選修2-3二項式定理

1、1.3.11.3.1二項式定理二項式定理汶上一中汶上一中 朱愛珍朱愛珍1008(3)(3)如果是如果是 天后的這一天呢？天后的這一天呢？ (1)(1)今天是星期六，那么今天是星期六，那么7天后天后 的這一天是星期幾呢的這一天是星期幾呢? ?(2)(2)如果是如果是15天后的這一天呢？天后的這一天呢？2)ba（3)(ba322333babbaa222baba？100)(ba)(22bbaababa2ababa3a2baba23bbabab2)()(bababa4 4b b) )（a an nb b) )（a a2 22 22 2b b2 2a ab ba ab b) )（a a3 32 22 2

2、3 33 3b b3 3a ab bb b3 3a aa ab b) )( (a ab ba ab b) )（a a1 14 4b b) )（a a4 4a ab ba a3 32 22 2b ba a3 3a ab b4 4b bn nb b) )（a an na ab ba a1 1- -n n2 2na bn nb b1nab a3 a2b ab2 b3 (ab)2 ( a b ) ( a b )b ) b )(ab)3( ab )( ab )( ab )a33a2b3ab2b30C3C31C32C33選選b a2 ab b20C2C21C22a22abb2(ab)4(ab) (ab)

3、(ab) (ab) a4 a3b a2b2 ab3 b40C4C41C42C43C44a44a3b6a2b24ab3+b4選選b 選選b b問題問題3 3你能寫出你能寫出 的展開式嗎？的展開式嗎？nba)( (1)(1)展開式共有展開式共有n+1n+1項；項； (2)(2)各項的次數(shù)都等于二項式的次數(shù)各項的次數(shù)都等于二項式的次數(shù)n n； 字母字母 按按降冪降冪排列排列, ,次數(shù)由次數(shù)由n n遞減到遞減到0 0； 字母字母 按按升冪升冪排列排列, ,次數(shù)由次數(shù)由0 0遞增到遞增到n n ab)(CCC)(*110NnbbabaaCbannnkknknnnnnn )(CCC)(*110Nnbbab

4、aaCbannnkknknnnnnn (4)(4)二項展開式中二項展開式中, ,系數(shù)系數(shù) 叫叫作作二項式系數(shù)二項式系數(shù), ,即即), 1 , 0(nkCkn nnnnCC,C,C,2n10(3)(3)二項展開式的二項展開式的通項通項：kknknkbaCT 1, 1 , 0nk 其中其中第第1 1項項 第第2 2項項第第k+1k+1項項 該公式所表示的定理叫做該公式所表示的定理叫做二項式定理二項式定理，右邊的多項式叫做右邊的多項式叫做 的的二項展開式二項展開式，其中的系數(shù)其中的系數(shù) 叫做叫做二項式二項式系數(shù)系數(shù)。式中。式中 的叫做的叫做二項式通項二項式通項， 用用 表示。表示。 nba)( nr

5、Crn, 2 , 1 , 0rrnrnbaC1rTnba)(222bannCbaannnnCC110nnnrrnrnbbaCC)(*Nn二項式定理二項式定理的的二項展開式二項展開式的通項與的通項與的通項是否一致呢？的通項是否一致呢？nba)( nrCrn, 2 , 1 , 0rrnrnbaC 1rTnab)( rrnrnabC 1rT43243243243244641)(4641)(4641)(4641)(_1.xxxxDxxxxCxxxxBxxxxAx ）展展開開（練練習(xí)習(xí)_11.14 ）展展開開（例例x特別地特別地: 2、令令a=1，b=x1、把把b用用- -b代替代替 (a-b)n= C

6、nan-Cnan-1b+ +(-1)rCnan-rbr + +(-1)nCnbn01rnn) 11 ( n2nnnrrnnnnxCxCxCxCx 22111）（01CCCnnnn3、)(Nn011()nnnrn r rn nnnnna bC aCa bC a bC b二項展開式定理二項展開式定理: :1 10 00 01 10 00 01 1）（7 78 8r r1 10 00 0r r1 10 00 09 99 91 11 10 00 01 10 00 00 01 10 00 07 7C C7 7C C7 7C C1 10 00 01 10 00 01 19 99 91 10 00 0C C

7、7 7C C 余數(shù)是余數(shù)是1 1， 所以是所以是星期日星期日）（9 99 91 10 00 09 99 90 01 10 00 0C C7 7C C71 11008(3)(3)今天是星期六，那么今天是星期六，那么 天后天后的這一天是星期幾？的這一天是星期幾？解解:6631(2)1)xxxx1=(261524336663)(2 )(2 )(2 )xCxCxCxx1=(24256666(2 )(2 )CxCxC32236012164192240160 xxxxxx=例例2 2、求、求 的展開式的展開式 6)12(xx 應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例求第三項二項式的系數(shù)及第三項的系數(shù)求第三項二項式的系數(shù)及第三項的

8、系數(shù)2.2.求二項式系數(shù)或項的系數(shù)的一種方法是求二項式系數(shù)或項的系數(shù)的一種方法是1.1.區(qū)別區(qū)別二項式系數(shù)二項式系數(shù)與與項的系數(shù)項的系數(shù)的概念的概念二項式系數(shù)二項式系數(shù)為為 ；項的系數(shù)項的系數(shù)為：為：knC注意：注意：二項式系數(shù)與數(shù)字系數(shù)的積二項式系數(shù)與數(shù)字系數(shù)的積將二項式展開將二項式展開7)3x: :( (1 1) )求求（1 1+ +2 2的的展展開開式式的的第第例例4 4項項的的系系數(shù)數(shù)931)xxx (2)(2)求求（的的展展開開式式中中的的系系數(shù)數(shù)和和中中間間項項解解:37 3333 17(1)1(2 )280TCxx第四項系數(shù)為第四項系數(shù)為28099 21991(2)()( 1)r

9、rrrrrrTC xC xx 339923,84rxC 3由得r=3.故 的系數(shù)為(-1)49 444 1959 555 1915,6,()70170()TC xxxTC xxx中間一項是第項 (2)：由：由 展開式所得的展開式所得的x的的多項式中，系數(shù)為有理數(shù)的共有多少項？多項式中，系數(shù)為有理數(shù)的共有多少項？1003)23( x例例4(1)：試判斷在：試判斷在 的展開式中有的展開式中有無常數(shù)項？如果有，求出此常數(shù)項；如果無常數(shù)項？如果有，求出此常數(shù)項；如果沒有，說明理由沒有，說明理由.8312xx解：設(shè)展開式中的第解：設(shè)展開式中的第r+1項為常數(shù)項，則：項為常數(shù)項，則：8824 431883

10、11122rrrrrrrrxTCCxx 由題意可知，由題意可知，244063rr故存在常數(shù)項且為第故存在常數(shù)項且為第7項，項，常數(shù)項常數(shù)項8 6660781172TCx 常數(shù)項即常數(shù)項即 項項.0 x例例4(1)：試判斷在：試判斷在 的展開式中有的展開式中有無常數(shù)項？如果有，求出此常數(shù)項；如果無常數(shù)項？如果有，求出此常數(shù)項；如果沒有，說明理由沒有，說明理由.8312xx100,.236,0100.0,6,12,96,17.r rTrr均為整數(shù)時為有理數(shù)為 的倍數(shù) 且即r為展開式中共有項有理項解：解： 的展開式的通項公式為：的展開式的通項公式為：1003)23( x100100100332110

11、01003232rrrrrrrrTCxCx012100r ， ， ， ，點評：點評：求常數(shù)項、有理項等特殊項問題一般由求常數(shù)項、有理項等特殊項問題一般由通項公式入手分析，綜合性強，考點多且對思通項公式入手分析，綜合性強，考點多且對思維的嚴(yán)密性要求也高維的嚴(yán)密性要求也高.有理項即有理項即整數(shù)次冪整數(shù)次冪項項 (2)：由：由 展開式所得的展開式所得的x的的多項式中，系數(shù)為有理數(shù)的共有多少項？多項式中，系數(shù)為有理數(shù)的共有多少項？1003)23( x12312.3931133nnnnnnnnnnCCCC等于（ ）44 A.4 B.3 4 C. D.0kkn122nnnnnnn(1+x) = C +C x+C x +C x +C x拓展訓(xùn)練：拓展訓(xùn)練