材料力學(xué)第13章能量法

1、第十三章第十三章 能量法能量法13-1 概概 述述 在彈性范圍內(nèi)，彈性體在外力作用下發(fā)生在彈性范圍內(nèi)，彈性體在外力作用下發(fā)生變形而在體內(nèi)積蓄的能量，稱為彈性應(yīng)變能，變形而在體內(nèi)積蓄的能量，稱為彈性應(yīng)變能，簡(jiǎn)稱應(yīng)變能。簡(jiǎn)稱應(yīng)變能。 物體在外力作用下發(fā)生變形，物體的變形物體在外力作用下發(fā)生變形，物體的變形能在數(shù)值上等于外力在加載過(guò)程中在相應(yīng)位移能在數(shù)值上等于外力在加載過(guò)程中在相應(yīng)位移上所做的功，即上所做的功，即=WV13-2 桿件變形能計(jì)算桿件變形能計(jì)算一、軸向拉伸和壓縮一、軸向拉伸和壓縮WV FFlllF 21EAlFF21EAlFEAlFN2222lNxxEAxFVd)(2)(2二、扭轉(zhuǎn)二、扭

2、轉(zhuǎn)WV mmeM21ppepeeIGlTIGlMIGlMM222122lpxxIGxTVd)(2)(2三、彎曲三、彎曲WV 純彎曲：純彎曲：橫力彎曲：橫力彎曲：lxxIExMVd)(2)(2eM21IElMMee21IElMIElMe2222)(xN)(xN)(xM)(xM)(xT)(xTLLPLNGIdxxTEIdxxMEAdxxFV2)(2)(2)(222所有的廣義力均以靜力方式，按一定比例由所有的廣義力均以靜力方式，按一定比例由O增加至最終值。增加至最終值。任一廣義位移任一廣義位移 與整個(gè)力系有關(guān)，但與其相應(yīng)的廣義力與整個(gè)力系有關(guān)，但與其相應(yīng)的廣義力 呈線性關(guān)系。呈線性關(guān)系。i iF 例

3、：試求圖示懸臂梁的應(yīng)變能，并利用功例：試求圖示懸臂梁的應(yīng)變能，并利用功能原理求自由端能原理求自由端B的撓度。的撓度。Fxl解：解：xFxM)(lEIlFxIExMV6d2)(322BwFW21，得由WV EIFlwB33例題：懸臂梁在自由端承受集中力例題：懸臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩及集中力偶矩M0作用。作用。設(shè)設(shè)EI為常數(shù)，試求梁的應(yīng)變能。為常數(shù)，試求梁的應(yīng)變能。LFMeAB解：解： 彎矩方程彎矩方程FxMxMe)( 變形能變形能EILFEIFLMEILMdxFxMEIdxEIxMVeeLeL622)(212)(322222LFM0AB 當(dāng)當(dāng)F和和M0分別作用時(shí)分別作用時(shí)VVV21

4、 用普遍定理用普遍定理EILMEIFLwwweMAFAA23)()(230EILMEIFLeMAFAAe2)()(2EILMEIFMEILFMFwWVeeAeA22621212232EILFVEILMVe62322113-4 互等定理互等定理ji位移發(fā)生點(diǎn)位移發(fā)生點(diǎn)荷載作用點(diǎn)荷載作用點(diǎn)12F1F2F11121F21222F11121，外力所作的功：，后作用先作用21FF1212221112121FFFVe，外力所作的功：，后作用先作用12FF2121112222121FFFVeF21222F11121功的互等定理功的互等定理:212121FF位移互等定理位移互等定理:，則得若21FF 2112

5、 例：求圖示簡(jiǎn)支梁例：求圖示簡(jiǎn)支梁C截面的撓度。截面的撓度。1CwB221BCMwF解：由功的互等定理IElFMwFC1621得：IElMwC1621由此得：F 例：求圖示懸臂梁中點(diǎn)例：求圖示懸臂梁中點(diǎn)C處的鉛垂位移處的鉛垂位移 。C1CwB221BCMwF解：由功的互等定理IElFMwFC2221得：IEMlwC821由此得：F13-5 卡氏定理卡氏定理332211212121FFFWViF1F2F3F1 2 3 i若只給若只給 以增量以增量 ，其余不變，在，其余不變，在 作用下，原各力作用點(diǎn)將產(chǎn)作用下，原各力作用點(diǎn)將產(chǎn)生位移生位移iFiF,21i 變形能的增加量：變形能的增加量：iiiiF

6、FFFV221121iF略去二階小量，則：略去二階小量，則：iiFFFV2211如果把原有諸力看成第一組力，把如果把原有諸力看成第一組力，把 看作第二組力，根據(jù)互等看作第二組力，根據(jù)互等定理：定理：iFiiiiFFFF2211所以：所以：iiFViiFV0iFiiFV變形能對(duì)任一載荷變形能對(duì)任一載荷Fi 的偏導(dǎo)數(shù)，等于的偏導(dǎo)數(shù)，等于Fi作用點(diǎn)沿作用點(diǎn)沿Fi方向的位移方向的位移卡氏第二定理卡氏第二定理推導(dǎo)過(guò)程使用了互等定理，所以只適用線彈性結(jié)構(gòu)。推導(dǎo)過(guò)程使用了互等定理，所以只適用線彈性結(jié)構(gòu)。橫力彎曲：LiLiiidxFxMEIxMdxEIxMFFV)()()2)(2桁架桿件受拉壓：njjjjNE

7、ALFV122njijNjjjNiiFFEALFFV1軸受扭矩作用：LiPiidxFxTGIxTFV)()( 例：圖示剛架，例：圖示剛架，EI=const。求。求A截面的水截面的水平位移平位移 AH 和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角A 。CL12TU41圖示桿系的各桿EA皆相同，桿長(zhǎng)均為a。求桿系內(nèi)的總應(yīng)變能，并用功能原理求A、B兩點(diǎn)的相對(duì)線位移AB。AFCaDaBFaaaBFAllCxyzO13-6 單位載荷法單位載荷法 莫爾積分莫爾積分1F2FCM x( )Mx0( )M xMx( )( )01F2FCClxIExMVd2)(2lxIExMVd2)(200lxIExMxMVd2)()(2011F2FC0F10

8、FC10F1F2F作功：0F0V作功：、21FFV上又作功：在0F1101VVW共做功11VW lxIExMxMVVd2)()(1200MxEIxMxEIxM x MxEIxlll202022( )( )( )( )ddd10M x MxEIxl( )( )d M x MxEIxl( )( )0d M x MxEIxl( )( )0d莫爾定理莫爾定理（莫爾積分）（莫爾積分）M x MxEIxl( )( )0dllplNNxIExMxMxIGxTxTxAExFxFd)()(d)()(d)()(000對(duì)于組合變形：注意：上式中 應(yīng)看成廣義位移，把單位力看成與廣義位移對(duì)應(yīng)的廣義力例：試用莫爾定例：試

9、用莫爾定理計(jì)算圖理計(jì)算圖(a)所示所示懸臂梁自由端懸臂梁自由端B的撓度和轉(zhuǎn)角。的撓度和轉(zhuǎn)角。FABABABlxxx11xxMFxxMbB)(,)()(,) 1 (0所示如圖截面作用一單位力在解：vM x MxEIxBl( )( )0dlxIEFx02d EIFl331)(,)()(,)2(0 xMFxxMcB所示如圖截面作用一單位力偶在BlM x MxEIx( )( )0dlxIEFx0dEIFl2213-7計(jì)算莫爾積分的圖乘法計(jì)算莫爾積分的圖乘法 在應(yīng)用莫爾定理求位移時(shí)，需計(jì)算下列形在應(yīng)用莫爾定理求位移時(shí)，需計(jì)算下列形式的積分：式的積分：lxIExMxMd)()(0lxxMxMd )()(0

10、對(duì)于等直桿，對(duì)于等直桿，EI=const，可以提到積分號(hào)外，可以提到積分號(hào)外，故只需計(jì)算積分故只需計(jì)算積分直桿的直桿的M0(x)圖必定是直線或折線。圖必定是直線或折線。tg)(0 xxMllxxMxxxMxMd )(tgd )()(0tg xCCM0IEMxIExMxMCl00d)()(頂點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)23lh13lh二次拋物線二次拋物線 例：試用圖乘法求所示懸臂梁自由端例：試用圖乘法求所示懸臂梁自由端B的撓度和轉(zhuǎn)角。的撓度和轉(zhuǎn)角。LFIEMxIExMxMwClB00d)()(32212lFlIE IEFl33FlF解（1）求自由端的撓度FlFm=1(2) 求自由端的轉(zhuǎn)角求自由端的轉(zhuǎn)角1212

11、FlIEB順時(shí)針I(yè)EFl22例：試用圖乘法求所示簡(jiǎn)支梁的最大撓度和最大例：試用圖乘法求所示簡(jiǎn)支梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角。qlql28/l/4M325823222maxlqllIEw 53844qlEI解解（1）簡(jiǎn)支梁的最大撓度簡(jiǎn)支梁的最大撓度2183212maxqllIEqlEI324ql28/（2）求最大轉(zhuǎn)角）求最大轉(zhuǎn)角最大轉(zhuǎn)角發(fā)生在兩個(gè)支座處最大轉(zhuǎn)角發(fā)生在兩個(gè)支座處 例：試用圖乘法求所示簡(jiǎn)支梁例：試用圖乘法求所示簡(jiǎn)支梁C截面的撓截面的撓度和度和A、B截面的轉(zhuǎn)角。截面的轉(zhuǎn)角。CL12TU34解：解：2812MlIEwC IElm162l / 4AEIml1213mlEI6順時(shí)針BEIml

12、1223mlEI3逆時(shí)針 例：試用圖乘法求所示懸臂梁自由端例：試用圖乘法求所示懸臂梁自由端B的的撓度和轉(zhuǎn)角。撓度和轉(zhuǎn)角。CL12TU35解：解：432312lqllIEwB qlEI48ql22BEIlql13212qlEI36順時(shí)針ql22 例：試用圖乘法求圖示懸臂梁中點(diǎn)例：試用圖乘法求圖示懸臂梁中點(diǎn)C處的處的鉛垂位移。鉛垂位移。CL12TU36解：解：mlIEwC812 mlEI28 例：圖示梁，抗彎剛度為例：圖示梁，抗彎剛度為EI，承受均布載，承受均布載荷荷q及集中力及集中力X作用。用圖乘法求：作用。用圖乘法求： (1)集中力作用端撓度為零時(shí)的集中力作用端撓度為零時(shí)的X值；值； (2)集

13、中力作用端轉(zhuǎn)角為零時(shí)的集中力作用端轉(zhuǎn)角為零時(shí)的X值。值。CL12TU37F解：解：(1)212322322132aqlaFaaFalIEC 0ql28/)(83alaqlFF(2)211212322132qlFaFalIEC 0ql28/)32(43alaqlF 例：圖示梁的抗彎剛度為例：圖示梁的抗彎剛度為EI，試求，試求D點(diǎn)的點(diǎn)的鉛垂位移。鉛垂位移。CL12TU38解：解：32232aPaIECPaEI3 例：圖示開(kāi)口剛架，例：圖示開(kāi)口剛架，EI=const。求。求A、B兩兩截面的相對(duì)角位移截面的相對(duì)角位移 AB 和沿和沿P力作用線方向的力作用線方向的相對(duì)線位移相對(duì)線位移 AB 。CL12TU39解：解：ABPaEI21813212123233PaEIAB 0 例：用圖乘法求圖示階梯狀梁例：用圖乘