分類討論謹防漏解

1、分類討論，防止漏解作者：朱 紹 平單位：永安中學二五年十一月分類討論，防止漏解分類討論求解是一種重要的數(shù)學思想方法，學生在解答有關題目時，常因思考不周，造成漏解、以偏概全的錯誤?，F(xiàn)舉出幾例進行剖析。一、按零點分類例1化簡x-1+x-3。錯解：原式x-1+x-3=2x-4 。剖析：解含多個絕對值符號的題最常用也是最一般的方法是用零點分段法進行分類討論，即令各絕對值代數(shù)式為零，得若干個絕對值為零的點，這些點把數(shù)軸分成幾個區(qū)間，再在各區(qū)間內(nèi)化簡即可。上面解法只是其中一種情況。正解：令x-1=0或x-30，得零點x1或x3共兩點，將數(shù)軸分成3個部分，即x1，1x3，x3，討論得4-2x，（x1）原式=

2、 2， （1x32x-4。（x3）二、按性質分類例2解方程（x+1）2（2x-1）2。錯解：兩邊開平方，得x+12x-1，解之得x2。剖析：由平方根的意義可知，兩個數(shù)的平方相等，這兩個數(shù)可能相等，也可能互為相反數(shù)，應分兩種情況討論，錯解只得到了這兩數(shù)相等，就漏掉了一種情況，于是漏掉了一個解。這里，一般的做法是通過先移項，再運用因式分解法求解，便無需討論就能得出答案x12，x20。切記在解方程時一般不要施行兩邊開平方運算。例3若5a+1和a-19是數(shù)m的平方根，求m的值。錯解：因5a+1和a-19都是m的平方根，則它們互為相反數(shù)，即5a+1+a-190，a=3，所以5a+116，a-19=-16

3、，因此m=（±16）2256。剖析：錯解只注意5a+1和a-19互為相反數(shù)，而忘記了它們還可能相等，因此本題需分兩種情況來討論。正解：當5a+1與a-19互為相反數(shù)時，解法同上，m256；當5a+1=a-19時，a=-5，則5a+1-24，故m（-24）2576。綜合可知，m256或576。三、按存在性分類例4若一個直角三角形的兩邊長分別是5cm和12cm，那么這個三角形的周長是多少？錯解：在ABC中，C90°，AC=12cm，BC5cm，則由勾股定理得AB，所以CABCAB+BC+AC13+5+1230（cm）。剖析：題中只交待了直角三角形的兩邊，并沒有說明是兩條直角邊，

4、它也可以是一條直角邊和一條斜邊，因此應分兩種情況分類求解：當5cm和12cm為兩直角邊時，解法同上；當12cm為斜邊時，另一直角邊為，此時CABC17+（cm）。因此ABC的周長為30cm或17+cm。例5在ABC中，AB5，BC13，AD是BC邊上的高，AD=4，求CD和sinC。錯解：CD=10，sinC=。剖析：題目中沒有畫圖，作題時應首先畫出符合條件的所有情況的圖形，然后據(jù)圖解題。本例符合條件的圖形存在兩種，一種是B為銳角，一種是B為鈍角，錯解中只作了B為銳角一種，遺漏了B為鈍角的情況。B為鈍角時，CD16，sinC。例6若一個三角形的三邊長均滿足方程x2-6x+80，則此三角形的周長

5、是多少？錯解：解方程x2-6x+80得x12，x24，所以三角形的周長為C1=4+4+2=10，C22+2+48。剖析：當求出方程的解x12，x24之后，再求三角形周長時，應該分四種情況進行討論。錯解沒有考慮長為2，2，4的三條線段不能構成三角形，幾何教學中，當我們作有關三角形的計算時，其實都暗含著一個潛在假設，就是三角形的存在性，即是說三角形存在條件是解決有關三角形計算問題的前提條件，錯解就忽視了這個條件，致使出現(xiàn)錯誤，同時錯解還遺漏了兩種等邊三角形的情況。正解：解方程x2-6x+80得x12，x24，分四種情況討論如下：當三邊長為4，4，2時，C4+4+210；當三邊長為2，2，4時，因為

6、2+24，所以不能構成三角形；當三邊長為2，2，2時，C2+2+26；當三邊長為4，4，4時，C4+4+4=12。綜上所述，滿足題目條件的三角形的周長為6或10或12。四、按條件分類例7如果3x-4y=0，則= 錯解：由3x-4y=0，得3x=4y，所以=。剖析：原題沒有給出y的取值范圍，而當y=0時，無意義，所以應分情況討論求解。正解：分兩種情況：當y0時，由3x-4y=0得3x=4y，所以=；當y=0時，無意義。例8已知，求k的值。錯解：由等比性質，得k=。剖析：初看這個題目，大部分學生馬上就想到了運用等比性質去解，于是得到k=2，以為大功告成，殊不知忽視了等比性質成立的條件，因此解題時應

7、分類討論。正解：分兩種情況：當a+b+c0時，由，得；當a+b+c=0時，由于a+b=-c，所以。綜合，所以k=2或-1。例9解關于x的不等式2(x-1)mx。錯解：移項，合并，得(2-m)x2。 系數(shù)化為1，得x>。剖析：因為x的系數(shù)2-m的符號不確定，需分類討論：當2-m=0時，有0>2，不等式無解；當2-m>0時，有x>；當2-m<0時，有x<。例10解方程(x-1)(x+2)=2(x+2)。錯解：兩邊同除以x+2，得x-1=2，所以x=3。剖析：錯解中兩邊同除以x+2，相當于附加了一個條件x+20，實際上當x+2=0時方程也是成立的，所以就漏掉了一個根，正確的解法應當分x+20和x+2=0兩種情況，得到原方程的解為x1=3，x2=-2。常規(guī)的解法是先移項，然后運用因式分解法求解，這樣就可以避開討論，從而很容易得出其正確解。切記在解方程時千萬不要隨便約去含有未知數(shù)的項?？偠灾?，學生在解題時