1-2第3課時等比數(shù)列的前n項和

1、第3課時等比數(shù)列的前n項和知能目標解讀1.掌握等比數(shù)列的前n項和公式的推導方法-錯位相減法，并能用其思想方法求某類特殊數(shù)列的前n項和.2.掌握等比數(shù)列前n項和公式以及性質(zhì)，并能應用公式解決有關(guān)等比數(shù)列前n項的問題.在應用時，特別要注意q=1和q1這兩種情況.3.能夠利用等比數(shù)列的前n項和公式解決有關(guān)的實際應用問題.重點難點點撥重點：掌握等比數(shù)列的求和公式，會用等比數(shù)列前n項和公式解決有關(guān)問題.難點：研究等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)特點，推導等比數(shù)列的前n項和的公式及公式的靈活運用.學習方法指導1.等比數(shù)列的前n項和公式（1）設等比數(shù)列an，其首項為a1，公比為q，則其前n項和公式為 na1(q=1)Sn=

2、.(q1)也就是說，公比為q的等比數(shù)列的前n項和公式是q的分段函數(shù)的一系列函數(shù)值，分段的界限是在q=1處.因此，使用等比數(shù)列的前n項和公式，必須要弄清公比q是可能等于1還是不等于1，如果q可能等于1，則需分q=1和q1進行討論.（2）等比數(shù)列an中，當已知a1,q(q1)，n時，用公式Sn=，當已知a1,q(q1)，an時，用公式Sn=.2.等比數(shù)列前n項和公式的推導除課本上用錯位相減法推導求和公式外，還可以用下面的方法推導.(1)合比定理法由等比數(shù)列的定義知：=q.當q1時，=q,即=q.故Sn=.當q=1時，Sn=na1.(2)拆項法Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1=a1+q(a

3、1+a1q+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)當q1時，Sn=.當q=1時，Sn=na1.(3)利用關(guān)系式Sn-Sn-1=an(n2)當n2時，Sn=a1+a2+a3+an=a1+q(a1+a2+an-1)=a1+qSn-1Sn=a1+q(Sn-an)即(1-q)Sn=a1(1-qn)當q1時，有Sn=,當q=1時，Sn=na1.注意：(1)錯位相減法，合比定理法，拆項法及an與Sn的關(guān)系的應用，在今后解題中要時常用到，要領會這些技巧.(2)錯位相減法適用于an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，求an·bn的前n項和.3.等比數(shù)列前n項和公式的應用（1）衡量等比數(shù)列的

4、量共有五個：a1,q,n,an,Sn.由方程組知識可知，解決等比數(shù)列問題時，這五個量中只要已知其中的任何三個，就可以求出其他兩個量.（2）公比q是否為1是考慮等比數(shù)列問題的重要因素，在求和時，注意分q=1和q1的討論.4.等比數(shù)列前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系(1)當公比q1時，令A=，則等比數(shù)列的前n項和公式可寫成Sn=-Aqn+A的形式.由此可見，非常數(shù)列的等比數(shù)列的前n項和Sn是由關(guān)于n的一個指數(shù)式與一個常數(shù)的和構(gòu)成的，而指數(shù)式的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù).當公比q=1時，因為a10，所以Sn=na1是n的正比例函數(shù)（常數(shù)項為0的一次函數(shù)）.(2)當q1時，數(shù)列S1,S2,S3,Sn,的圖像是函數(shù)

5、y=-Aqx+A圖像上的一群孤立的點.當q=1時，數(shù)列S1,S2,S3,Sn,的圖像是正比例函數(shù)y=a1x圖像上的一群孤立的點.知能自主梳理1.等比數(shù)列前n項和公式（1）等比數(shù)列an的前n項和為Sn,當公比q1時，Sn=;當q=1時，Sn=.(2)推導等比數(shù)列前n項和公式的方法是.2.公式特點（1）若數(shù)列an的前n項和Sn=p(1-qn)(p為常數(shù))，且q0,q1，則數(shù)列an為.（2）在等比數(shù)列的前n項和公式中共有a1,an,n,q,Sn五個量，在這五個量中知求.答案1.（1）na1(2)錯位相減法2.（1）等比數(shù)列（2）三二思路方法技巧命題方向等比數(shù)列前n項和公式的應用例1設數(shù)列an是等比數(shù)

6、列，其前n項和為Sn,且S3=3a3,求此數(shù)列的公比q.分析應用等比數(shù)列前n項和公式時，注意對公比q的討論.解析當q=1時，S3=3a1=3a3,符合題目條件；當q1時，=3a1q2,因為a10,所以1q3=3q2(1-q),2q3-3q2+1=0,(q-1) 2(2q+1)=0,解得q=-.綜上所述，公比q的值是1或.說明（1）在等比數(shù)列中，對于a1,an,q,n,Sn五個量，已知其中三個量，可以求得其余兩個量.（2）等比數(shù)列前n項和問題，必須注意q是否等于1，如果不確定，應分q=1或q1兩種情況討論.（3）等比數(shù)列前n項和公式中，當q1時，若已知a1,q,n利用Sn=來求；若已知a1,an

7、,q,利用Sn=來求.變式應用1在等比數(shù)列an中,已知S3=,S6=,求an.解析S6=,S3=,S62S3，q1. = ÷得1+q3=9,q=2.將q=2代入，得a1=,an=a1qn-1=2n-2.命題方向等比數(shù)列前n項的性質(zhì)例2在等比數(shù)列an中，已知Sn=48,S2n=60,求S3n.分析利用等比數(shù)列前n項的性質(zhì)求解.解析an為等比數(shù)列，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比數(shù)列，(S2n-Sn) 2=Sn(S3n-S2n)S3n=+S2n=+60=63.說明等比數(shù)列連續(xù)等段的和若不為零時，則連續(xù)等段的和仍成等比數(shù)列.變式應用2等比數(shù)列an中，S2=7，S6=91,求S4.

8、解析解法一：an為等比數(shù)列，S2，S4-S2，S6-S4也為等比數(shù)列，（S4-7）2=7×（91-S4），解得S4=28或-21.S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2(1+q2)>0,S4=28.解法二：S2=7,S6=91,q1.=7 =91 得q4+q2-12=0,q2=3,q=±.當q=時，a1=,S4=28.當q=-時，a1=-,S4=28.探索延拓創(chuàng)新命題方向等比數(shù)列前n項和在實際問題中的應用例3某公司實行股份制，一投資人年初入股a萬元，年利率為25%，由于某種需要，從第二年起此投資人每年年初要從公司取出x萬元.

9、（1）分別寫出第一年年底，第二年年底，第三年年底此投資人在該公司中的資產(chǎn)本利和；（2）寫出第n年年底，此投資人的本利之和bn與n的關(guān)系式（不必證明）；（3）為實現(xiàn)第20年年底此投資人的本利和對于原始投資a萬元恰好翻兩番的目標，若a=395,則x的值應為多少?(在計算中可使用lg20.3)解析(1)第一年年底本利和為a+a·25%=1.25a,第二年年底本利和為（1.25a-x）+(1.25a-x)×25%=1.252a-1.25x,第三年年底本利和為（1.252a-1.25x-x）+(1.252a-1.25x-x)25%=1.253a-(1.252+1.25)x.(2)第n

10、年年底本利和為bn=1.25na-(1.25n-1+1.25n-2+1.25)x.(3)依題意，有395×1.2520-(1.2519+1.2518+1.25)x=4×395,x=.設1.2520=t,lgt=20lg（）=20(1-3lg2)=2.t=100,代入解得x=96.變式應用3某大學張教授年初向銀行貸款2萬元用于購房，銀行貨款的年利息為10，按復利計算（即本年的利息計入次年的本金生息）.若這筆款要分10年等額還清，每年年初還一次，并且以貸款后次年年初開始歸還，問每年應還多少元？解析第1次還款x元之后到第2次還款之日欠銀行20000（110）x=20000

11、5;1.1x,第2次還款x元后到第3次還款之日欠銀行20000(1+10%)-x(1+10%)-x=20000×1.12-1.1x-x,第10次還款x元后，還欠銀行20000×1.1101.19x-1.18x-x,依題意得，第10次還款后，欠款全部還清，故可得20000×1.110（1.191.181）x=0,解得x=3255(元).名師辨誤做答例4求數(shù)列1，a+a2,a3+a4+a5,a6+a7+a8+a9,的前n項和.誤解所求數(shù)列的前n項和Sn=1+a+a2+a3+a=.辨析所給數(shù)列除首項外，每一項都與a有關(guān)，而條件中沒有a的范圍，故應對a進行討論.正解由于所

12、給數(shù)列是在數(shù)列1,a,a2,a3,中依次取出1項，2項，3項，4項，的和所組成的數(shù)列.因而所求數(shù)列的前n項和中共含有原數(shù)列的前（1+2+n）項.所以Sn=1+a+a2+a.當a=0時，Sn=1.當a=1時，Sn=.當a0且a1時，Sn=.課堂鞏固訓練一、選擇題1.等比數(shù)列an的公比q=2，前n項和為Sn，則=（）A.2 B.4C. D. 答案C解析由題意得=.故選C.2.等比數(shù)列an的前3項和等于首項的3倍，則該等比數(shù)列的公比為（）A.-2B.1C.-2或1D.2或-1答案C解析由題意可得，a1+a1q+a1q2=3a1,q2+q-2=0,q=1或q=-2.3.等比數(shù)列2n的前n項和Sn=（）

13、A.2n-1B.2n-2C.2n+1-1D.2n+1-2答案D解析等比數(shù)列2n的首項為2，公比為2.Sn=2n+1-2,故選D.二、填空題4.若數(shù)列an滿足：a1=1,an+1=2an（nN+），則a5=;前8項的和S8=.（用數(shù)字作答）答案16255解析考查等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式.q=2,a5=a1·q4=16,S8=28-1=255.5.在等比數(shù)列an中，Sn表示前n項和，若a3=2S2+1,a4=2S3+1,則公比q=.答案3解析a3=2S2+1,a4=2S3+1,兩式相減，得a3-a4=-2a3,a4=3a3,q=3.三、解答題6.在等比數(shù)列an中，已知a6-a4=

14、24，a3·a5=64，求數(shù)列an的前8項和.解析解法一：設數(shù)列an的公比為q，根據(jù)通項公式an=a1qn-1，由已知條件得a6-a4=a1q3(q2-1)=24,a3·a5=(a1q3) 2=64,a1q3=±8.將a1q3=-8代入式，得q2=-2,沒有實數(shù)q滿足此式，故舍去.將a1q3=8代入式，得q2=4,q=±2.當q=2時，得a1=1,所以S8=255;當q=-2時，得a1=-1，所以S8=85.解法二：因為an是等比數(shù)列，所以依題意得a24=a3·a5=64,a4=±8,a6=24+a4=24±8.因為an是實

15、數(shù)列，所以0,故舍去a4=-8,而a4=8，a6=32，從而a5=±=±16.公比q的值為q=±2,當q=2時，a1=1,a9=a6q3=256,S8=255;當q=-2時，a1=-1，a9=a6q3=-256,S8=85.課后強化作業(yè)一、選擇題1.等比數(shù)列an中，a2=9,a5=243,則an的前4項和為（）A.81B.120C.168D.192答案B解析公式q3=27,q=3,a1=3,S4=120.2.已知等比數(shù)列的前n項和Sn=4n+a，則a=（）A.-4B.-1C.0D.1答案B解析設等比數(shù)列為an，由已知得a1=S1=4+a,a2=S2-S1=12,a

16、3=S3-S2=48,a22=a1·a3,即144=(4+a)×48，a=-1.3.已知等比數(shù)列的公比為2，且前5項和為1，那么前10項和等于（）A.31B.33C.35D.37答案B解析解法一：S5=1a1=S10=33,故選B.解法二：a1+a2+a3+a4+a5=1a6+a7+a8+a9+a10=(a1+a2+a3+a4+a5)·q5=1×2532S10a1+a2+a9+a10=1+32=33.4.已知等比數(shù)列an中，公比q是整數(shù)，a1+a4=18,a2+a3=12,則此數(shù)列的前8項和為（）A.514B.513C.512D.510答案D a1+a1

17、q3=18解析由已知得 ，a1q+a1q2=12解得q=2或.q為整數(shù)，q=2.a1=2.S8=29-2=510.5.設an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項和，已知a2a4=1,S3=7，則S5=（）A. B. C. D. 答案B解析設公比為q,則q>0,且a23=1,即a3=1.S3=7,a1+a2+a3=+1=7,即6q2-q-1=0,q=或q=- (舍去)，a1=4.S5=8（1-）=.6.在等比數(shù)列an（nN+）中，若a1=1,a4=,則該數(shù)列的前10項和為（）A.2 B.2 C.2D.2答案B解析a1=1,a4=,q3=,q=.S10=21-（）10=2-,故選B.7.已

18、知等比數(shù)列an的前n項和為Sn,S3=3,S6=27,則此等比數(shù)列的公比q等于（）A.2B.-2C. D.- 答案A S3=3,解析S6=27,得=9,解得q3=8.q=2,故選A.8.正項等比數(shù)列an滿足a2a4=1,S3=13,bn=log3an,則數(shù)列bn的前10項和是（）A.65B.-65C.25D.-25答案D解析an為正項等比數(shù)列，a2a4=1,a3=1,又S3=13,公比q1.又S3=13,a3=a1q2,解得q=.an=a3qn-3=()n-3=33-n,bn=log3an=3-n.b1=2,b10=-7.S10=25.二、填空題9.等比數(shù)列，-1，3，的前10項和為.答案-解

19、析S10=-.10.（2011·北京文，12）在等比數(shù)列an中，若a1=,a4=4,則公比q=;a1+a2+an=.答案2,2n-1-解析本題主要考查等比數(shù)列的基本知識，利用等比數(shù)列的前n項和公式可解得.=q3=8，所以q=2，所以 a1+a2+an=2n-1-. 2n-1(n為正奇數(shù))11.已知數(shù)列an中，an= ，則a9=.2n-1（n為正偶數(shù)）設數(shù)列an的前n項和為Sn，則S9=.答案256377解析a9=28=256，S9=20+22+24+26+28+3+7+11+15=377.12.在等比數(shù)列an中，已知對于任意nN+,有a1+a2+an=2n-1,則a21+a22+a2

20、n=.答案×4n-解析a1+a2+an=2n-1,a1+a2+an-1=2n-1-1(n2),兩式相減，得an=2n-1-2n-1+1=2n-2n-1=2n-1,a2n=(2n-1) 2=22n-2=4n-1,a21+a22+a2n=×4n-.三、解答題13.在等比數(shù)列an中，已知a3=1，S3=4，求a1與q. S3=4解析（1）若q1,則 ，a3=a1q2=1 從而解得q=1或q=-. q=-q1, .a1=6 S3=3a1=4 q=1（2）若q=1,則 ， .a3=a1=1 a1=1 q=- q=1綜上所述得 ，或 .a1=6 a1=114.(2011·大綱

21、文科，17)設等比數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.分析設出公比根據(jù)條件列出關(guān)于a1與q的方程.求得a1與q可求得數(shù)列的通項公式和前n項和公式.解析設an的公比為q，由已知有：a1q=6 a1=3 a1=2 .解得 或6a1+a1q2=30 q=2 q=3(1)當a1=3,q=2時，an=a1·qn-1=3×2n-1Sn=3×(2n-1)(2)當a1=2,q=3時，an=a1·qn-1=2×3n-1Sn=3n-1.綜上，an=3×2n-1,Sn=3×(2n-1)或an=2×3n-1,Sn=3n-1.15.已知實數(shù)列an是等比數(shù)列，其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an