差分方程模型習(xí)題+答案

1、1. 一老人60歲時將養(yǎng)老金10萬元存入基金會，月利率 0.4%,他每月取1000元作為生活 費，建立差分方程計算他每歲末尚有多少錢？多少歲時將基金用完？如果想用到80歲，問60歲時應(yīng)存入多少錢？r，根據(jù)題意，可每月取款,分析：假設(shè)k個月后尚有 A元，每月取款b元，月利率為根據(jù)題意，建立如下的差分方程:Ak 1 = aAk - b，其中 a = 1 + r每歲末尚有多少錢，即用差分方程給出 Ak的值。(2)多少歲時將基金用完，何時Ak = 0由(1)可得:若仆0, b孕a - 1 若想用到 80 歲，即 n= (80-60)*12=240 時， A240 二 °，利用MATLAB 編

2、程序分析計算該差分方程模型，源程序如下:clear all close allclc x0=100000 ;n=150;b=1000;r=0.004; k=(0: n)：y1=dai(x0 ,n, r,b);rou nd(k,y1') function x=dai(x0 ,n ,r,b) a=1+r;x=x0;for k=1: nx(k+1)=a*x(k)-b;end用MATLAB計算：A0=250000*(1.004A240-1)/1.004A240思考與深入：(2) 結(jié)論： 128 個月即 70 歲 8 個月時將基金用完(3) A0 = 1.5409e+005 結(jié)論：若想用到 80

3、歲， 60 歲時應(yīng)存入 15.409萬元。2. 某人從銀行貸款購房，若他今年初貸款 10 萬元，月利率 0.5% ，他每月還 1000 元。建立 差分方程計算他每年末欠銀行多少錢，多少時間才能還清？如果要 10 年還清，每月需還多 少？分析：記第k個月末他欠銀行的錢為x (k),月利率為r，且a=1+r, b為每月還的錢。則第k+1 個月末欠銀行的錢為x(k+1)=a*x(k)+b , a=1+r, b=-1000, k=0, 1, 2在 r=0.005 及 x0=100000 代入，用 MA TLAB 計算得結(jié)果。編寫 M 文件如下 :function x=exf11(x0,n,r,b)a=

4、1+r;x=x0;for k=1:nx(k+1)=a*x(k)+b;endMATLAB 計算并作圖 :k=(1:140)'y=exf11(100000,140,0.0005,-1000);所以如果每月還 1000元，則需要 11 年 7個月還清。 如果要 10年即 n=120 還清，則模型為：r*x0*(1+r)A n/1-(1+r)A n b=-r*x0*(1+r)A n/ 1-(1+r)A n用 MA TLAB 計算如下：>> x0=100000;>> r=0.005;>> n=120;>> b=-r*x0*(1+r)An/1-(1+

5、r)Anb= 1.1102e+003r1 ，貓頭鷹的存在引所以如果要 10年還清，則每年返還 1110.2元。a1 ；貓頭鷹的年平均減少率為3. 在某種環(huán)境下貓頭鷹的主要食物是田鼠，設(shè)田鼠的年平均增長率為 起的田鼠增長率的減少與貓頭鷹的數(shù)量成正比，比例系數(shù)為2 ；田鼠的存在引起的貓頭鷹減少率的增加與田鼠的數(shù)量成正比，比例系數(shù)為a2。建立差分方程模型描述田鼠和貓頭鷹共處時的數(shù)量變化規(guī)律，對以下情況作圖給出50年的變化過程。(1) 設(shè) “ =0.2,r2 二 0.3, a = 0.001, a = 0.002,開始時有 100 只田鼠和 50 只貓頭鷹。(2) 1,2,印42同上，開始時有100只

6、田鼠和200只貓頭鷹。(3) 適當(dāng)改變參數(shù) a1,a2 (初始值同上)(4) 求差分方程的平衡點，它們穩(wěn)定嗎？分析：記第k代田鼠數(shù)量為Xk，第k代貓頭鷹數(shù)量為yk，則可列出下列方程：= Xk + (1 一 ak)XkYk 1 二(-2a2Xk)yk運用matlab計算，程序如下：function z=disanti(x0,y0,a1,a2,r1,r2)x=x0;y=y0;for k=1:49x(k+1)=x(k)+(r1-y(k)*a1)*x(k); y(k+1)=y(k)+(-r2+x(k)*a2)*y(k);endz=x',y'(1)z=disa nti(100,50,0.

7、001,0.002,0.2,0.3)plot(1:50,z(:,1);hold on;plot(1:50,z(:,2),'r')z=disa nti(100,200,0.001,0.002,0.2,0.3)plot(1:50,z(:,1);hold on;plot(1:50,z(:,2),'r')當(dāng)a1,a2分別取0.002,0.002時，得到如下圖像:450 .,B,P400 -f 1/1350 -300 l/ |r250 -/- I II200 -150 -100I 八50 -0 EI:05101520253035404550可見，當(dāng)a1,a2參數(shù)在一定范圍

8、內(nèi)改變時，貓頭鷹與田鼠數(shù)量在一定范圍內(nèi)震蕩，且不滅絕。令 x< = Xk x ； yk 二 yk 1 = y解方程得到如下結(jié)果：x=150y=200經(jīng)matlab驗證如下：z=disa nti(150,200,0.001,0.002,0.2,0.3)plot(1:50,z(:,1);hold on;plot(1:50,z(:,2),'r')由此可知：平衡點為：x=150 y=2004. 研究將鹿群放入草場后草和鹿兩種群的相互作用。草的生長遵從Logistic規(guī)律，年固有增長率0.8,最大密度為3000 (密度單位)，在草最茂盛時每只鹿每年可吃掉1.6 (密度單位)的草。若

9、沒有草，鹿群的年死亡率高達(dá)0.9，而草的存在可使鹿的死亡得以補償，在草最茂盛時補償率為1.5。作一些簡化假設(shè)，用差分方程模型描述草和鹿兩種群數(shù)量的變化過程， 就以下情況進(jìn)行討論：(1) 比較將100只鹿放入密度為1000和密度為3000的草場兩種情況。(2) 適當(dāng)改變參數(shù)，觀察變化趨勢。模型假設(shè)：1草獨立生存，獨立生存規(guī)律遵從Logistic 規(guī)律；2 草場上除了鹿以外，沒有其他以草為食的生物；3. 鹿無法獨立生存。沒有草的情況下，鹿的年死亡率一定；4. 假定草對鹿的補償率是草場密度的線性函數(shù)；5每只鹿每年的食草能力是草場密度的線性函數(shù)。記草的固有增長率為r，草的最大密度為 N,鹿獨立生存時的

10、年死亡率為d,草最茂盛時鹿的食草能力為a,草對鹿的年補償作用為 b;第k + 1年草的密度為 Xk * ,鹿的數(shù)量為yk i , 第k年草的密度為xk，鹿的數(shù)量為 yk。草獨立生存時，按照 Logistic 規(guī)律增長，則此時草的增長差分模型為k、兀1 一 xk = r(1)xk，但是由于鹿對草的捕食作用，草的數(shù)量會減少，則滿足如下Nxk方程：Xk 1 - Xk = r(V)Xk - K1NNaxk yk(k = 0,1,2, lii)(1)鹿離開草無法獨立生存，因此鹿獨立生存時的模型為yk1 - yk = _dyk，但是草的存在會使得鹿的死亡率得到補償，則滿足如下差分方程:yk 1 一 yk

11、二(dyk,(k71,2川)(2)另外，記初始狀態(tài)鹿的數(shù)量為y0，草場密度初值為X0，各個參數(shù)值為:一;、U.,丨; !, / 1:利用MATLAB編程序分析計算該差分方程模型，源程序如下：%定義函數(shù)diwuti，實現(xiàn)diwuti-Logistic綜合模型的計算，計算結(jié)果返回種群量function B =disiti(x0,y0,r,N,b,a,d,n) %描述 diwuti-Logistic綜合模型的函數(shù)x(1)=x0;%草場密度賦初值y(1)=y0;%鹿群數(shù)量賦初值for k =1 : n;x(k+1) = x(k) + r*(1-x(k)/N)*x(k) - a*x(k)*y(k)/N;

12、y(k+1) = y(k) + (-d + b*x(k)/N)*y(k);endB = x;y;% %clear allC1 =disiti (1000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50);C2 = disiti(3000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50);k = 0 : 50;plot(k,C1(1,:),'b',k,C1(2,:),'b',k,C2(1,:),'r',k,C2(2,:),'r')axis(O 50 0 3000);xlabel('時間 / 年')yl

13、abel('種群量/草場：單位密度，鹿：頭')title(' 圖1.草和鹿兩種群數(shù)量變化對比曲線')gtext('x0=1000')gtext('x0=3000')gtext('草場密度')gtext('鹿群數(shù)量')比較將100只鹿放入密度為1000和密度為3000的草場兩種情況(繪制曲如圖 1所示)由圖中可以看到，藍(lán)色曲線代表草場密度的初始值為1000時，兩種群變化情況；而紅色曲線則代表草場密度的初始值為3000時，兩種群的變化情況。觀察兩種情況下曲線的演變情況，可以發(fā)現(xiàn)大約 40-50年左右時間

14、后，兩種群的數(shù)量將達(dá)到穩(wěn)定。使用MatLab計算可以得到，當(dāng)Wk, yJk二二(1800,600)，即兩種群數(shù)量的平衡 點為(1800，600)。為進(jìn)一步驗證此結(jié)論， 下面通過改變相關(guān)參數(shù)，研究兩種群變化情況，找到影響平衡點的因素：(1)改變草場密度初始值;圖2種群數(shù)量變化曲錢政變草場密度初值） 3000喘 250020001500100060005101520263035404550時間庫0從圖2中可以看到，改變草場的初始密度不會對兩種群數(shù)量的平衡點造成影響。（2）改變鹿的數(shù)量初值圖3種群數(shù)量變化曲線政變鹿數(shù)量初值） 3000謂 2500200015001000500051015202630

15、35404550時間庫0由圖2可以看到，鹿初始的數(shù)量的改變在理論上也不會改變最終種群數(shù)量的平衡值。但是，我們可以看到，y0=2000的那條曲線（紫色曲線），在 5 15區(qū)間內(nèi)降低到了非 常小的值，這顯然是不符合鹿的現(xiàn)實繁殖規(guī)律的，因為鹿的種群可持續(xù)繁殖的最小數(shù)量是存在域值的。當(dāng)種群數(shù)量低于這個值時，在實際情況下，鹿的種群就要滅絕。同樣道理，草場的密度也存在一個最小量的域值，低于這個閾值，草也將滅絕。綜合上面分析，可以在此得出一個結(jié)論：最大密度一定的草場所能承載的鹿的數(shù)量存在上限。（3）改變草場的最大密度 N,畫圖比較結(jié)果;圖4種群數(shù)量變化曲銭咸變草場最大密度忖）時間庫如圖4所示，如果草場密度的

16、最大值 N發(fā)生變化，則最終兩種群數(shù)量的平衡點也會發(fā)生 相應(yīng)的變化。結(jié)論：N值越大，平衡點兩種群的數(shù)量就越大； N越小，平衡點兩種群的數(shù)量 就越小。（4）改變鹿群獨立生存時的死亡率圖丘種群數(shù)量變化曲銭政變死亡率3000V-I-2500fig2D0D磁1500ml10005001 1 1 1 1 1 1 1 'd=0.95草場密度-恤廉擊羊劉.申11IIIIIIII050100150200250300350400450500時間庫03000圖丘2種群數(shù)量變化曲銭政變死亡率050100150200250300時間庫3504004506D02500200015001000son0實驗中，改變了

17、鹿單獨生存的死亡率得到如圖5.1和5.2兩幅圖，可以得出結(jié)論：鹿單獨生存的死亡率越大，則兩種群數(shù)量達(dá)到平衡點的時間越短；相反，鹿單獨生存的死亡率越小， 則兩種群數(shù)量達(dá)到平衡點的時間越長（甚至有可能會出現(xiàn)分叉、混沌）。（5）草場密度對鹿數(shù)量的補償作用變化（ b變化）圖&神群數(shù)量變化曲銭政變補償率切從圖中可以看到，如果b增大，貝U達(dá)到穩(wěn)定點的時間會加長， 但如果b減小則會有一個域值, 當(dāng)b低于域值時，草-鹿種群數(shù)量的平衡時將不收斂于同一個平衡點，出現(xiàn)多值性。5. Leslie種群年齡結(jié)構(gòu)的差分方程模型已知一種昆蟲每兩周產(chǎn)卵一次，六周以后死亡(給出了變化過程的基本規(guī)律)。孵化后的幼蟲2周后成

18、熟，平均產(chǎn)卵100個，四周齡的成蟲平均產(chǎn)卵150個。假設(shè)每個卵發(fā)育成2周齡成蟲的概率為0.09,(稱為成活率)，2周齡成蟲發(fā)育成4周齡成蟲的概率為 0.2。假設(shè)開始時，02，24, 46周齡的昆蟲數(shù)目相同，計算 2周、4周、6周后各種周齡的昆蟲數(shù) 目；討論這種昆蟲各種周齡的昆蟲數(shù)目的演變趨勢：各周齡的昆蟲比例是否有一個穩(wěn)定值？昆蟲是無限地增長還是趨于滅亡？假設(shè)使用了除蟲劑，已知使用了除蟲劑后各周齡的成活率減半，問這種除蟲劑是否有效？分析：將兩周分成一個時段，設(shè)k時段2周后幼蟲數(shù)量為：Xi(k), 2到4周蟲的數(shù)量為：X2(K),4到6周蟲數(shù)量為：X3(K)。據(jù)題意可列出下列差分方程：.xi(k+1)=x 2(k)*100+x 3(k)*150I X2(k+1)=x i(k)*0.09X3(k+1)=X2(k)*0.2運用matlab編寫的程序如下：function z=diwu