第4單元 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（強化篇）（原卷版）

1、第4單元 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（強化篇）基礎(chǔ)知識講解1分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法【基礎(chǔ)知識】分段函數(shù)是定義在不同區(qū)間上解析式也不相同的函數(shù)若函數(shù)在定義域的不同子集上的對應(yīng)法則不同，可用幾個式子來表示函數(shù)，這種形式的函數(shù)叫分段函數(shù)已知一個分段函數(shù)在某一區(qū)間上的解析式，求此函數(shù)在另一區(qū)間上的解析式，這是分段函數(shù)中最常見的問題【技巧方法】求解函數(shù)解析式的幾種常用方法1、待定系數(shù)法，如果已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時，用待定系數(shù)法；2、換元法或配湊法，已知復(fù)合函數(shù)fg（x）的表達式可用換元法，當(dāng)表達式較簡單時也可用配湊法；3、消參法，若已知抽象的函數(shù)表達式，則用解方程組消參的方法求解f（x）；另外，在解

2、題過程中經(jīng)常用到分類討論、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型解決分段函數(shù)問題，關(guān)鍵抓住在不同的段內(nèi)研究問題2函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷【基礎(chǔ)知識】 一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2， 當(dāng)x1x2時，都有f（x1）f（x2），那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)；當(dāng)x1x2時，都有f（x1）f（x2），那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù) 若函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)f（x）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做yf（x）的單調(diào)區(qū)間【技巧方法】 證明函數(shù)的單調(diào)性用定義法的步驟：取值；作差；變形；

3、確定符號；下結(jié)論 利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：第一步：求函數(shù)的定義域若題設(shè)中有對數(shù)函數(shù)一定先求定義域，若題設(shè)中有三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)可不考慮定義域第二步：求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f（x），并令f（x）0，求其根第三步：利用f（x）0的根和不可導(dǎo)點的x的值從小到大順次將定義域分成若干個小開區(qū)間，并列表第四步：由f（x）在小開區(qū)間內(nèi)的正、負(fù)值判斷f（x）在小開區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；求極值、最值第五步：將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為f（x）maxa或f（x）mina，解不等式求參數(shù)的取值范圍第六步：明確規(guī)范地表述結(jié)論3復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【基礎(chǔ)知識】 復(fù)合函數(shù)就是由兩個或兩個以上的基本函數(shù)構(gòu)成，這種函數(shù)先要考慮基

4、本函數(shù)的單調(diào)性，然后再考慮整體的單調(diào)性平常常見的一般以兩個函數(shù)的為主【技巧方法】 求復(fù)合函數(shù)yf（g（x）的單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）確定定義域；（2）將復(fù)合函數(shù)分解成兩個基本初等函數(shù)；（3）分別確定兩基本初等函數(shù)的單調(diào)性；（4）按“同增異減”的原則，確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間4奇函數(shù)、偶函數(shù)【奇函數(shù)】 如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（x）f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點是關(guān)于（0，0）對稱【技巧方法】如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用f（0）0解相關(guān)的未知量；若定義域不包括原點，那么運用f（x）f（x）解相關(guān)參數(shù)；已知奇函數(shù)大于0的部分的函數(shù)表達式，

5、求它的小于0的函數(shù)表達式，如奇函數(shù)f（x），當(dāng)x0時，f（x）x2+x那么當(dāng)x0時，x0，有f（x）（x）2+（x）f（x）x2xf（x）x2+x 【偶函數(shù)】 如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（x）f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點是關(guān)于y軸對稱【技巧方法】運用f（x）f（x）求相關(guān)參數(shù)，如yax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？結(jié)合函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱求函數(shù)與x軸的交點個數(shù)或者是某個特定的值，如偶函數(shù)f（2）0，周期為2，那么在區(qū)間（2，8）函數(shù)與x軸至少有幾個交點5函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷【基礎(chǔ)知識】如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱

6、，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（x）f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點是關(guān)于（0，0）對稱如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（x）f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點是關(guān)于y軸對稱【技巧方法】奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用f（0）0解相關(guān)的未知量；奇函數(shù)：若定義域不包括原點，那么運用f（x）f（x）解相關(guān)參數(shù)；偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）f（x）這個去求解；對于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反6.函數(shù)解析式的求解及常用方法【基礎(chǔ)知識】通過求解函數(shù)的解析式中字母的值，得到函數(shù)的解析式的

7、過程就是函數(shù)的解析式的求解【技巧方法】求解函數(shù)解析式的幾種常用方法主要有 1、換元法；2、待定系數(shù)法；3、湊配法；4、消元法；5、賦值法等7.冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用【基礎(chǔ)知識】1.冪函數(shù)定義：一般地，函數(shù)yxa（aR）叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù)（1）指數(shù)是常數(shù)；（2）底數(shù)是自變量；（3）函數(shù)式前的系數(shù)都是1；（4）形式都是yxa，其中a是常數(shù)8.冪函數(shù)的性質(zhì)【基礎(chǔ)知識】所有的冪函數(shù)在（0，+）上都有各自的定義，并且圖象都過點（1，1）（1）當(dāng)a0時，冪函數(shù)yxa有下列性質(zhì)：a、圖象都通過點（1，1）（0，0）；b、在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而增大；c、在第一象限內(nèi)，a1時

8、，圖象開口向上；0a1時，圖象開口向右；d、函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間0，+）上是增函數(shù)（2）當(dāng)a0時，冪函數(shù)yxa有下列性質(zhì)：a、圖象都通過點（1，1）；b、在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而減小，圖象開口向上；c、在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右趨于原點時，圖象在y軸上方趨向于原點時，圖象在y軸右方無限逼近y軸，當(dāng)x趨于+時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸（3）當(dāng)a0時，冪函數(shù)yxa有下列性質(zhì)：a、yx0是直線y1去掉一點（0，1），它的圖象不是直線9.五個常用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)（1）yx； （2）yx2； （3）yx3； （4）y； （5）yx1yxyx2yx3yyx1定義域RRR0，+）x|x0

9、值域R0，+）R0，+）y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增x0，+）時，增x（，0時，減增增x（0，+）時，減x（，0）時，減公共點（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）10.冪函數(shù)的奇偶性（1）所有的冪函數(shù)在（0，+）都有定義，并且函數(shù)圖象都通過點（1，1）（2）如果a0，則冪函數(shù)的圖象過點（0，0），（1，1），并在0，+）上為增函數(shù)（3）如果a0，則冪函數(shù)的圖象過點（1，1），并在（0，+）上為減函數(shù)（4）當(dāng)a為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)a為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)11函數(shù)最值的應(yīng)用【基礎(chǔ)知識】 函數(shù)的最值顧名思義就是指函數(shù)在某段區(qū)間

10、內(nèi)的最大值和最小值在日常生活中我們常常會遇到如何使成本最低，如何用料最少，如何占地最小等等的問題，這里面就可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題另外，最值可分為最大值和最小值【技巧方法】 這種題的關(guān)鍵是把現(xiàn)實的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的問題，具體的說是轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，這里面需要同學(xué)們要具有轉(zhuǎn)化思維，具有一定的建模能力，在很多高考題中也常常以大題的形式出現(xiàn)，所以務(wù)必引起重視這里我們以具體的例題來講解12根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型【基礎(chǔ)知識】1實際問題的函數(shù)刻畫在現(xiàn)實世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，許多聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫用函數(shù)的觀點看實際問題，是學(xué)習(xí)函數(shù)的重要內(nèi)容【技巧方法】常用到的五種函數(shù)模型：直線模型：一次函

11、數(shù)模型ykx+b（k0），圖象增長特點是直線式上升（x的系數(shù)k0），通過圖象可以直觀地認(rèn)識它，特例是正比例函數(shù)模型ykx（k0）反比例函數(shù)模型：y（k0）型，增長特點是y隨x的增大而減小指數(shù)函數(shù)模型：yabx+c（b0，且b1，a0），其增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快（底數(shù)b1，a0），常形象地稱為指數(shù)爆炸對數(shù)函數(shù)模型，即ymlogax+n（a0，a1，m0）型，增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大越來越慢（底數(shù)a1，m0）冪函數(shù)模型，即yaxn+b（a0）型，其中最常見的是二次函數(shù)模型：yax2+bx+c（a0），其特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值先減小后增大（a0）在

12、以上幾種函數(shù)模型的選擇與建立時，要注意函數(shù)圖象的直觀運用，分析圖象特點，分析變量x的范圍，同時還要與實際問題結(jié)合，如取整等習(xí)題演練1 選擇題（共12小題）1若，則“且”是“且”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件2已知二次函數(shù)，滿足：對任意實數(shù)，都有，且當(dāng)時，有成立，又，則為（ ）A1BC2D03已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（ ）ABCD4函數(shù)的圖象A關(guān)于原點對稱B關(guān)于直線y=x對稱C關(guān)于x軸對稱D關(guān)于y軸對稱5函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是ABCD6已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)，若，則的大小關(guān)系為( )ABCD7若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD8已

13、知函數(shù)則（ ）A對任意實數(shù)，方程無解B存在實數(shù)，方程有2個根C存在實數(shù)，方程有3個根D對任意實數(shù)，方程有1個根9已知函數(shù)為一次函數(shù)，若，有，當(dāng)時，函數(shù)的最大值與最小值之和是（ ）A10B8C7D610在直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象大致是（ ）ABCD11若，則（ ）ABCD12方程的解所在的區(qū)間是（ ）ABCD2 填空題（共6小題）13已知函數(shù)，則函數(shù)的所有零點所構(gòu)成的集合為_.14已知，則_15已知函數(shù)，則_16已知函數(shù)若，是互不相同的正數(shù)，且，則的取值范圍是_17已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有6個不同的實數(shù)解，且最小實數(shù)解為，則的值為_18已知函數(shù)為奇函數(shù)，且的圖象和函數(shù)的圖象交于不同兩點、，若線段的中點落在直線上，則實數(shù)的值為_.三解析題（共6小題）19已知函數(shù)，且，（1）求，的值（2）判斷的奇偶性（3）試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明（4）求函數(shù)的最小值20已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)（1）求，的值；（2）用定義證明在上為減函數(shù)；（3）若對于任意，不等式恒成立，求的范圍21（1）已知函數(shù)的圖像恒過定點A，且點A又在函數(shù)的圖像上，求不等式的解集