， DB PD _ 平面 ABCD , BG 面 ABCD PD _ BG 且 PDDB =D BG _ 面 PDB / PB 二面 PDB BG _ PB . PBD為平面 PBE 與平面 ABCD 所 成的二面角的平面角 - 在 Rt . PDB 中 / PD =DB 乙PBD = 45即平面 PBE 與平面 ABCD 所成的二面角為 45 - 其它解法請參照給分 19.解：（1

24、）當點 P 不在 x軸上時，延長 FM 與 F2P 的延長線相交于點 11 分 13 14 N,連結 0M . NPM 二.MPF1, NMP 二.PMF1 PNM PF1M |PN|=|PF1| 1 OM 二一F2N 2 2 點 P在橢圓上 1 F2p +|PN )=；qF2P +|PFj PF2 + PR = 8 OM = 4, 當點 P 在 x軸上時，M 與 P 重合 2 2 2 M 點的軌跡 T 的方程為：x y =4 . NF1的中 M 是線段 分分 分 （2）連結 0E 易知軌跡 T 上有兩個點 A( -4,0) , B(4,0)滿足 S OEA 二 S OEB = 2 , 分別過

25、 A、B 作直線 0E 的兩條平行線l1、l2. 同底等高的兩個三角形的面積相等 符合條件的點均在直線 盼） 分 koE 設點Q(x, y) (x,y Z 分別解 y2 16 1 與 y =_ (x +4) 2 12的方程分別為：y=l（x，4）、丫 =丄&-4） 2 2 ) Q在軌跡 T 內， x2 y2 16 x2 x2 y2 16 y E(X-4) 2 2 得 一4 ： x 2 與 一2 x ： 4 5 5 分 即函數(shù)p(x)有零點時m0 14 分 2 Z x為偶數(shù)，在(4氣)上2,2對應的心23 2 在(-2 ,4)上 x = -2,0, 2，對應的 y = -3,-2, -1

26、 5 滿足條件的點 Q存在，共有 6 個，它們的坐標分別為: (-2,1),(0,2),(2,3), (-2,-3),(0, -2),(2, -1). 20.解:(1) 當 X 0,1時，f (x) =x(1_x) m = _X2 X m 二 _(x_)2 2 當 時，f(X)max 二 m 1 2 4 2 1 2 1 當 x (1,m時，f(x)=x(x_1) m = x-x m = (x ) m 2 4 由 m2 _ m 1 得 m2 - m -丄 _ 0 又 m 1 = 4 4 當 m1 時，f(XU 后，當 1” 寧時，f(X)max (2)函數(shù) p(x)有零點即方程 f (x) - g(x) = x | x-1| -1 nx，m = 0 有解 即 m =ln x-x|x1| 有解 - 7 分 令 h(x) = ln x -x | x -1| 當 x (0,1時 h(x) =x2 - x I nx h(x) =2x 1 -1 _2 .2 -1 0 - 9 分 x 函數(shù)h(x)在(0,1上是增函數(shù)， h(x)乞h(1) = 0