上海市寶山區(qū)2021年高三一模數(shù)學(xué)試卷含答案解析

1、2020學(xué)年度第一學(xué)期期末高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷考生注意：1 .本試卷共21題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2 .本試卷包括試題卷和答題紙兩部分，答題紙另頁，正反面；3 .在本試題卷上答題無效，必須在答題紙上的規(guī)定位置按照要求答題；4 .可使用符合規(guī)定的計(jì)算器答題.一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，其中第1題至第6題每題填對(duì)得4分，否則一律得 零分；第7題至第12題每題填對(duì)得5分，否則一律得零分.）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格 內(nèi)直接填寫結(jié)果.1 .若集合d=（-oo, 3）, 8=（-4, +8）,貝必n§=.2 .拋物線儼=6x的準(zhǔn)線方程為.3 .已知復(fù)數(shù)

2、Z滿足3為虛數(shù)單位），貝舊=.4 .設(shè)向量N=（l, 2）,亍=（2, 1）,則丁與丁的夾角的大小為（結(jié)果用反三角函數(shù)值 表示）.5 .已知二項(xiàng)式（2x+；）6,則其展開式中的常數(shù)項(xiàng)為- 人6 .若實(shí)數(shù)x, y滿足'2ifW0,貝歸=2x+y的最大值為. jr+y - 3W0,7 .已知圓錐的底而半徑為1,高為艱，則該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角6的大小為.8 .方程cos2x-sinx=0在區(qū)間0,a上的所有解的和為-99 .已知函數(shù)«r）的周期為2,且當(dāng)OVxWl時(shí)，/（x）=lcgF，那么f（'）=.10 .設(shè)數(shù)列/的前項(xiàng)和為S”，對(duì)任意£入產(chǎn)，均有S.+

3、x”=-l,則$6=.11 .設(shè)函數(shù)f（.x）=a.sin2x+6.cos2x （a, b£R）,給出下列結(jié)論：當(dāng)。=0, 6=1時(shí)，"X）為偶函數(shù)：當(dāng)。=1, b=o時(shí)，2x）在區(qū)間（0,今上是單調(diào)函數(shù)：當(dāng)=小,b=T時(shí)，f（|當(dāng)）在區(qū)間（-2兀,2九）上恰有3個(gè)零點(diǎn)：當(dāng)。=,，6=1時(shí)，設(shè)“X）在區(qū)間上，什?（，£夫）上的最大值為夕，最小值為S， 則一步則所有正確結(jié)論的序號(hào)是.2020學(xué)年度第一學(xué)期期末高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)偵量監(jiān)測(cè)試卷第1頁共9頁12.若定義在N上的函數(shù)f(x)、g(x)滿足：存在外£M 使前(Xo)Vg(x。)成立，則的與其r),一

4、1在N上具有性質(zhì)尸(f. g),設(shè)函數(shù)f(x)=f-與g(x)=x=其中>0,已知f(x)與g(x)在N上 不具有性質(zhì)尸g),將。的最小值記為%.設(shè)有窮數(shù)列4滿足8=1,m1=1+兒(£入產(chǎn)，W504x%),這里%表示不超過%的最大整數(shù).若去掉4中的一項(xiàng)今后，剩下的所 有項(xiàng)之和恰可表為J(?£八廣)，則與+加的值為-二、選擇題(本大題共有4題，滿分20分)每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的 相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得5分，否則一律得零分.13-直線x+3y-1 =0的一個(gè)法向量可以是(A) (3, -1)(B) (3, 1)(C) (1, 3)

5、()3) (1, 3)14.”函f(x)=sin(3x) (x, sGR,U)充分非必要條件(C)充要條件且3H0)的最小正周期為2”是“3=/'的 (B)必要非充分條件 (D)既非充分又非必要條件15.從0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,的中位數(shù)為4的概率為9這10個(gè)數(shù)中任取5個(gè)不同的數(shù)，則這5個(gè)不同的數(shù) ()(A) 21(8)奈7 »)五16.下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(J)存在實(shí)數(shù)x, y滿足(B)存在實(shí)數(shù)x, y滿足fg， Jx+y|Wl,口+y|Wl,并使得4(x+1)8+1)>9成立:并使得4(x+l)(y+1)=7成立:(C)滿足(D)滿足g，

6、卜+y|WL 但0，且使得4(x+l)(y+l)=-9成立的實(shí)數(shù)x, y不存在:且使得4(x+l)e+l)V-9成立的實(shí)數(shù)x, y不存在.三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域 內(nèi)寫出必要的步驟.17.（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1題滿分6分,第2題滿分8分.如圖，在長方體一4盧夕。中，T為“1上一點(diǎn)，已知DT=2, ,45=4, BC=2, W4=6.(1)(2)求點(diǎn)G到平而4TC的距離.求直線7C與平面所成角的大小（用反三角函數(shù)值表示）:18.（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1題滿分6分，第2題滿分8分.已知函數(shù)）="+

7、甥（加GR）. 人 X（1）當(dāng)機(jī)=1時(shí)，解不等式f（x）+l>/（x+l）:（2）設(shè)x£3, 4,且函數(shù)r=/（x）+3存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.19.（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1題滿分6分，第2題滿分8分.設(shè)函數(shù)faAsinQx+o/s。,一最小正周期為2萬,月/（x）的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求9的值；（2）在中，若且三邊、b、c所對(duì)的角依次為A、B、C.試求空紅C的值.20.（本題滿分16分）本題共有3個(gè)小題，第1題滿分4分，第2題滿分6分，第3題 滿分6分.已知用、產(chǎn)2分別為橢圓n?+V=l的左、右焦點(diǎn)，M為一上的一點(diǎn).（1）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1,（機(jī)>

8、;0）,求ZEMa的面積;（2）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0, 1）,且直線j，=fcr-|（k£R）與，交于兩不同點(diǎn)4、B,求證：MA MB為定值，并求出該定值：（3）如右圖，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$,。，過坐標(biāo)原點(diǎn)。作圓M： （A-5）2+（j1-r）2=72 （其中r為定值，0VY1,且同*r）的兩 條切線，分別交于點(diǎn)尸、Q，直線。尸、。的斜率分別記 為先、k2.如果用出為定值.試問：是否存在銳角氏使得 2|。斗Q0l=5sec6?若存在，試求出6的一個(gè)值：若不存在，請(qǐng)說明理由.21.（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1題滿分4分，第2題滿分6分，第3題 滿分8分.若有窮數(shù)列勺：、, X,

9、，天滿足412為+7,演>0（這里i,1 WiW”-1,常數(shù),>0）,則稱有窮數(shù)列七具有性質(zhì)產(chǎn).1>11（1）已知有窮數(shù)列/具有性質(zhì)尸（常數(shù)/>）,且4一中+看1+ x尸勺-】氏丁，試求r的值：（2）設(shè)41=2|4+什2|一|%+/-2|（3£人產(chǎn)，“23,常數(shù)f>2）,判斷有窮數(shù)列%是否具有性質(zhì)尸。-2）,并說明理由：若有窮數(shù)列包1：打，巧，玉具有性質(zhì)產(chǎn)，其各項(xiàng)的和為2000,將為，y2, yM中的最大值記為4 /4WN*時(shí)，求4+的最小值.參考答案一、填空題(本大題共有12題，滿分54分)31. (-4, -3)2. x=-6. 47. 7C8. 7

10、C12. 3103二、選擇題(本大題共有4題，滿分20分)13. C14. B4. arccosf5. 1609.15. C11.16. A三、解答題(本大題共有5題，滿分76分)17.(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題，第1題滿分6分，第2題滿分8分. 解：方法一：(1)聯(lián)結(jié)7C,在長方體zLSCQ-由與JDi中，因?yàn)?quot;J平面J5C。，即 空)，平面/5CD所以直線TC與平面,438所成的角即為N TCZ),DT 1在R/TC。中，由。7=2, CD=AB=4,可得tanNTCQ-cc顯然 ZTCZ)G(0, 5),故NTC&arctaij,所以直線TC與平面,"

11、CD所成角的大小為arctan；.(2)由已知可得小丁=丁。=2木，出。=26，所 ,5zu1rc=7'2'/T4'-/6=2'/n.又易得S“cC=*64=12.設(shè)點(diǎn)q到平而H/C的距離為兒在長方體中，因?yàn)榱?，平?孰。1，即小。平而TCQ，再由TiTc/i-rcq得生b忌弘小,4。卜所以，需:二零.即點(diǎn)C1到平面zt/c的距離為生辱.“必7。2y 211/方法二：(1)如圖，以。為原點(diǎn)，DA. DC、分別為x、J，、z軸，建立空間直角坐標(biāo) 系.由已知可得及(2, 0, 0)、8(2, 4, 0)、C(0, 4, 0)、0(0, 0, 0)、T(0, 0,

12、2),故方=(0, 4, 一2),又平面8的一個(gè)法向量£=(0, 0, 1),設(shè)直線7c與平面所成角的大小為6,則sm8=幽回=一二坐,注意到0, S ,故據(jù)訴護(hù)F1 $2e=arcsin坐，所以直線TC與平麗43CD所成角的大小為arcsin坐.(2)注意到CRO, 4, 6),山(2, 0, 6),及7(0, 0, 2), C(0, 4, 0),>，)故由7=(-2, 0, -4) , CT=(O, -4, 2), GT=(O, - 4, 一4),設(shè)平而H/C的一個(gè)法向量為葭=(x, y, z),J 一由已知，得嚕字,即二腎所以仁/可取就(4,1，2),I w-cr=o所以

13、點(diǎn)G到平面為TC的距離為K|gl=|0x(-Y(-4)xl+(-4)x2|=41前q(-4)2+F+227即點(diǎn)G到平而&/C的距離為零.18.(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題，第1題滿分6分，第2題滿分8分解：(1)當(dāng)胴=1 時(shí)，f(x)=x+F，F(xiàn)l:f(x)+l>/(x+l)得(x+Jy)Tl>(x+D+；，即解得x<0或v>l，所以，原不等式的解集為(-8, 0)0(1, +8).(2)函數(shù)尸/(x)+3存在零點(diǎn)x£3, 4 O 方程x+4+3=0有解x£3, 4,亦即 訓(xùn)=-(x+3)(x-l)有解x£3, 4,注 意 到

14、 w=-(x+1)2+4 在 xG3, 4 上 遞 減， 故 胴£一(4+1)2+4, -(3 +1>+4 =-21, -12,從而，實(shí)數(shù)m的取值范圍為一21, -12.19.(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題，第1題滿分6分，第2題滿分8分.解：(1)依題意，可得 小2m所以。=1,故f(x尸sin(x"),因?yàn)?'(x)的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn),所以f(0)=0，即 sin°=O,注意到一亨<0<，因此，8=0.(2)由(1)得尸smx,故由已知，可得2sin咽+3sin2C=2sinJsin5,sinC+sin2X,利用正、余弦定理，并整理

15、得smJ-84=-,+ 2r2因?yàn)?學(xué)業(yè)所以smJ-8盅,又sinJ -CO&4 =巾,所以sinJ -co&4 =娘，Kb=y/2c, H=不故史誓-虎年261g.20.（本題滿分16分）本題共有3個(gè)小題，第1題滿分4分，第2題滿分6分，第3題滿 分6分.解：（1）由已知條件得 方加=1,因?yàn)榧?,所以“坐，又用、鳥的坐標(biāo)分別為 （-娟，0）、的 0）,因此，/孫的面積為拉坐=|.仔+產(chǎn)1）（2）設(shè)d（X, yp, B（XB，j%）,由1 43 得（軟4Dx2-爭X-導(dǎo)=0,顯然(24k x=5(4K+D64土產(chǎn)5=- 25(44+1)又ykx:5, »%=依8一亍

16、 所以,MA MB=(<r 必fa%，yB-l)=(K +1 比%-*jx,+1|小八64 i 8,24k64 八=("+1)-25(4內(nèi)+1) 一/ 5(44+1)+芯=°即江? 瘍=0為定值.（3）滿足2|。斗|O0|=5sec6的銳角。不存在. 理由如下：因?yàn)橹本€OR »=左/與0M相切，所以即(fra2*；2s%+戶一戶=0,同理，由直線。：y=康與0M相切，可得($2-72)k；-2sf&+F/=0,于是，除、取是關(guān)于J的方程（s2-八紜Jasr/產(chǎn)一戶=o的兩實(shí)根,、一 .產(chǎn)產(chǎn)。一力一戶注意到用Nr, 11彳+5=1，故上山=支_7=_s

17、2_,-因上汽為定值，故不妨設(shè)公匕=3(定值)，1-扛1于是有 6=2_ 2 ，即(<5+7>2+-1+(1->2=0. iS*"-7*"今依題意可知，S變化，而八3均為定值，所以產(chǎn)十尸，解得WJ, ,=羋,、-1+(1-加=0代41再設(shè)P%,匕)，綱,9由1 4 得,xl =41+4片4后：同理可得24% = 1+4石)4M ,斤E、. 4(1+后)4(1+玲 Q9所以的3=(中)(、")=一><77/=4+即芮W4+中行25T9,5S即。尸向oqFw：,亦即I。尸卜|。°性彳，(X)TL若銳角6,使2|04|OQ=5se

18、c6,則|。尸卜|。|=張吟，與母相矛盾.因此，這樣的銳角e不存在.21 .(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題，第1題滿分4分，第2題滿分6分，第3題滿分8分.解：(1)因?yàn)橛懈F數(shù)列七具有性質(zhì)產(chǎn)，所以，E.xr|2f，</=b 2,- 1),“一再由已知條件可得，( -1"= j +f吉+ £ W昆r】l+ &3_、21+ x力一, (w-1 Hf*即(1)忘一，而23,所以，啰.注意到自，所以，=；.當(dāng)a】W0時(shí)，有窮數(shù)列%不具有性質(zhì)產(chǎn)(/-2)：當(dāng)勺>0時(shí)，有窮數(shù)列小具有性質(zhì)產(chǎn)。-2). 理由如下：癡1W0,則有窮數(shù)列/顯然不具有性質(zhì)尸。一2).若%

19、>0,則由f>2,可得。)=2|%+什2|一網(wǎng)+f 2|=2(%+什2)(%+f2)=q+什6,所以，%>/+(2) (%>0),且&>0,同理可得，a3=a2+/+6 (a2>0),所以，ai>a2+(t2),且丁。, 一般地,若q=q_+/+6 (%>0),則%>%_+(£2),且%>0, 于 是， %=2|%+什21j+f2|=2(a.+t+2)一(q+L2尸q+/+6，所以,>%+(，2),且q>0(仍有4+>0,這里3,>3,14W1),因此，當(dāng)%>0時(shí)，有窮數(shù)列%具有性質(zhì)產(chǎn)(