第五節(jié)對坐標的曲面積分PPT課件

1、第五節(jié)第五節(jié) 對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分第五節(jié)第五節(jié) 對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分一一.對坐標的曲面積分的概念與性質對坐標的曲面積分的概念與性質曲面的方向雙側曲面有兩個側面，任意規(guī)定一個側面為正側，另一個側面便是負側- 為非封閉曲面:由曲面上法向量的方向來確定正負側.為封閉曲面: 一般外側為正側,內側為負側.這種取定了法向量也就確定了側的曲面叫有向曲面例如:曲面x=x(y,z),如果法向量指向前,則確定前側為正側,后側為負側例: 流體的流量設不可壓縮流體(設=1)穩(wěn)定流動,其流速為 v v(x,y,z)=P(x,y,z)i i+Q(x,y,z)j j+R(x,y,z)k k,其中P(

2、x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在有向曲面上連續(xù),求單位時間內流過曲面正側的流量.如果是平面,面積為S,流速v v=Pi i+Qj j+Rk k為常向量kjincoscoscos0分別在yoz,zox,xoy面上的投影則SS)cos(|)(00nv,vnv為的單位法向量其坐標表示式SRkQjPi)coscos(cos)(kjiSRSQSPcoscoscosxyzxyzSRSQSP一般情況, 是曲面,v的大小和方向都變化.將任意分成n個子曲面,iSxyiS,zxiS,yziSiS在yoz,zox,xoy面上的投影分別為iS上任取一點),(iiiiM在該點的單位法向量為0iniii

3、iiiS0),(nviiiiiiiiiiiiiSRQPcos),(cos),(cos),(xyiiiSS,cos,cos,zxiiiSS,cos,yziiiSS設R(x,y,z)是定義在有向曲面上的有界函數(shù),定義xyiiiniiSR,1),(作和式 nixyiiiizxiiiiyziiiiSRSQSP1,),(),(),(nixyiiiizxiiiiyziiiidSRSQSP1,0),(),(),(lim其中d為n個子曲面的最大直徑的單位法向量為,0n將任意分成n個子曲面,iSiS在xoy面上的投影為,xyiS上任取一點iS),(iiixyiiiniidSR,10),(limdxdyzyxR)

4、,(R(x,y,z)在有向曲面上對坐標x,y的曲面積分(第二類)同理P(x,y,z), Q(x,y,z)在有向曲面上對坐標y,z和z,x的曲面積分為zxiiiniidSQ,10),(limdzdxzyxQ),(yziiiniidSP,10),(limdydzzyxP),(2)如果f(x,y,z)在曲面上連續(xù)，則曲面積分存在(1)若是封閉曲面，則上述積分記為dxdyzyxR),(注:(3) 常見組合積分RdxdyQdzdxPdydz(例如流量)(4) 基本性質與第一類曲面積分類似,兩類積分的最主要 的區(qū)別為dxdyzyxR),(dxdyzyxR),(對第二類曲面積分,必須注意曲面所取的側二、對坐

5、標的曲面積分的計算法二、對坐標的曲面積分的計算法化成的投影區(qū)域上的二重積分(1) 設的方程為: z=z(x,y) ,在xoy面上的投影為xyDz(x,y) 在 上有一階連續(xù)偏導數(shù),xyD可以證明:(2). 設的方程為: x=x(y,z)注意： 取上側時為正號; 取下側時為負號.注意： 取前側時為正號; 取后側時為負號.dxdyzyxR),(xyDdxdyyxzyxR),(,dzdxzyxQ),(dydzzyxP),(yzDdydzzyzyxP,),(3). 設的方程為: y=y(z,x)zxDdzdxzxzyxQ),(,注意： 取右側時為正號; 取左側時為負號. 例1 計算xyzdxdy解其中

6、為1222zyx外側在0, 0yx的部分212221:yxz上側2211:yxz下側21兩者的投影域相同,為)0, 0( 1:22yxyxDxy2xyzdxdy1xyzdxdyxyzdxdyxyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy)1(12222xyDdxdyyxxy22121023012sin2drrrd152例2 計算流速為 v = v = x,2y,3z的不可壓縮流體在單位時間內穿過 表面外側的流量)0(222azzyx設=1解則流量zdxdyydzdxxdydz32zdxdyydzdxxdydz32132(1) 求xdydz1321221:yzx后側222:yzx前側上側az :3

7、在yoz面上的投影為零兩者的在yoz面上投影域同為azzyzDyz0 ,:xdydz13xdydz2xdydz1xdydz2xdydz1xdydzyzyzDDdydzyzdydzyz)222232322adydzyzyzD(2).同理32322aydzdx(3).433333zdxdyzdxdyzdxdy:3z=a 上側224:yxz下側投影域都是222:ayxDxyxyxyDDdxdyyxadxdy2233330220333adrrdaa由(1),(2),(3)得33212 a在第四卦限部分的上側為平面為連續(xù)函數(shù)其中，例1,dd ),(dd ),(2dd ),(. 3zyxfyxzzyxfx

8、zyzyxfzyxzyxfyxzzyxfxzyzyxfzyxzyxfdd ),(dd ),(2dd ),(dScos)(cos)2(cos)(zfyfxfDzfyfxfd)()2()(31Dzyxd)(3121三三 高斯公式高斯公式空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關系定理 (高斯定理) 設函數(shù)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在空間閉區(qū)域上具有一階連續(xù)偏導數(shù),則:RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(其中是的邊界曲面外側高斯公式證 設閉區(qū)域在 xoy 面上的投影域為xyD邊界曲面與平行于 z 軸的直線相交不多于兩點,則分成上下兩曲面),(:22

9、yxzz 上側),(:11yxzz 下側21xyD xyDyxzyxzdxdydzzRdvzR),(),(21xyDdxdyyxzyxRyxzyxR),(,),(,1212),(),(dxdyzyxRdxdyzyxR由曲面積分計算法dxdyzyxR),(PdydzdvxPQdzdxdvyQ同理RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(三式相加如果曲面與平行于 z 軸的直線相交多于兩點,則將分成小塊,利用區(qū)域的可加性易證.注意:對于閉曲面上的第二類曲面積分,利用高斯公式化成三重積分計算簡便.例1.(上節(jié)例題2)zdxdyydzdxxdydz32高斯公式dv)321 (326aV例2 dxdyxyzdzdxyzxdydzzxy)()()(222222為)0(222azyxz下側解非封閉曲面,不能直接用高斯公式,可以加輔助曲面:1)()()(222222dxdyxyzdzdxyzxdydzzxydvyx) 122(dv24a21:az 上側1)()()(222222dxdyxyzdzdxyzxdydzzxy1)(22dxdyxyzxyDdxdyxya)(222423adxdyxyzdzdxyzxdydzzxy)()()(22222244423211aaa).(:. 1)(lim), 0()(0ddedd)(dd)(,0. 302xfxfxfyxzxzx