第122節(jié)可分離變量的微分方程PPT課件

1、第第12.212.2節(jié)節(jié) 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程 一、可分離變量的微分方程 二、典型例題 三、小結(jié)一、可分離變量的微分方程dxxfdyyg)()( 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程. .5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 解法解法設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(yg和和)(xf是是連連續(xù)續(xù)的的, dxxfdyyg)()(設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(yG和和)(xF是是依依次次為為)(yg和和)(xf的的原原函函數(shù)數(shù), CxFyG )()(為微分方程的解為微分方程的解.分離變量法分離變量法例例1 1 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分離變量分離變量,2x

2、dxydy 兩端積分兩端積分,2 xdxydy12|lnCxy .2為所求通解為所求通解xCey 二、典型例題例例 2 2 衰衰變變問問題題:衰衰變變速速度度與與未未衰衰變變原原子子含含量量M成成正正比比 ,已已知知00MMt ,求求衰衰變變過過程程中中鈾鈾含含量量)(tM隨隨時時間間t變變化化的的規(guī)規(guī)律律. 解解,dtdM衰變速度衰變速度由題設(shè)條件由題設(shè)條件)0(衰變系數(shù)衰變系數(shù) MdtdMdtMdM , dtMdM00MMt 代代入入,ln|ln1CtM ,tCeM 即即00CeM 得得,C teMM 0衰變規(guī)律衰變規(guī)律例例 3 有高為有高為1米的半球形容器米的半球形容器, 水從它的底部小

3、孔水從它的底部小孔流出流出, 小孔橫截面積為小孔橫截面積為1平方厘米平方厘米(如圖如圖). 開始時開始時容器內(nèi)盛滿了水容器內(nèi)盛滿了水, 求水從小孔流出過程中容器里求水從小孔流出過程中容器里水面的高度水面的高度h(水面與孔口中心間的距離水面與孔口中心間的距離)隨時間隨時間t的變化規(guī)律的變化規(guī)律.解解 由力學(xué)知識得由力學(xué)知識得,水從孔口流水從孔口流出的流量為出的流量為,262. 0ghSdtdVQ 流量系數(shù)流量系數(shù)孔口截面面積孔口截面面積重力加速度重力加速度cm100horhdhh )1(,262. 0dtghdV 設(shè)在微小的時間間隔設(shè)在微小的時間間隔,dttt 水面的高度由水面的高度由h降至降至

4、 ,dhh ,2dhrdV 則則,200)100(100222hhhr )2(,)200(2dhhhdV 比較比較(1)和和(2)得得:dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 21cms dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 即為未知函數(shù)的微分方程即為未知函數(shù)的微分方程.可分離變量可分離變量,)200(262. 03dhhhgdt ,)523400(262. 053Chhgt ,100|0 th,101514262. 05 gC).310107(265. 45335hhgt 所求規(guī)律為所求規(guī)律為分離變量法步驟分離變量法步驟: :1、分離變量、分離變量;2、兩端積分、兩端積分-隱式

5、通解隱式通解.三、小結(jié)三、小結(jié)思考題思考題求解微分方程求解微分方程.2cos2cosyxyxdxdy 思考題解答思考題解答, 02cos2cos yxyxdxdy, 02sin2sin2 yxdxdy,2sin2sin2 dxxydy2cot2csclnyy ,2cos2Cx 為所求解為所求解.一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、0tansectansec22 xdyyydxx； 2 2、0)()( dyeedxeeyyxxyx； 3 3、0)1(32 xdxdyy. .二、二、 求下列微分方程滿足所給初始條件的特解求下列微分方程滿足所給初始條件的特解: : 1 1

6、、xdxyydyxsincossincos , ,40 xy； 2 2、0sin)1(cos ydyeydxx, ,40 xy. .練練 習(xí)習(xí) 題題三、質(zhì)量三、質(zhì)量克克為為1的質(zhì)點受外力作用作直線運動的質(zhì)點受外力作用作直線運動, ,這外力這外力和時間成正比和時間成正比, ,和質(zhì)點運動的速度成反比和質(zhì)點運動的速度成反比. .在在10 t秒時秒時, ,速度等于速度等于秒秒厘米厘米/50, ,外力為外力為2/4秒秒厘厘米米克克 , ,問從運動開始經(jīng)過了一分鐘后的速度是多少問從運動開始經(jīng)過了一分鐘后的速度是多少? ?四、 小船從河邊四、 小船從河邊處處點點 0出發(fā)駛向?qū)Π冻霭l(fā)駛向?qū)Π? (兩岸為平行直線兩岸為平行直線).).設(shè)設(shè)a船速為船速為, ,船行方向始終與河岸垂直船行方向始終與河岸垂直, ,設(shè)河寬設(shè)河寬h為為, ,河中任意點處的水流速度與該點到兩岸距離河中任意點處的水流速度與該點到兩岸距離的乘積成正比的乘積成正比( (比例比例k系數(shù)為系數(shù)為).).求小船的航行路求小船的航行路線線 . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、Cyx tantan； 2 2、Ceeyx )1)(1(； 3 3、Cxy 433)1(4. .二、二、1 1、xycoscos2 ； 2 2、yexcos221 . .三、