必修五一元二次不等式及其解法

1、3.2 一元二次不等式及其解法學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握一元二次不等式的解法(重點).2. 能根據(jù)“三個二次”之間的關(guān)系解決簡單問題(難點).自主預(yù)習(xí)探新知1. 一元二次不等式的概念只含有未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的不等式，稱為一元二次 不等式.2. 一元二次不等式的一般形式2(1) ax + bx+ c>0(a0).2(2) ax + bx+ c 0(a0).2(3) ax + bx+ CV 0(a 0).2(4) ax + bx+ c 0(a 0).思考：不等式x2 y2>0是一元二次不等式嗎？提示此不等式含有兩個變量，根據(jù)一元二次不等式的定義，可知不 是一元二次不等式.3. 一元

2、二次不等式的解與解集使一元二次不等式成立的未知數(shù)的值，叫做這個一元二次不等式的解， 其解的集合，稱為這個一元二次不等式的 .思考：類比“方程X2= 1的解集是1， 1,解集中的每一個元素均可 使等式成立”.不等式x2>1的解集及其含義是什么？提示不等式x2>1的解集為xx< 1或x>1,該集合中每一個元素都 是不等式的解，即不等式的每一個解均使不等式成立.4 三個“二次”的關(guān)系:設(shè) f(x) = ax2 + bx+ c(a> 0),方程 ax2 + bx+ C = 0 的判別式 = b2- 4ac判別式 > 0 = 0 V 0解不 等式 f(x)> 0

3、或f(x)V 0的步驟求方程f (x) = 0的解有兩個不等的實數(shù)解x, X2有兩個相等的實數(shù)解Xi = X2沒有實數(shù)解解不等式f(x)> 0或f(x)V 0的 步驟畫函數(shù)y=f(x)的示意圖V得等 的集不 式 解f(x)> 0Rf(x)V 0思考：若一元二次不等式ax2+ X-1>0的解集為R ,貝U實數(shù)a應(yīng)滿足什 么條件？提示結(jié)合二次函數(shù)圖象可知，若一元二次不等式 ax2+ X- 1>0的解集a>0C為R ,貝U'解得a ?,所以不存在a使不等式ax2+ X- 1>0的解1 + 4a<0,集為R.基礎(chǔ)自測 1思考辨析(1) mx2 5x&l

4、t;0 是一元二次不等式 ( )2若a>0,則一元二次不等式 ax + 1>0無解.()若一元二次方程 ax2+ bx + C= 0的兩根為X,X2(x<X2),則一元二次不等式 ax2+ bx+ c<0 的解集為xx1vvx2.()(4)不等式 x22x+ 3>0 的解集為 R.()提示： (1)錯誤當(dāng) m= 0 時,是一元一次不等式；當(dāng) m 0 時,是一元二 次不等式.錯誤.因為a>0 ,所以不等式ax2 + 1>0恒成立，即原不等式的 解集為R.(3)錯誤.當(dāng)a>0時，ax2+ bx+ c<0的解集為xx1<x<x2,否則

5、不成 立正確.因為 = ( 2)2 12<0,所以不等式x2 2x+ 3>0的解集為R.2. (2018 全國卷 I )已知集合 A = x|x2 X 2>0,則？RA=()A . x| 1v XV2B . x| 1 x 2C. x|xv 1 U xX>2D . xx 1 U xX2B 通解 A = x(x 2)(x+ 1) >0 = x|xv 1 或 x>2,所以？RA = x 1 x 2,故選 B.優(yōu)解 因為 A = xx2 X 2 > 0,所以？RA = xx2 X 2 0 = x 1 x 2,故選 B.3. 不等式x2 2x 5>2x的解

6、集是.xX>5 或 x< 1由 X2 2x 5>2x,得 x24x 5>0,因為 x24x5=0 的兩根為 1,5,故 x2 4x 5>0 的解集為 x|x< 1 或 x>5 4不等式 3x2+ 5x 4>0 的解集為 .?原不等式變形為 3x2 5x+ 4<0.因為 = ( 5)2 4× 3× 4= 23<0,所以 3x2 5x+ 4 = 0 無解.由函數(shù)y= 3x2 5x + 4的圖象可知，3x2 5x+ 4<0的解集為？.合作探究攻重難一元二次不等式的解法I類型11例1解下列不等式：(1) 2x規(guī)律方法

7、解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟 化標(biāo)準(zhǔn)通過對不等式的變形，使不等式右側(cè)為0,使二次項系數(shù)為正 判別式.對不等式左側(cè)因式分解，若不易分解，則計算對應(yīng)方程的判別式 求實根.求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實根. 畫草圖.根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應(yīng)的二次函數(shù)的草圖. 寫解集.根據(jù)圖象寫出不等式的解集+ 7x+ 3>0;(2) -4x2 + 18x-81 0;(3) - 2x2 + 3x- 2<0.解(1)因為 72- 4 × 2 × 3= 25>0 ,所以方程 2x2+ 7x+ 3 = 0有兩個1 2不等實根X=- 3, X2=-

8、2又二次函數(shù)y= 2x + 7x+ 3的圖象開口向上，所1以原不等式的解集為 xx>-2或x<- 3 .9 29原不等式可化為2x-2 0 ,所以原不等式的解集為XX=4 .原不等式可化為 2x2- 3x+ 2>0 ,因為 = 9-4× 2× 2=- 7<0,所以 方程2x2- 3x+ 2= 0無實根，又二次函數(shù)y = 2x2- 3x+ 2的圖象開口向上，所 以原不等式的解集為 R.跟蹤訓(xùn)練1解下列不等式(1)2x2 3x 2>0; x2 4x+ 4>0;x2+ 2x 3<0;一3x2 + 5x 2>0.2 1解(1)v &g

9、t;0,方程 2x 3x 2= 0 的根是 xi= 2，X2= 2,不等式2x2 3x 2>0的解集為X x< 2或 x>2. V = 0 ,方程 x2 4x + 4 = 0 的根是 Xi = X2= 2, 不等式x2 4x+ 4>0的解集為xx2 .原不等式可化為x2 2x+ 3>0 , 由于<0,方程x2 2x+ 3= 0無解， 不等式x2+ 2x 3<0的解集為R.2原不等式可化為3x 5x+ 2<0,由于>0,方程3x2 5x + 2= 0的兩根為Xi= 3, X2= 1,2 2不等式3x2+ 5x 2>0的解集為X 3<

10、;x<1.含參數(shù)的一元二次不等式的解法l2例2、解關(guān)于X的不等式ax2 (a + 1)x+ 1<0.思路探究：對于二次項的系數(shù) a是否分a= 0, a<0, a>0三類進(jìn)行討論？當(dāng)a0時，是否還要比較兩根的大小?解當(dāng)a= 0時，原不等式可化為x>1.當(dāng)a 0時，原不等式可化為(ax 1)(x 1)<0.1當(dāng)a<0時，不等式可化為x 1(x 1)>0,a1V 1<1,. x<1或 x>1.a1當(dāng)a>0時，原不等式可化為x a(x 1)<0.11若一<1，即 a>1，貝U -<x<1;aa'

11、;1若-=1 ,即 a= 1，則 x ?;a11若一>1，即P 0<a<1 ,則 1<x<-. aa1綜上所述，當(dāng)a<0時，原不等式的解集為 X XW或x>1;當(dāng)a = 0時，a1原不等式的解集為xx>1;當(dāng)0<a<1時，原不等式的解集為 X 1<x<-;當(dāng) a1a= 1時，原不等式的解集為？；當(dāng)a>1時，原不等式的解集為 XaVXVI .a跟蹤訓(xùn)練2. 解關(guān)于X的不等式：ax2 22x ax(a<O).解原不等式移項得ax + (a 2)x 2 O,化簡為(x+ 1)(ax 2) O.2TavO, . (x+

12、 1) x一 0.a2當(dāng)一2<a<0 時， x 1;a當(dāng) a= 2 時，x= 1;2當(dāng) a< 2 時，一1xWa綜上所述，2當(dāng)一2<a<0時，解集為x2x 1;a當(dāng)a= 2時，解集為x|x= 1;2當(dāng)a< 2時，解集為X 1x2.a一元二次不等式、二次方程、二次函數(shù)的關(guān)系類鑿探究問題1.利用函數(shù)y= x2 2x 3的圖象說明當(dāng)y>0、y<0、y= 0時X的取值集合分別是什么？這說明二次函數(shù)與二次方程、二次不 等式有何關(guān)系？提示：y = x2 2x 3的圖象如圖所示.函數(shù)y= x2 2x 3的值滿足y>0時自變量X組成的集合，亦即二次函數(shù) y

13、= 2 2x 3的圖象在X軸上方時點的橫坐標(biāo) X的集合xX< 1或x>3;同 理，滿足y<0時X的取值集合為x| 1<x<3,滿足y= 0時X的取值集合，亦 即y= X2 2x 3圖象與X軸交點橫坐標(biāo)組成的集合 1,3 這說明：方程 ax2+ bx + C= 0(a0)和不等式 ax2 + bx+ c>O(a>O)或 ax2 + bx + c<0(a>0)是函數(shù)y= ax2 + bx+ c(a0)的一種特殊情況，它們之間是一種包含 關(guān)系，也就是當(dāng) y= 0時，函數(shù)y= ax2+ bx+ c(a 0)就轉(zhuǎn)化為方程，當(dāng) y>0 或y<

14、;0時，就轉(zhuǎn)化為一元二次不等式2方程X2 2x 3= 0與不等式X2 2x 3>0的解集分別是什么？觀察結(jié) 果你發(fā)現(xiàn)什么問題？這又說明什么？提示：方程X2 2x 3= 0的解集為 1,3.不等式X2 2x 3>0的解集為xx< 1或x>3,觀察發(fā)現(xiàn)不等式 x2 2x 3>0解集的端點值恰好是方程 X2 2x 3 = 0的根.3. 設(shè)一元二次不等式 ax2+ bx + c>0(a>0)和 ax2 + bx+ c<0(a>0)的解集分 別為XX<X1 或 X>X2， X|X1<X<X2(X1<X2)，貝U X1 +

15、 X2， X1X2 為何值？提示：一元二次不等式 ax2+ bx+ c>0(a>0)和ax2 + bx+ c<0(a>0)的解集分X1+ X2 =別為XX<X1 或 X>X2， xX1<X<X2(X1<X2),則a'Cx1x2=a，即不等式的解集的端點值是相應(yīng)方程的根.例3、已知關(guān)于X的不等式ax2+ bx+ c>0的解集為x2<x<3,求關(guān)于X 的不等式cx2+ bx+ a<0的解集解 法一：由不等式ax2+ bx+ c>0的解集為x2<x<3可知，a<0,且2和3是方程ax2 +

16、bx+ C= 0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知 =- 5, C = 6.由a<0 aa知 c<0, b= 5,故不等式 cx2+ bx + a<0,即 x2+ bx+ a>0,即 x2-x+1>0,C 6CC66解得x<3或 x>2,所以不等式Cx2+ bx+ a<0的解集為-, 3 U 1,+ 例3、已知關(guān)于X的不等式ax2+ bx+ c>0的解集為x2<x<3,求關(guān)于X 的不等式cx2+ bx+ a<0的解集.法二：由不等式ax2+ bx+ c>0的解集為x2<x<3可知，a<0,且2和3 是方程

17、 ax2 + bx+ C= 0 的兩根，所以 ax2 + bx+ C= a(x- 2)(x 3) = ax2- 5ax+2 2 16a? b=- 5a, C = 6a,故不等式 CX + bx+ a<0,即 6ax 5ax+ a<0? 6ax-31 1 1X- 2 <0,故原不等式的解集為 -, 3 2，+ .母題探究：1.(變結(jié)論)本例中的條件不變，求關(guān)于 X的不等式cx2- bx+a>0的解集.bC解由根與系數(shù)的關(guān)系知a= - 5, a=6且a<0aab 5.c<0, =-二，故不等式 cx2- bx+ a>0C 62 b a251即 X - ：x

18、+：<0 ,即 X +2x + 2<0.C c ,661 1解之得 X - 1<x< -1.2.(變條件)若將本例中的條件“關(guān)于 X的不等式ax2+ bx+ c>0的解集為21x2<x<3變?yōu)椤瓣P(guān)于X的不等式ax2+ bx + c0的解集是X -3X2 .求不等式CX2+ bx+ a<0的解集.2 11解法一：由ax-+ + bx+ c 0的解集為X 3 x 2 知av O.又一3C× 2=v 0,貝U C>0.a1 2 又一 3, 2為方程ax + bx + C= 0的兩個根,3b_5. b_ 5a 3' a 3又C =

19、 一 12 2, 一 3.X1 = 1 = 3, X2=1，. b = I、1.不等式 Cx2+ bx+ av 0(c>0)的解集為 X 3v XV-a, c= Ia,.不等式變?yōu)?Ia x2+ Ia x+ av 0,即 2ax2+ 5ax 3a> 0.又 T av 0, . 2x2 + 5x 3v 0,1所求不等式的解集為 X 3v XV -.法二：由已知得 av 0 且一15 + 2= b,1 × 2 = C知 c> 0,3 a 3 a設(shè)方程Cx2+ bx + a = 0的兩根分別為X1, X2,貝 U x1 + X2 =X1 x2=C,32'其中a規(guī)律

20、方法已知以a, b, C為參數(shù)的不等式如ax2+ bx+ c>0的解集，求解其他不等式的解集時，一般遵循：(1)根據(jù)解集來判斷二次項系數(shù)的符號；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系把b，C用a表示出來并代入所要解的不等式；(3)約去a，將不等式化為具體的一元二次不等式求解.當(dāng)堂達(dá)標(biāo)固雙基1. ( 2019年興慶區(qū)校級月考)不等式6x2+ X-2 0的解集為 .2 1【答案】X 3 x 2因為 6x2+ X-2 0? (2x- 1)(3x + 2) 0 ,所以、 2 1原不等式的解集為X 3 x 2.2. ( 2019年白山期末)不等式一2x2 + x+ 1<0的解集是.1【答案】 一'- 2 U (1'+ )由 2x2 X- 1>0,得(X- 1)(2x+ 1)>0,1 、 1解得x>1或X<-2，從而得原不