山東高考之導(dǎo)數(shù)匯總

1、高考真題之導(dǎo)數(shù) 李傳文導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用2006年18（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)，其中，求的單調(diào)區(qū)間.解：由已知得函數(shù)的定義域為，且（1）當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，（2）當時，由解得、隨的變化情況如下表0+極小值從上表可知當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上所述：當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增.2007年(22)(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+b ln(x+1),其中b0.()當b>時，判斷函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性；（）求函數(shù)f(x)的極值點；（）證明對任意的正整數(shù)n,不等式ln()都成立.22【答案】(I) 函數(shù)的定義域為.，令

2、，則在上遞增，在上遞減，.當時，在上恒成立.即當時,函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增。（II）分以下幾種情形討論：（1）由（I）知當時函數(shù)無極值點.（2）當時，時，時，時，函數(shù)在上無極值點。（3）當時，解得兩個不同解，.當時，此時在上有唯一的極小值點.當時，在都大于0 ，在上小于0 ，此時有一個極大值點和一個極小值點.綜上可知，時，在上有唯一的極小值點；時，有一個極大值點和一個極小值點；時，函數(shù)在上無極值點。（III） 當時，令則在上恒正，在上單調(diào)遞增，當時，恒有.即當時，有，對任意正整數(shù)，取得2008年21（本小題滿分12分）已知函數(shù)，其中，為常數(shù)（）當時，求函數(shù)的極值；（）當時，證明：對任意的正整數(shù)

3、，當時，有21（）解：由已知得函數(shù)的定義域為，當時，所以（1） 當時，由得，此時當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增（2）當時，恒成立，所以無極值綜上所述，時，當時，在處取得極小值，極小值為當時，無極值（）證法一：因為，所以當為偶數(shù)時，令，則（）所以當時，單調(diào)遞增，又，因此恒成立，所以成立當為奇數(shù)時，要證，由于，所以只需證，令，則（），所以當時，單調(diào)遞增，又，所以當時，恒有，即命題成立綜上所述，結(jié)論成立證法二：當時，當時，對任意的正整數(shù)，恒有，故只需證明令，則，當時，故在上單調(diào)遞增，因此當時，即成立故當時，有即A B C x 2009年21）（本小題滿分12分）兩縣城A和B相距20Km，現(xiàn)計劃在兩縣

4、城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點C建造垃圾理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的距離有關(guān)，對城A和城B的總影響度為對城A與對城B的影響度之和。記C點到城A的距離xKm，建在C處的垃圾處理廠對城B的影響度為Y，統(tǒng)計調(diào)查表明；垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城B的平方成反比，比例系數(shù)為4；城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為K，當垃圾處理廠建在弧的中點時，對城A和城B）總影響度為0.065（）將Y表示成X的函數(shù)；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）討論（）中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最??？若存在，求出該點

5、城A的距離；若不存在，說明理由。21. 解法一:（1）如圖,由題意知ACBC,其中當時，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函數(shù)為（2）,令得,所以,即,當時, ,即所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù),當時, ,即所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù).所以當時, 即當C點到城A的距離為時, 函數(shù)有最小值.解法二: （1）同上.（2）設(shè),則,所以當且僅當即時取”=”.下面證明函數(shù)在(0,160)上為減函數(shù), 在(160,400)上為增函數(shù).設(shè)0<m1<m2<160,則 ,因為0<m1<m2<160,所以4>4×240×2409 m1m2<9×

6、160×160所以,所以即 函數(shù)在(0,160)上為減函數(shù).同理,函數(shù)在(160,400)上為增函數(shù),設(shè)160<m1<m2<400,則因為1600<m1<m2<400,所以4<4×240×240, 9 m1m2>9×160×160所以,所以即函數(shù)在(160,400)上為增函數(shù).所以當m=160即時取”=”,函數(shù)y有最小值,所以弧上存在一點，當時使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小.2010年22)(本小題滿分14分)已知函數(shù).()當時，討論的單調(diào)性；（）設(shè)當時，若對任意，存在，使，求實

7、數(shù)取值范圍.【解析】()原函數(shù)的定義域為（0，+，因為 =，所以當時，令得，所以此時函數(shù)在（1，+上是增函數(shù)；在（0，1）上是減函數(shù)；當時，所以此時函數(shù)在（0，+是減函數(shù)；當時，令=得，解得（舍去），此時函數(shù)在（1，+上是增函數(shù)；在（0，1）上是減函數(shù)；當時，令=得，解得，此時函數(shù)在（1，上是增函數(shù)；在（0，1）和+上是減函數(shù)；當時，令=得，解得，此時函數(shù)在1）上是增函數(shù)；在（0，）和+上是減函數(shù)；當時，由于，令=得，可解得0，此時函數(shù)在（0，1）上是增函數(shù)；在（1，+上是減函數(shù)。（）當時，在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，2）上是增函數(shù)，所以對任意，有，又已知存在，使，所以，即存在，使，即，

8、即，所以，解得，即實數(shù)取值范圍是。【命題意圖】本題將導(dǎo)數(shù)、二次函數(shù)、不等式知識有機的結(jié)合在一起，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的最值問題，考查了同學(xué)們分類討論的數(shù)學(xué)思想以及解不等式的能力；考查了學(xué)生綜合運用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力。（1）直接利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值、利用二次函數(shù)知識或分離常數(shù)法求出在閉區(qū)間1,2上的最大值，然后解不等式求參數(shù)。2011年21.（本小題滿分12分）某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計要求容器的體積為立方米，且.假

9、設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為.設(shè)該容器的建造費用為千元.（）寫出關(guān)于的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域；（）求該容器的建造費用最小時的.【解析】（）因為容器的體積為立方米，所以,解得,所以圓柱的側(cè)面積為=,兩端兩個半球的表面積之和為,所以+,定義域為(0,).（）因為+=,所以令得:; 令得:,所以米時, 該容器的建造費用最小.2012年22(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(x) = （k為常數(shù)，e=2.71828是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線y= f(x)在點（1，f(1)）處的切線與x軸平行。（）求k的值；（）求f(x)的單

10、調(diào)區(qū)間；（）設(shè)g(x)=(x2+x) ,其中為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，證明：對任意x0，。解析：由f(x) = 可得，而，即，解得；（），令可得，當時，；當時，。于是在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；在內(nèi)為減函數(shù)。簡證（），當時， ，.當時，要證。只需證，然后構(gòu)造函數(shù)即可證明.2013年21、（本小題滿分13分） 設(shè)函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)，）（）求的單調(diào)區(qū)間、最大值； （）討論關(guān)于的方程根的個數(shù)。21、解：（）， 由 ，解得， 當 時，單調(diào)遞增； 當 時，單調(diào)遞減. 所以，函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，最大值為. （）令. （1） 當 時， ，則， 所以 . 因為 ， 所以 因此 在上單調(diào)遞增.（2）當

11、時， ，則，所以 .因為，所以.又，所以，即，因此 在上單調(diào)遞減.綜合（1）（2）可知 當 時，.當，即時，沒有零點，故關(guān)于的方程的根的個數(shù)為0；當，即時，只有一個零點，故關(guān)于的方程的根的個數(shù)為1；當，即時， 當時，由（）知 ， 要使，只需使，即 ； 當時，由（）知 ， 要使，只需使，即 ；所以 時，有兩個零點，故關(guān)于的方程的根的個數(shù)為2.綜上所述，當時，關(guān)于的方程的根的個數(shù)為0；當時，關(guān)于的方程的根的個數(shù)為1；當時，關(guān)于的方程的根的個數(shù)為2.2014年（20）（本小題滿分13分）設(shè)函數(shù)（為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）.（）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點，求的取值范圍.20解

12、：由題，。由可得，所以當時，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)單調(diào)遞增。所以，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；由知，時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，所以在內(nèi)不存在極值點；當時，設(shè)，因，當時，當時，函數(shù)單調(diào)遞增。所以在內(nèi)不存在兩個極值點；當時，得：當時，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)單調(diào)遞增。所以函數(shù)的最小值為。函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點，當且僅當，解得。綜上所述，函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點時，的取值范圍為。2015年（21） （本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)，其中.（）討論函數(shù)極值點的個數(shù)，并說明理由；（）若，成立，求的取值范圍.解：（），定義域為，設(shè)，當時，函數(shù)在為增函數(shù)，無極值點.當時，若時，函數(shù)在為增函數(shù)，無極值點.若時，設(shè)

13、的兩個不相等的實數(shù)根，且，且，而，則，所以當單調(diào)遞增；當單調(diào)遞減；當單調(diào)遞增.因此此時函數(shù)有兩個極值點；當時，但，所以當單調(diào)遞増；當單調(diào)遞減.所以函數(shù)只有一個極值點。 綜上可知當時的無極值點；當時有一個極值點；當時，的有兩個極值點.（）由（）可知當時在單調(diào)遞增，而，則當時，符合題意；當時，在單調(diào)遞增，而，則當時，符合題意；當時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，而，則當時，不符合題意；當時，設(shè)，當時，在單調(diào)遞增，因此當時，于是，當時，此時，不符合題意.綜上所述，的取值范圍是.另解：（），定義域為，當時，函數(shù)在為增函數(shù)，無極值點.設(shè)，當時，根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知的根的個數(shù)就是函數(shù)極值點的個數(shù).若，即時，函數(shù)在為增函數(shù)，無極值點.若，即或，而當時此時方程在只有一個實數(shù)根，此時函數(shù)只有一個極值點；當時方程在都有兩個不相等的實數(shù)根，此時函數(shù)有兩個極值點；綜上可知當時的極值點個數(shù)為0；當時的極值點個數(shù)為1；當時，的極值點個數(shù)為2.（）設(shè)函數(shù)，都有成立.即當時，恒成立；當時，；當時，；由均有成立。故當時，則只需；當時，則需，即.綜上可知對于，都有成立，只需即可，故所求的取值范圍是.另解：設(shè)函數(shù)，要使，都有成立，只需函數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增即可，于是只需，成立，當時，令，則；當時；當，令，關(guān)于單調(diào)遞增，則，則,于是