數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)報(bào)告求微分方程的解

1、求微分方程的解、實(shí)驗(yàn)?zāi)康募耙饬x1. 歸納和學(xué)習(xí)求解常微分方程 （組）的基本原理和方法；2. 掌握解析、數(shù)值解法，并學(xué)會(huì)用圖形觀察解的形態(tài)和進(jìn)行解的定性分析；3. 熟悉MATLAB軟件關(guān)于微分方程求解的各種命令。二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1. 微分方程及方程組的解析求解法；2. 微分方程及方程組的數(shù)值求解法歐拉、歐拉改進(jìn)算法；3. 直接使用MATLAB命令對(duì)微分方程（組）進(jìn)行求解（包括解析解、數(shù)值解）；4. 利用圖形對(duì)解的特征作定性分析。三、實(shí)驗(yàn)步驟1. 開啟軟件平臺(tái)一一MATLAB，開啟MATLAB編輯窗口；2. 根據(jù)微分方程求解步驟編寫M文件3. 保存文件并運(yùn)行；4. 觀察運(yùn)行結(jié)果（數(shù)值或圖形）；5. 根

2、據(jù)觀察到的結(jié)果和體會(huì)寫出實(shí)驗(yàn)報(bào)告。四、實(shí)驗(yàn)要求與任務(wù)根據(jù)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和步驟，完成以下實(shí)驗(yàn)，要求寫出實(shí)驗(yàn)報(bào)告1. 求微分方程（x2 -1） y'，2xy -sin x = o的通解.2. 求微分方程y''2y' 5y = sin x的通解.3. 求微分方程組空 + x + y = 0dy丄+ x y = 0d在初始條件x |t = 1, y |t = 0下的特解，并畫出解函數(shù)y = f（x）的圖形.4. 分別用ode23 ode45求上述第3題中的微分方程初值問題的數(shù)值解（近似解），求解區(qū)間為r 0, 2.利用畫圖來比較兩種求解器之間的差異.5. 用Euler折線法求

3、解微分方程初值問題< 212x y'=y ，< y（o）=1的數(shù)值解（步長h取0.1），求解范圍為區(qū)間0,2.6. 用四階Runge-Kutta法求解微分方程初值問題廣X目、=y _e cos x,（0） =1的數(shù)值解（步長h取0.1），求解范圍為區(qū)間0,3.五程序代碼及運(yùn)行結(jié)果（經(jīng)調(diào)試后正確的源程序）1.求微分方程(X2 T)y' 2xy -Sin x = 0的通解.程序代碼：syms x yfprintf('通解為')y=dsolve('(xA2-1)*Dy+2*x*y-si n(x)=0','x')運(yùn)行結(jié)果：通解

4、為y =(-cos(x)+C1)/(xA2-1) 2.求微分方程y''-2 y'y二ex sin x的通解.程序代碼：syms x yfprintf('通解為')y=dsolve('D2y-2*Dy+5*y=exp(x)*s in (x)','x')運(yùn)行結(jié)果:通解為y =-1/4*exp(x)*cos(2*x)*si n(x)+1/12*exp(x)*cos(2*x)*si n(3*x)-1/12*exp(x) *si n(2*x)*cos(3*x)+1/4*exp(x)*si n(2*x)*cos(x)+C1*exp(x

5、)*cos(2*x)+C2*e xp(x)*si n(2*x)3. 求微分方程組竺+x+y=0空+x_y=0Idt¥在初始條件x|y= 1，yly = o下的特解，并畫出解函數(shù)y=f(x)的圖形.程序代碼：syms x y tx,y=dsolve('Dx+x+y=0','Dy+x-y=0','x(0)=1','y(0)=0','t') ezplot(x,y,0,2);運(yùn)行結(jié)果：x =1/2*exp(2A(1/2)*t)+1/4*2A(1/2)*exp(-2A(1/2)*t)-1/4*2A(1/2)*exp

6、(2A(1/2)*t)+1/2*exp(-2A(1/2)*t)y =1/4*2A(1/2)*exp(-2A(1/2)*t)- 1/4*2A(1/2)*exp(2A(1/2)*t)x = 1/2 exp(2 1/2 t)+.+1/2 exp(-2 1/2 t), y = 1/4 21/2 exp(-2 1/2 t)-1/4 2 1/2 exp(2 1/2 t)0-0.5-1-1.5-2-2.5-3-3.5-4-4.5-5-5.5-2 -1 023454. 分別用ode23 ode45求上述第3題中的微分方程初值問題的數(shù)值解(近似 解)，求解區(qū)間為r 0, 2 利用畫圖來比較兩種求解器之間的差異.

7、程序代碼：M函數(shù)文件 verderpol.m: function xprime=verderpol(t,x) xprime=-x(1)-x(2); x(2)-x(1);在程序中調(diào)用此函數(shù)：clear;y0=1；0；t,x=ode45('verderpol',0,2,y0); plot(x(:,1),x(:,2),'r-'); hold onclear;y0=1;0;t,x=ode23('verderpol',0,2,y0); plot(x(:,1),x(:,2),'b-'); 運(yùn)行結(jié)果：n5. 用Euler折線法求解微分方程初值問

8、題12x2y' = y 廠，3y（o）=1的數(shù)值解（步長h取0.1），求解范圍為區(qū)間0,2. 程序代碼：clearf=sym('y-(12*xA2)/yA3');a=0; b=2;h=0.1;n=(b-a)/h+1;x=0; y=1;szj=x,y;for i=1:n-1 y=y+h*subs(f,'x','y',x,y); x=x+h;szj=szj;x,y;endszjplot(szj(:,1),szj(:,2),'or-')運(yùn)行結(jié)果：szj =0 1.00000.10001.10000.20001.20100.300

9、01.29340.40001.37280.50001.43590.60001.47810.70001.49210.80001.46440.90001.36621.00001.12171.10000.38361.2000-25.30541.3000-27.83581.4000-30.61931.5000-33.68121.6000-37.04921.7000-40.75411.8000-44.82941.9000-49.31232.0000-54.2435wilyes11 收集 博客 (與學(xué)習(xí)無關(guān) )：10-600-10-20-30-40-500.511.522.50wilyes11 收集 博客

10、(與學(xué)習(xí)無關(guān)):.en/u/181023180210wilyes11 收集 博客(與學(xué)習(xí)無關(guān)):.en/u/1810231802106. 用四階Runge-Kutta法求解微分方程初值問題x 目、=y _e cos x,(0) =1的數(shù)值解(步長h取0.1)，求解范圍為區(qū)間0,3. 程序代碼：clear;f=sym('y-exp(x)*cos(x)');a=0; b=3; h=0.1;n=(b-a)/h+1;x=0; y=1;szj=x,y;for i=1: n-1I仁subs(f,'x','y',x,y); l2=subs(f,'x&#

11、39;,'y',x+h/2,y+l1*h/2); l3=subs(f,'x','y',x+h/2,y+l2*h/2);I4=subs(f,'x','y',x+h,y+l3*h);y=y+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6;x=x+h;szj=szj;x,y;endwilyes11 收集 博客(與學(xué)習(xí)無關(guān)):.en/u/1810231802SZJp_of(szj(二)czjc dg)szj H0 - .00000-0000.20000.30000.40000.50000.00000.70000.80000.0

12、000-.00001.10001.2000-.00001.4000-.§0099948997870 込 50900090.85830.79330.71650.62900.53290.43090.32680.22560.133700590OOU21.6000 0.00211.7000 004561.8000 0 1582 -.9000 0.3590 20000 0.6702 2_kooo2.2000 1.72832.3000 2.53642.4000 3.57742.5000 4.89162.6000 6.52312.7000 8.52042.8000 10.93592.9000 13.8260 30000 17.2510w=yes 二斉»a(><M 出來：hspwb_c-=802380218 >pp,pHIIIiI16 -14-12 -一10 -8 .6 -4 -2-0I IdI00.511.522.533.5六.實(shí)驗(yàn)總結(jié)本次實(shí)驗(yàn)的目的是歸納和學(xué)習(xí)求解常微分方程 （組）的基本原理和方法；掌握解析、數(shù)值解法，并學(xué)會(huì)用圖形觀察解的形態(tài)和進(jìn)行解的定性分析；熟悉MATLAB軟件關(guān)于微分方程求解的各種命令。 實(shí)驗(yàn)中，我們了解和熟悉了微分方程