數(shù)列求和的基本方法和技巧與大題

1、.數(shù)列求和的基本方法和技巧一、分組法求和、已知 an3n 1 2n ，求前n項(xiàng)和Sn .12、已知 ann12n，求前 n 項(xiàng)和 Sn .二、裂項(xiàng)法求和（ 1） an111（ 2） an11(11)n(n1) n n 1n(n k ) k n n k1、求數(shù)列1,1,1的前 n 項(xiàng)和 .,1223nn 1'.2、在數(shù)列 a n 中， an12n ，又 bn2，求數(shù)列 b n 的前 n 項(xiàng)的和 .n 1 n 1n 1an an 13、求和 1111.21231231n4、已知在等差數(shù)列 an 中， a3 5, S416 。（1）求 an 的通項(xiàng)公式；（ ）記bn1，求 bn 的前 n 項(xiàng)

2、和。2an 1an'.三、錯(cuò)位相減法求和1、已知 an 3n ，求前 n 項(xiàng)和Sn .n2、求數(shù)列2,4,6,2n, 前 n 項(xiàng)的和 .222232 n3、已知 an(2n1) 3n ，求前 n 項(xiàng)和 Sn .'.四、倒序相加法求和1、求 sin 2 1sin 2 2sin 2 3sin 2 88sin2 89 的值五、利用常用求和公式求和1、已知 log 3 x1，求 x x 2x3xn的前 n 項(xiàng)和 .log 2 32、設(shè) Sn 1 2 3n , n N *, 求 f (n)Sn的最大值 .(n32) Sn 13、求 1 11 111111 1之和.n個(gè)1'.數(shù)列大

3、題專題訓(xùn)練1、設(shè) an 是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，a1 2, a3 a2 4 .( ) 求 an 的通項(xiàng)公式 ;()設(shè)bn 是首項(xiàng)為12的等差數(shù)列，求數(shù)列 an bn的前 n 項(xiàng)和Sn .，公差為2、設(shè)等差數(shù)列an 滿足 a35 ， a109 。（）求an 的通項(xiàng)公式；（）求an 的前 n 項(xiàng)和 Sn 及使得 Sn 最大的序號 n 的值。3、已知等差數(shù)列 an 中， a11， a3 3。（）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列 an 的前 k 項(xiàng)和 Sk 35，求 k 的值。'.4、成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和為15，且這三個(gè)數(shù)分別加上2、5、13 后成為等比數(shù)列bn 中的 b 、b 、b

4、。(I)求數(shù)列bn 的通項(xiàng)公式；(II) 數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，求證：數(shù)列 S5是等比數(shù)列。n45、等比數(shù)列an 的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a13a21,a329a2 a6 .（ ) 求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；（）設(shè) bnlog 3 a1 log 3 a2 . log 3 an , 求數(shù)列1 的前 n 項(xiàng)和 .bn6、設(shè)等比數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn , 已知 a26, 6a1a330, 求 an 和 Sn 。'.7、已知等比數(shù)列 an 的公比 q 3，前 3項(xiàng)和 S3133( ) 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；( ) 若函數(shù) f ( x) A sin(2 x)( A 0,0)

5、 在 x處取得最大值， 且最大值為 a3 ，求函數(shù)6f ( x) 的解析式8、已知等差數(shù)列 an 滿足 a20 ， a6 a810 。（ I ）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；an的前 n 項(xiàng)和（ II ）求數(shù)列2 n1'.參考答案1、解： ( ) 設(shè)等比數(shù)列的公比為q,q0 ，由已知得 2q22q4 ，即q2 或 q1（舍去），所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為 an2n ；( )Sn2n 1n22 。2、解：（）由 ana1 (n 1)d 及 a35 ， a109 得 a19, d2 ；所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an11 2n（） Sn10n n2( n5) 225 ，所以 n5時(shí) Sn 取得最大值。

6、3、解：（）由 a 1， a 3 得 d2 ，所以 a 3 2n；13n（） Skkk(k1)35 ，解得 k 7。4、解： (I) 設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為ad , a, ad ；則 adaad 15a 5 ；數(shù)列 bn中的 b 、 b、 b 依次為7d,10,18d ，則(7d )(18d )100；得 d2 或 d13 （舍），于是 b35,b410bn5 2n 355Sn 155 2n 1(II)數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和 Sn5 2n 2，即 Sn5 2n24244Sn55 2n 24因此數(shù)列Sn5是公比為2 的等比數(shù)列。45、解：（）設(shè)數(shù)列 a n 的公比為 q，由 a29a2a

7、得 a39a2 所以q21。363491由條件可知 a>0, 故 q。31由 2a1 3a21得 2a13a2 q1，所以 a1。3故數(shù)列 a 的通項(xiàng)式為a =1。3nnn（） bnlog 3 a1log 3 a2.log 3 an =(12Ln)n(n1)2故 122( 11)bnn(n1)nn111.12(11 )( 11).(11)2nb1b2bn22 3n n 1n 1'.所以數(shù)列 1 的前 n 項(xiàng)和為2nbnn16、解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為 q ，由題a1q6,解得a13,a12,6a1 a1q2或30,q2,q3.所以如果 a13, 則 an =a1qn 13 2n

8、 1. Sn= a1 (1 qn )3 2n31q如果 a12, 則 an =a1qn 12 3n 1. Sn= a1 (1 qn )3n11q7、解： ( ) 由 q3, S313得 a11，所以 an3n 2；333，所以 A3 ，( ) 由 ( ) 得 a33 ，因?yàn)楹瘮?shù) f ( x) 最大值為又當(dāng) x時(shí)函數(shù) f (x) 取得最大值，所以 sin(3)1，因?yàn)?，故6，6所以函數(shù) f ( x) 的解析式為f ( x)3sin(2 x6) 。8、解：（ I ）設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為 d，由已知條件可得a1d0,2a112d10,a11,故數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an2n. 5 分解得1.d（ IIana1a2Lan,故 S11 ，）設(shè)數(shù)列n 1 的前 n項(xiàng)和為 Sn ，即 Sn2n122Sn