動能習題匯總(重慶大學理論力學習題)

1、 坦克的履帶單位長度質(zhì)量為坦克的履帶單位長度質(zhì)量為r r ，輪的半徑為，輪的半徑為r，輪輪軸之間的距離為軸之間的距離為d，坦克，坦克前進的速度為前進的速度為v0 。求全部履帶的總動能。求全部履帶的總動能。v0例例2v0解：解：在在C1C2桿上建立動系桿上建立動系C1x y 。 牽連運動為水平平移，牽連速度為牽連運動為水平平移，牽連速度為ve =v0； 相對運動為繞在兩個作定軸轉(zhuǎn)動圓輪上履帶的相對運動為繞在兩個作定軸轉(zhuǎn)動圓輪上履帶的運動。圓輪的角速度為運動。圓輪的角速度為w w v0/r ,履帶上各點的履帶上各點的相對速度均為相對速度均為vr= v0 。v0應(yīng)用柯希尼定理，全部履帶的總動能為應(yīng)用

2、柯希尼定理，全部履帶的總動能為 圖示坦克的履帶質(zhì)量為m1，每個車輪質(zhì)量為m2，車輪可看成勻質(zhì)圓盤，半徑為R。設(shè)坦克前進的速度為v，試求整個系統(tǒng)的動能。m14m11ABm12m13RDCvm14m11ABm12m13RDCv將履帶分為四部分，如圖示將履帶分為四部分，如圖示11121314111121314mmmmmmmmm2222121314131411102222vTmvmmvmmRR履帶221213141314120.5()0.5()vmmmmmmv222222211 13222 22vTm vm Rm vR輪2121232TTTmmv履帶輪vhwBhACIV已知：勻質(zhì)桿AB，L，m，v，h

3、求:桿AB的動能？解:I為勻質(zhì)桿AB的速度瞬心222111223ILJmLmmL2222211 1122 36IvvTJmLmLhhw 1416 如圖所示，均質(zhì)圓盤半徑為r，質(zhì)量為m1，可繞固定水平軸O轉(zhuǎn)動。重物A的質(zhì)量為m2，BC為彈簧，且位置水平，剛度系數(shù)為k，OC=e ，當OC鉛直時系統(tǒng)平衡。求A物受到微小干擾而作上下微小振動時，系統(tǒng)的周期。21222mmrTek。習題14-16圖習題14-16圖QVBQVBQVB1416 ，均質(zhì)圓盤半徑為r，質(zhì)量為m1，重物A的質(zhì)量為m2，剛度系數(shù)為k，OC=e ，系統(tǒng)平衡時OC鉛直,求A物作上下微小振動時，系統(tǒng)的周期。212222mmrTekw。22

4、212(2)kemm rw 習題141424 24 放置于放置于水平面水平面 的圖示行星齒輪機構(gòu)。已知行的圖示行星齒輪機構(gòu)。已知行星齒輪節(jié)圓半徑為星齒輪節(jié)圓半徑為r，質(zhì)量為，質(zhì)量為m1，可視為均質(zhì)圓盤。均質(zhì)曲，可視為均質(zhì)圓盤。均質(zhì)曲柄柄OO1受不變力矩受不變力矩M的作用而繞固定軸的作用而繞固定軸O轉(zhuǎn)動，并帶動行星轉(zhuǎn)動，并帶動行星齒輪齒輪O1在固定水平齒輪在固定水平齒輪O上滾動。上滾動。曲柄曲柄OO1質(zhì)量為質(zhì)量為m2，固定齒輪節(jié)圓半徑為固定齒輪節(jié)圓半徑為R。設(shè)曲柄由靜止開始運動，設(shè)曲柄由靜止開始運動，試求曲柄轉(zhuǎn)動試求曲柄轉(zhuǎn)動f角時的角時的角速度和角加速度。角速度和角加速度。習題14142424解

5、解 開始時，整個系統(tǒng)處于靜止，所以開始時，整個系統(tǒng)處于靜止，所以T1=0。 當當曲柄轉(zhuǎn)過角曲柄轉(zhuǎn)過角f時，設(shè)曲柄的角速度為時，設(shè)曲柄的角速度為w1 1，動齒輪中心，動齒輪中心的速度為的速度為v v1 1 ，動齒輪的角速度為，動齒輪的角速度為w2 2，則系統(tǒng)在位置時的動，則系統(tǒng)在位置時的動能為能為22221111111222OOTJm vJww因為因為 v v1=(R+r)w， w1= = v v1 / /r =(R+r)w/ /r ，22221111111222OOTJm vJww222111()312OOJm RrJm r因為因為 v v1=(R+r)w， w1= = v v1 / /r =

6、(R+r)w/ /r ，所以可將動能所以可將動能T2 2表示為表示為w的函數(shù)。的函數(shù)。又因為又因為習題1424解解求角速度和角加速度。求角速度和角加速度。習題1424解解將上式兩邊對時間求導(dǎo)數(shù)，將上式兩邊對時間求導(dǎo)數(shù)，并注意到并注意到得曲柄的角加速度為得曲柄的角加速度為求角速度和角加速度。求角速度和角加速度。dddtdtww，習題1424解解解：設(shè)曲柄的角速度為解：設(shè)曲柄的角速度為 ， P點為點為AB桿速度瞬心，故桿速度瞬心，故DvlwyOBAxD 習題習題14.26 橢圓規(guī)尺在橢圓規(guī)尺在水平面內(nèi)水平面內(nèi)由曲柄帶動，設(shè)曲柄和橢由曲柄帶動，設(shè)曲柄和橢圓規(guī)尺都是勻質(zhì)細桿，其質(zhì)量分別為圓規(guī)尺都是勻質(zhì)

7、細桿，其質(zhì)量分別為m和和2m，且，且OD=AD=BD=l，如圖所示。滑塊，如圖所示?；瑝KA與與B的質(zhì)量相等，均為的質(zhì)量相等，均為m1，如作用在曲柄上一力矩如作用在曲柄上一力矩M。不計摩擦，求曲柄角加速度。不計摩擦，求曲柄角加速度。 ABwwB2 cosvl wA2 sinvl wBvAvDvC/2vlw因為橢圓規(guī)尺在因為橢圓規(guī)尺在水平面內(nèi)水平面內(nèi)運動，運動，重力不做功，所以重力不做功，所以1,2WM解：設(shè)曲柄的角速度為解：設(shè)曲柄的角速度為 ，P點為點為AB桿速度瞬心，故桿速度瞬心，故DvlwyOBAxD 習題習題14.26 曲柄質(zhì)量曲柄質(zhì)量m和橢圓規(guī)尺質(zhì)量為和橢圓規(guī)尺質(zhì)量為2m，滑塊滑塊A與與

8、B的質(zhì)量均為的質(zhì)量均為m1， OD=AD=BD=l，力矩，力矩M。求曲柄角加速度。求曲柄角加速度。 系統(tǒng)的動能22OD1 1()2 3TmlwABwwB2 cosvl wA2 sinvl wBvAvDvC/2vlw1,2WM222ABD22221112(2 ) 22 12214(1)33Tmlmvmlmlwww22A11(2 sin)2Tmlw22B11(2 cos)2TmlwyOBAxD 習題習題14.26 曲柄質(zhì)量曲柄質(zhì)量m和橢圓規(guī)尺質(zhì)量為和橢圓規(guī)尺質(zhì)量為2m，滑塊滑塊A與與B的質(zhì)量均為的質(zhì)量均為m1， OD=AD=BD=l，力矩，力矩M。求曲柄角加速度。求曲柄角加速度。 系統(tǒng)的動能221

9、6ODTmlwBvAvDv1,2WMODABAB222222221142(sincos)63TTTTTmlmlmlwww22222211332(2)22mlmlmm lwww22AB43Tmlw22A11(2 sin)2Tmlw22B11(2 cos)2Tmlw由動能定理，有2213(2)02mm lMwyOBAxD 習題習題14.26 曲柄質(zhì)量曲柄質(zhì)量m和橢圓規(guī)尺質(zhì)量為和橢圓規(guī)尺質(zhì)量為2m，滑塊滑塊A與與B的質(zhì)量均為的質(zhì)量均為m1， OD=AD=BD=l，力矩，力矩M。求曲柄角加速度。求曲柄角加速度。 系統(tǒng)的動能BvAvDv1,2WMODABABTTTTT2213(2)2mm lw由動能定理

10、，有2213(2)02mm lMw等式兩邊求導(dǎo)，得213(2)22mm lMww21(34)Mmm l14.27 質(zhì)量為m 的桿置于兩個半徑為r ，質(zhì)量為的實心圓柱上，圓柱放在水平面上，求當桿上加水平力時，桿的加速度。設(shè)接觸處都有摩擦，而無相對滑動。2mP解：用動能定理求解。解：用動能定理求解。取系統(tǒng)為研究對象，桿作平動，圓柱體作平面運動。設(shè)任一瞬時，桿的速度為v，則圓柱體質(zhì)心速度為 v/2，角速度rv2w系統(tǒng)的動能222221611)2)(221(21)2(221221mvrvrmvmmvT主動力的元功之和：SPWFd)(由動能定理的微分形式：)(dFWTSPmvd)1611(d2兩邊除以，

11、并求導(dǎo)數(shù)，得t dvPavm21611mPa118 AR45B 均質(zhì)細桿長為l，重Q，上端B靠在光滑的墻上，下端A以鉸鏈與圓柱的中心相連。圓柱重P，半徑為R，放在粗糙的地面上，自圖示位置由靜止開始滾動而不滑動，桿與水平線的交角=450。求點A在初瞬時的加速度。DCARIB2VB1VANBQPNCFC解：取桿AB與圓柱A為質(zhì)點系受力分析：運動分析：圓柱A作平面運動，C點為速度瞬心1AvRw桿AB作平面運動，I點為速度瞬心2sinAvdddtdtlw 從 位置時，力的功為045012sin45sin2lWQ221212110,22CITTJJww從 位置時，力的功為1AvRw2sinAvdddtd

12、tlw 045012sin45sin2lWQ質(zhì)點系的動能其中223123CIPQJRJlggDCARIB2VB1VANBQPNCFC根據(jù)質(zhì)點系的動能定理 ，得2222912sinAvQTPg202290sin45sin12sin2AvQlPQg223123CIPQJRJlgg221212110,22CITTJJww2112TTW1AvRw2sinAvlwDCARIB2VB1VANBQPNCFCDCARIB2VB1VANBQPNCFC2112TTW由得兩邊同時對時間t求導(dǎo)，整理得223cos1229cos12sin3 sinsin2sinAAAAAdvQvvvQlvPQdtggll22312co

13、s29cos12sin3sin2AAAdvQvQdldvPQdtggdtdt2sinAvddtlw 202290sin45sin12sin2AvQlPQgDCARIB2VB1VANBQPNCFC得0450Av令有23232sincossin92sinAAAgvldvQadtPQ394AQgaPQ223cos12cos196sin3 sin2sinAAdvQvQlPQdtggl 2232cos2193cossinsinsinAAdvQvQPQgldtl223cos1229cos12sin3 sinsin2sinAAAAAdvQvvvQlvPQdtggllBCorRAD 14-29: 重物A質(zhì)量m

14、1，系在繩子上，繩子跨過固定滑輪D，并繞在鼓輪B上，如圖所示。由于重物下降，帶動了輪C，使它沿水平軌道滾動而不滑動。設(shè)鼓輪B半徑為r，輪C的半徑為R，兩者固連在一起，總質(zhì)量為m2，對于其水平軸O的回轉(zhuǎn)半徑為。求重物A的加速度a。輪D質(zhì)量不計。ABOBABtvvRrvRdvdaaRrdtdtwww 23oaRraRI為速度瞬心BCorRADBOm g1I202Jmr121Wm gs2221202 01 A1110,222TTJm vmvw求重物A的加速度a。輪D質(zhì)量不計。根據(jù)質(zhì)點系的動能定理 ，得2112TTW2222AA221 A11110222vRvmmmvm gsRrRrr 23oaRra

15、RBCorRADBOm g1I求重物A的加速度a。輪D質(zhì)量不計。根據(jù)質(zhì)點系的動能定理 ，得2112TTW2222AA221 A11110222vRvmmmvm gsRrRrr222A2211222vmm Rmm gsRrRrr22221AA1A2()mRmRra vm gvRrr21A22221()m g RramRmRrrEEEtvvRrdvdaaRrdtdtww 23oaRraRI為速度瞬心CorRADBBOm g12QPPQPRrrPRrRRggggr 1PaPTg建立坐標系Ixy, xy 4OQaTFg列平面運動微分方程EEEtvvRrdvdaaRrdtdtww 23oaRraR 25

16、QTrFRgr ATPICBRorEFNQTPTPag由式（4）、（6）、（3），得：OQFTag將式（6）、（7）代入式（5），得：2QPPQPRrrPRrRRggggr 1PaPTg 4OQaTFg 23oaRraR 25QTrFRgr 6PPRrg 7PQPRrRgg222Pg RrP RrQRr解得：2QPPQPRrrPRrRRggggr 2222Pg RraRrP RrQRrBCorRADATPOXoBC BTCCmgBCnCnvBYoTBwAmgrAw22B22O2222OO2121212121212121BBBBmvmrmrmvJJTwwwwBOBwwrrv系統(tǒng)動能系統(tǒng)動能mgh

17、1,2WOXoBC TCCmgBCnCnBYoTBAmgrABvww22B22O2222OO2121212121212121BBBBmvmrmrmvJJTwwwwBOBwwrrv系統(tǒng)動能系統(tǒng)動能mgh1,2W習題習題14.32 長為l ， 質(zhì)量為m 的均質(zhì)直桿，初瞬時直立于光滑的桌面上。當桿無初速度地傾倒后，求質(zhì)心的速度（用桿的傾角 和質(zhì)心的位置表達）。 解解：由于水平方向不受外力，且初始靜止，故質(zhì)心C鉛垂下降。由于約束反力不作功, 主動力為有勢力，因此可用機械能守恒定律求解。sin2 , sin2 cos12 lylyly即又由機械能守恒定律：)2(2124120222ylmgymmlmgl

18、將代入上式，化簡后得sin2ly ygy22sin31sin6mglVT2 , 011初瞬時：222222212412121ymmlymJTC)2(2ylmgV任一瞬時： 系統(tǒng)在鉛直平面內(nèi)由兩根相同的勻質(zhì)細直桿構(gòu)系統(tǒng)在鉛直平面內(nèi)由兩根相同的勻質(zhì)細直桿構(gòu)成，成， A，B為鉸鏈，為鉸鏈，D為小滾輪，且為小滾輪，且AD水平。每根水平。每根桿的質(zhì)量桿的質(zhì)量m=6 kg，長度，長度l=0.75 m。當仰角。當仰角 1=60時，時，系統(tǒng)由靜止釋放。求當仰角減到系統(tǒng)由靜止釋放。求當仰角減到 2=20時桿時桿AB的角的角速度。摩擦和小滾輪的質(zhì)量都不計。速度。摩擦和小滾輪的質(zhì)量都不計。習題習題14.33 (a)

19、(b)解解: 取整個系統(tǒng)為研究對象，其中桿AB定軸轉(zhuǎn)動，而桿BD平面運動。由圖b知，桿BD的速度瞬心是Cv。分析點B的速度有 由于BCv = BD = AB，代入上式，求得wAB = wBDAB wAB = BCv wBDBmgmg(a)(b)1習題習題14.33AB = BD但兩者的轉(zhuǎn)向相反。另外，當2=20 時，有DCv = 2l sin 20 由余弦定理可求得Cv E ，從而得桿BD質(zhì)心C的速度vE = Cv E BD(a)(b)習題習題14.33 在運動過程中，只有桿的重力做功。所以作用在系統(tǒng)中的力在運動過程中的總功為 T1=0(a)(b)習題習題14.33從而得桿AB的角速度大小AB

20、 = 3.9 rads1 (順鐘向)代入動能定理積分形式的方程 T2 T1=W 習題習題14.33習題習題14.34l圓管的質(zhì)量為圓管的質(zhì)量為m1，半徑為，半徑為R，以初角速度，以初角速度w0繞鉛直軸轉(zhuǎn)繞鉛直軸轉(zhuǎn)動。管內(nèi)有質(zhì)量為動。管內(nèi)有質(zhì)量為m 2 的小球，由靜止開始自的小球，由靜止開始自A處下落，處下落，l試求小球到達試求小球到達B處和處和C處時圓處時圓管的角速度和小球相對于管管的角速度和小球相對于管的速度。已知圓管對軸的轉(zhuǎn)的速度。已知圓管對軸的轉(zhuǎn)動慣量為動慣量為J，摩擦不計。，摩擦不計。習題習題1434管質(zhì)量管質(zhì)量m1，轉(zhuǎn)動慣量，轉(zhuǎn)動慣量J，半徑，半徑R，w0 ；小球質(zhì)量；小球質(zhì)量m 2

21、 ，解：解：1、取圓環(huán)（包括轉(zhuǎn)軸）和小球、取圓環(huán)（包括轉(zhuǎn)軸）和小球 組成組成的系統(tǒng)為對象：的系統(tǒng)為對象： 2、受力分析：、受力分析：因為所有的力都與轉(zhuǎn)軸平行或相交，因為所有的力都與轉(zhuǎn)軸平行或相交， ( )0zMF zLct3、設(shè)小球到達、設(shè)小球到達B處時圓管的角速度處時圓管的角速度w12011JJmRwww012JJmRww解得解得小球到達小球到達C處時圓管的角速度處時圓管的角速度w2 Jw0=Jw2 得得 w2 w0由系統(tǒng)的動量矩守恒由系統(tǒng)的動量矩守恒 習題習題14.344、小球?qū)艿乃俣龋ㄓ蓜幽芏ɡ恚?、小球?qū)艿乃俣龋ㄓ蓜幽芏ɡ恚?在在B處處 2222110111()222BrJmRvJm

22、gRwww22022BrJRvgRJmRw2222Cr0111()2222JmvJmgRww2rvgR解得解得解得解得在在C處處012JJmRww習題習題14.341439 重150N的均質(zhì)圓盤與重60N、長24cm的均質(zhì)桿AB在B處用鉸鏈連接。 系統(tǒng)由圖示位置無初速地釋放。求求系統(tǒng)經(jīng)過最低位置B點時的速度及支座A的約束反力。解解：（1）取圓盤為研究對象）取圓盤為研究對象; 0)(FBM0 0BBBJ00wwB，圓盤平動。（2）用動能定理求速度）用動能定理求速度。 取系統(tǒng)研究。初始時T1=0 ，（2）用動能定理求速度）用動能定理求速度。 取系統(tǒng)研究。初始時T1=0 ， 最低位置時：222221

23、21BAvgPJTw221222163213121BBBvgPPvgPvgP( )12(sin30 )(sin30 )22ellWPP ll )(12FWTT)30sin)(2(06321221llPPvgPPB代入數(shù)據(jù)，得m/s 58. 1Bv12()(sin30 )2PPll習題習題14.39（3）用動量矩定理求桿的角加速度）用動量矩定理求桿的角加速度 。ww)31(312221221lgPlgPvlgPlgPLA由于0)(dd) e (FAAMtL所以 0 。盤質(zhì)心加速度：盤質(zhì)心加速度：)0( 22wCnCCalaa)0( 2wBnBBalaarad/s 58. 624. 058. 1l

24、vBw桿質(zhì)心桿質(zhì)心C的加速度：的加速度：m/s 58. 1Bv習題習題14.39 相對質(zhì)心動量矩守恒定理相對質(zhì)心動量矩守恒定理+動能定理動能定理+動量矩定理動量矩定理+質(zhì)心運動質(zhì)心運動定理。定理。 可用對積分形式的動能定理求導(dǎo)計算可用對積分形式的動能定理求導(dǎo)計算，但要注意需取桿，但要注意需取桿AB在一般位置進行分析在一般位置進行分析。（4）由質(zhì)心運動定理求支座反力。）由質(zhì)心運動定理求支座反力。 研究整個系統(tǒng) 0t2t1AxBCixiFagPagPam 代入數(shù)據(jù)，得 N401 , 0AyAxFF2122212PPFlgPlgPamAyiyiww0;6.58 rad/sw習題習題14.39 習題1

25、4.37 如圖所示系統(tǒng)中，滾子A和定滑輪B都是半徑為r的勻質(zhì)圓盤，重量均為P1 ；重物C重為P2 。當滾子沿傾角為的斜面向下作純滾動時，試求：（1）滾子A質(zhì)心的加速度；（2）兩端繩子的拉力；（3）滑輪軸承處的反力；（4）滾子A和斜面的摩擦力F， 摩擦系數(shù)f至少為多少？AB解：解：(1) 求滾子A質(zhì)心的加速度以整個系統(tǒng)為研究對象以整個系統(tǒng)為研究對象,開始靜止時動能10T 滾子質(zhì)心A沿斜面下降距離S時,系統(tǒng)動能為222212211112222AAABBCPPTvJJvggww受力分析，運動分析受力分析，運動分析AABCAvvvrww其中2112ABPJJrg2222221112211 11 112

26、2 22 22AAAAPPvPvPTvrrvggrgrg212122APP vg作用于系統(tǒng)上的力所作的功為作用于系統(tǒng)上的力所作的功為1212sinWP SP S根據(jù)動能定理2112TTW得2212122ATPP vg2121212sin2APP vPPSg將上式對時間t求導(dǎo)注意到：1212122sin2AAdvdSPPvPPgdtdtAAAdvdSvadtdt1212sin2APPagPPAB（2）求物）求物C上繩的拉力上繩的拉力T11212sin2APPagPP取物C為研究對象受力分析，運動分析CAaa由動力學基本方程，得由動力學基本方程，得212cPaTPg212122122sin12Ac

27、P PPaTaPPggPP（3）求滾子A上繩的拉力T2和軸承B處的反力XB、YB取定滑輪B為研究對象：受力分析，運動分析ABar由由 得得eBBBJM212112AParT rTrgr解得解得1211211232sinsin122 2AP PPPTTagPPB根據(jù)質(zhì)心運動定理eeBXByMaXMaY得20cosBXT0Ba 并注意質(zhì)心的加速度解得212112cos32sinsincos2 2BXTP PPPP120sinBYTTB122212112sin45sin2sinsin2 2BYTTP PPPP4）求滾子A和斜面的摩擦力F和摩擦系數(shù)的最小值fmin取滾子A為研究對象：受力分析，運動分析

28、AAar建立相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動微分方程AAJF r2112AParF rgrA112112sin11222APPPFaPgPP由 得0X 1cosNP12112sin122PPFPPPmax1cosFfNfP12max1112sin1cos22PPFFfPPPP1212sin2 2cosPPfPP12min12sin2 2cosPPfPPA習題習題13-33 如如圖所示系統(tǒng)，圖所示系統(tǒng)，物塊物塊A質(zhì)量為質(zhì)量為m1，沿楔塊的，沿楔塊的斜面下降，借繞過滑輪的繩索使質(zhì)量為斜面下降，借繞過滑輪的繩索使質(zhì)量為m2的物體的物體B上升。斜上升。斜面與水平面成面與水平面成a角，滑輪的質(zhì)量和各處摩擦均忽略不計。求角

29、，滑輪的質(zhì)量和各處摩擦均忽略不計。求楔塊作用于地板凸出部分楔塊作用于地板凸出部分D處的水平壓力。處的水平壓力。 解：設(shè)物塊解：設(shè)物塊A 由靜止由靜止開始下滑，某瞬時其速度為開始下滑，某瞬時其速度為v，畫運動分析圖和受力圖畫運動分析圖和受力圖 ，列動力學方程：列動力學方程：l 解：設(shè)物塊解：設(shè)物塊A 由靜止開始下滑，某瞬時其速度為由靜止開始下滑，某瞬時其速度為v，畫，畫運動分析圖和受力圖運動分析圖和受力圖 ，列動力學方程：，列動力學方程：221212110sin22m vm vm gSm gS等式兩邊對時間求導(dǎo)得等式兩邊對時間求導(dǎo)得21212sin2mmvgSmm1212sin22,mmdvdSdSvgvdtmmdtdt即即等式兩邊對時間求導(dǎo)得等式兩邊對時間求導(dǎo)得1212sin22,mmdvdSdSvgvdtmmdtdt由質(zhì)心運動定理由質(zhì)心運動定理1212sinmmagmmcxicixxmamaF1cosxm aF11212cos(sin)xmmmFgmmBA 圖示三棱柱A沿三棱柱B的光滑斜面滑動，A和B各重P和Q，三棱柱B的斜面與水平面成角。如開始時物系靜止，求運動時三棱柱B的加速度。忽略摩擦。yoABxhPQNVrVB以兩三棱柱為質(zhì)點系受