實(shí)驗(yàn)三,四連續(xù)時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)

1、實(shí)驗(yàn)三 連續(xù)時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù) 成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)就是它們的頻率互為整數(shù)倍的信號(hào)，傅立葉級(jí)數(shù)將周期信號(hào)表示成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)的加權(quán)和,如（3.1）和（3.2）式。因?yàn)閺?fù)指數(shù)信號(hào)是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。所以這種表示能夠直接計(jì)算在一給定周期輸入下一個(gè)系統(tǒng)的輸出. （3.1） （3.2）§3.1 連續(xù)時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)目的 本練習(xí)要檢驗(yàn)連續(xù)時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)（CTFS）的性質(zhì)。相關(guān)信號(hào)考慮信號(hào)，式中。x=sym('cos(w*t)+sin(2*w*t)');>> x1=subs(x,2*pi,'w');>> ezplot(x1,-1

2、:1);>>x=sym('cos(w*t)+sin(2*w*t)');x1=subs(x,2*pi,'w');syms t;n=-6:6Fn=int(x1*exp(-i*n*2*pi*t),0,1);F=abs(Fn);F=double(F);stem(n,F); 中等題1滿足的最小周期T是多少？利用這個(gè)值，用定義求的CTFS系數(shù)。2考慮信號(hào)，利用CTFS的時(shí)間倒置和共軛性質(zhì)求的CTFS系數(shù)。syms t;x=sym('cos(2*pi*t)+sin(2*2*pi*t)');x1=subs(x,'-t','t&

3、#39;);y=x+x1;n=-6:6;Fn=int(y*exp(-1i*n*2*pi*t),0,1);F=abs(Fn);F=double(F);stem(n,F);3在上畫出信號(hào)。能預(yù)計(jì)出什么樣的對(duì)稱性？能夠利用CTFS的對(duì)稱性說(shuō)明它嗎？>> syms t;x=sym('cos(2*pi*t)+sin(2*2*pi*t)');x1=subs(x,'-t','t');y=x+x1;ezplot(y,-1:1);§3.2 連續(xù)時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)中的能量關(guān)系目的 分別在時(shí)域和頻域求信號(hào)能量，驗(yàn)證帕斯瓦爾定理。相關(guān)知識(shí) 一個(gè)硬限幅器

4、是一種器件，其輸出是即時(shí)輸入信號(hào)符號(hào)的函數(shù)，具體說(shuō)就是當(dāng)輸入信號(hào)是正時(shí)，輸出信號(hào)等于1；而當(dāng)是負(fù)時(shí)，輸出信號(hào)等于1。調(diào)頻（FM）的某些部分或雷達(dá)系統(tǒng)中都常用硬限幅器處理某一即時(shí)輸入信號(hào)的相位，而不管任何可能的幅度失真。在本練習(xí)中要考慮將信號(hào)通過(guò)硬限幅器的輸出的問(wèn)題。中等題1求信號(hào)的CTFS表示。提示：利用CTFS性質(zhì)，并根據(jù)周期為T的對(duì)稱方波 具有CTFS系數(shù)為 的知識(shí)。syms t;k=-50:50;ak=sin(k)*pi/2)./(k)*pi);Fy=ak.*(1-exp(-1i*(k)*pi);figure(1);stem(k,abs(Fy);f=Fy.*exp(1i.*(k)*pi*

5、t);y=simple(sum(f);figure(2);ezplot(t,y);2一個(gè)周期信號(hào)的基波分量的能量可以定義為，其中是該信號(hào)的CTFS。試計(jì)算輸出和輸入中的基波分量的能量，能量有增益或損失嗎？能說(shuō)明能量變化的原因嗎？3利用帕斯瓦爾定理求該信號(hào)一個(gè)周期內(nèi)的總能量，利用前100個(gè)頻率，即近似這個(gè)和式，這個(gè)和式收斂到何值？4為了觀察該能量估計(jì)值收斂得有多快，試畫出該信號(hào)能量估計(jì)值作為在和式中所用項(xiàng)數(shù)個(gè)數(shù)的函數(shù)圖。 §3.3 用傅立葉級(jí)數(shù)綜合連續(xù)時(shí)間信號(hào)目的 學(xué)習(xí)CTFS系數(shù)的連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅立葉分析與綜合。 相關(guān)知識(shí) 一大類連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)可以表示成如下和式 式中是連續(xù)時(shí)間傅立

6、葉級(jí)數(shù)（CTFS）。本練習(xí)要綜合具有較少非零系數(shù)個(gè)數(shù)的信號(hào)，將考慮具有無(wú)限個(gè)非零CTFS系數(shù)的連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅立葉分析與綜合?；绢} 對(duì)于這些習(xí)題要用少數(shù)幾個(gè)非零的傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)構(gòu)造周期信號(hào)的符號(hào)表達(dá)式。3個(gè)信號(hào)的基波周期和非零的CTFS系數(shù)給出如下：對(duì)每一信號(hào)創(chuàng)建連續(xù)時(shí)間信號(hào)的符號(hào)表達(dá)式，并用ezplot畫出信號(hào)的兩個(gè)周期。 思考：怎樣本就能由傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)預(yù)計(jì)到哪個(gè)信號(hào)應(yīng)該是實(shí)信號(hào)？§3.4方波的傅立葉表示目的 這個(gè)練習(xí)要用傅立葉級(jí)數(shù)分析周期方波，對(duì)信號(hào)將研究截?cái)嗟母盗⑷~級(jí)數(shù)重構(gòu)公式，特別要研究隨N的增大，是如何收斂的？相關(guān)知識(shí) 一般來(lái)說(shuō)，傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)可有無(wú)限個(gè)非零值。譬如，任

7、何具有間斷點(diǎn)的信號(hào)都一定有一個(gè)無(wú)限個(gè)非零系數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)表示，而對(duì)數(shù)值計(jì)算來(lái)說(shuō)，這是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。有限項(xiàng)和對(duì)某個(gè)相對(duì)小的整數(shù)N往往是一個(gè)很好的近似。方波 考慮一個(gè)基波周期T=2的周期方波，在區(qū)間內(nèi)該方波由下式表示， 如下圖示：這個(gè)練習(xí)將分析方波的傅立葉級(jí)數(shù)表示，且主要集中在方波的不連續(xù)點(diǎn)。1利用int創(chuàng)建一個(gè)符號(hào)表達(dá)式a，它包含了該方波每個(gè)k值的傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)。這個(gè)符號(hào)表達(dá)式是k的函數(shù)。利用stem畫出內(nèi)的傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。2對(duì)N=1，3，5和9，對(duì)創(chuàng)建符號(hào)表達(dá)式。利用ezplot畫出區(qū)間內(nèi)的，用hold將4張圖畫在同一幅圖上。3在時(shí)，的值是多少？這個(gè)值隨N增加而變化嗎？4不用明確地求出，對(duì)每個(gè)

8、N值估計(jì)一下超量誤差值。這個(gè)超量誤差隨N增加而減小嗎？隨，如何預(yù)期這個(gè)值的變化？實(shí)驗(yàn)四 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換（CTFT） （4.1） （4.2）將連續(xù)時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)（CTFS）推廣到既能對(duì)周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)，又能對(duì)非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行頻域分析。另外，許多LTI系統(tǒng)的特性行為要比時(shí)域容易理解。為了更有效地應(yīng)用頻域方法，重要的是要將信號(hào)的時(shí)域特性是如何與它的頻域特性聯(lián)系起來(lái)的建立直觀的認(rèn)識(shí)。本練習(xí)就是要對(duì)一般的信號(hào)幫助建立這一直觀性，尤其是在LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)和頻率響應(yīng)之間建立這一直觀性。§4.1連續(xù)時(shí)間傅立葉變換的數(shù)字近似目的 將連續(xù)時(shí)間傅立葉變換進(jìn)行數(shù)字近似，

9、用函數(shù)fft（快速傅立葉算法）高效地計(jì)算這個(gè)近似值。相關(guān)知識(shí)很多信號(hào)都能用（4.1）式連續(xù)時(shí)間傅立葉變換（CTFT）來(lái)表示。利用MATLAB可以計(jì)算（CTFT）積分的數(shù)值近似。利用在密集的等間隔t的樣本上的求和來(lái)近似這個(gè)積分，就可以用函數(shù)fft高效地計(jì)算這個(gè)近似值。所用的近似式是根據(jù)積分的定義得到的，即 （4 .3）對(duì)于一般信號(hào)，在足夠小的下，上式右邊的和式是對(duì)于CTFT積分的一個(gè)好的近似。若信號(hào)對(duì)于和為零，那么這個(gè)近似式就能寫成 （4.4）式中，N為一整數(shù)?？梢岳煤瘮?shù)fft對(duì)一組離散的頻率計(jì)算上式中的和式。如果N個(gè)樣本是存在向量x內(nèi)的話，那么調(diào)用函數(shù)X=tau*fft(x)就可以計(jì)算出 （

10、4.5）式中 以及N假設(shè)為偶數(shù)。為了計(jì)算高效，fft在負(fù)的頻率樣本之前先產(chǎn)生正頻率樣本。為了將頻率樣本置于上升的順序，能用函數(shù)fftshift。為了將存入X中的的樣本排列成使就是對(duì)于，在上求得的CTFT,可用X=fftshift(tau*fft(x)。 本練習(xí)要用函數(shù)fft和截?cái)嗟慕频腃TFT。將會(huì)看到，對(duì)于足夠小的，對(duì)能計(jì)算出一個(gè)準(zhǔn)確的數(shù)字近似?；绢}1求CTFT的解析表達(dá)式。可將看作，。2創(chuàng)建一個(gè)向量，它包含了在區(qū)間t=0:tau:T-tau 上（其中和），信號(hào)的樣本。3鍵入y=fftshift(tau*fft(y)計(jì)算樣本。因?yàn)閷?duì)于基本上為零，就能近似用個(gè)樣本分析中計(jì)算出信號(hào)的CTFT

11、。4構(gòu)造一個(gè)頻率樣本向量w，它按照>> w=-(pi/tau)+(0:N-1)*(2*pi/(N*tau);與存在向量Y中的值相對(duì)應(yīng)。5因?yàn)槭峭ㄟ^(guò)時(shí)移與相聯(lián)系的，所以CTFT就以線性相移項(xiàng)與相聯(lián)系。利用頻率向量w直接由Y計(jì)算的樣本，并將結(jié)果存入x中。6利用abs和angle畫出在w標(biāo)定的頻率范圍內(nèi)X的幅值和相位。對(duì)于相同的值，也畫出在1中所導(dǎo)出的解析式表達(dá)式的幅值和相位。CTFT的近似值與解析導(dǎo)得的相符嗎?若想在一張對(duì)數(shù)坐標(biāo)上畫出幅值，可以用semilogy，這是會(huì)注意到，在較高的頻率上近似不如在較低的頻率上好。因?yàn)橛昧藰颖窘?，所以在時(shí)間段長(zhǎng)度內(nèi)，信號(hào)變化不大的那些信號(hào)的頻率分量

12、近似程度會(huì)更好一些。7利用abs和angle畫出Y的幅值和相位，它們與X的圖比較后怎樣？能估計(jì)到這一結(jié)果嗎？§4.2連續(xù)時(shí)間傅立葉變換性質(zhì)目的 這個(gè)練習(xí)要借助于在頻域和時(shí)域分析與操作聲音信號(hào)來(lái)加深理解連續(xù)時(shí)間傅立葉變換CTFT。相關(guān)知識(shí) 在MATLAB中聲音信號(hào)是用含有連續(xù)時(shí)間聲音信號(hào)樣本的向量表示的，采樣率定為8192Hz，也即聲音信號(hào)是每隔采樣一次。更仔細(xì)一些，對(duì)于一個(gè)聲音信號(hào)，在區(qū)間上，以8192Hz采樣，代表該聲音信號(hào)的N個(gè)元素向量y由下式給出： 然后，函數(shù)sound能用來(lái)在計(jì)算機(jī)的揚(yáng)聲器上放出該信號(hào)。 雖然這是一個(gè)連續(xù)時(shí)間聲音信號(hào)的采樣表示，倘若在采樣區(qū)間以外是零，而且采樣

13、率是足夠快的，那么y就能認(rèn)為是的一個(gè)準(zhǔn)確表示。在開(kāi)始這個(gè)練習(xí)之前，必須首先裝入一個(gè)采樣的聲音信號(hào)，這可鍵入>> load splat>> y=y(1:8192);為了確認(rèn)已準(zhǔn)確無(wú)誤地裝入了這個(gè)聲音數(shù)據(jù)，并證實(shí)這個(gè)MATLAB向量y能正確地代表一個(gè)聲音信號(hào)，可鍵入>> N=8192;>> fs=8192;>> sound(y,fs) 函數(shù)fft取出該已采樣的表示y，并在的樣本點(diǎn)上計(jì)算近似的CTFT。若鍵入>> Y=fftshift(fft(y);那么向量Y就包含了區(qū)間上N個(gè)等分頻率點(diǎn)處的近似值。事實(shí)上，Y包含的僅是的近似值，

14、這里c是一個(gè)常數(shù)，但是不必?fù)?dān)心這個(gè)近似，或這個(gè)加權(quán)系數(shù)，這僅是為本練習(xí)的需要而設(shè)定的。有關(guān)和Y之間關(guān)系的更為全面的討論，請(qǐng)參考練習(xí)4.1。 函數(shù)fftshift將fft的輸出重新排序，以使得的樣本在Y中的排序是從最負(fù)頻率到最正的頻率?，F(xiàn)在，與CTFT有關(guān)的大多數(shù)性質(zhì)都能在向量Y上得到證實(shí)?；绢}1鍵入Y=fftshift(fft(y)，計(jì)算向量Y的傅立葉變換。鍵入>> w=-pi:2*pi/N:pi-pi/N*fs;將對(duì)應(yīng)的頻率值存入向量w中。利用w和Y在區(qū)間內(nèi)畫出該連續(xù)時(shí)間傅立葉變換的幅值。 函數(shù)ifft是fft的逆運(yùn)算。對(duì)于偶數(shù)長(zhǎng)度的向量，fftshift就是它本身的逆。對(duì)于向

15、量Y，N=8192，這個(gè)逆傅立葉變換能用鍵入以下命令而求得>> y=ifft(fftshift(Y);>> y=real(y);由于原時(shí)域信號(hào)已知是實(shí)的，所以這里用了函數(shù)real。然而，在fft和ifft中的數(shù)值舍入誤差都會(huì)在y中引入一個(gè)很小的非零虛部分量。一般說(shuō)來(lái)，逆CTFT不必是一個(gè)實(shí)信號(hào)，而虛部可以包含有顯著的能量。當(dāng)已知所得信號(hào)一定是實(shí)信號(hào)時(shí)，并且已經(jīng)證實(shí)所除掉的虛部分量是沒(méi)有意義的，real函數(shù)才能用于ifft的輸出上2置Y1=conj(Y)并將Y1的逆傅立葉變換存入Y1中，用real(y1)以確保y1是實(shí)的，用sound(y1,fs)將y1放出。已知的逆傅立

16、葉變換是如何與聯(lián)系的，能解釋剛才聽(tīng)到的是什么嗎？中等題 的CTFT可以用它的幅值和相位寫成 式中。對(duì)于許多信號(hào)，單獨(dú)用相位或幅值都能構(gòu)造出一個(gè)有用的信號(hào)的近似。例如，考慮信號(hào)和，其CTFT為 3構(gòu)造一個(gè)向量Y2等于Y的幅值，并將Y2的逆傅立葉變換存入向量y2中，用sound放出這個(gè)向量。4構(gòu)造一個(gè)向量Y3，它有與Y相同的相位，但是幅值對(duì)每個(gè)頻率都等于1。并將Y3的逆傅立葉變換存入向量y3中，用sound放出這個(gè)向量。5根據(jù)剛才聽(tīng)到的這兩個(gè)信號(hào)，代表一個(gè)聲音信號(hào)你認(rèn)為傅立葉變換的那個(gè)部分是最關(guān)鍵的：幅值或相位？§4.3連續(xù)時(shí)間傅立葉變換的符號(hào)計(jì)算目的 這個(gè)練習(xí)要對(duì)幾個(gè)不同的信號(hào)求(4.

17、2)連續(xù)時(shí)間傅立葉變換?；绢}1定義符號(hào)表達(dá)式x1和x2代表下面連續(xù)時(shí)間信號(hào)： 需要用函數(shù)Heaviside來(lái)表示單位階躍函數(shù)。2對(duì)于1中所定義的和，用解析方法計(jì)算它們的CTFT在的值，即（不應(yīng)該先求來(lái)作這道題）CTFT在的值是怎樣與時(shí)域信號(hào)關(guān)聯(lián)的？31所定義的信號(hào)中，哪一個(gè)在時(shí)域衰減得更快？根據(jù)這一點(diǎn)，你能預(yù)期在頻域哪一個(gè)衰減得更快？4用函數(shù)fourier計(jì)算和得CTFT。定義x1和x2是由fourier產(chǎn)生的符號(hào)表達(dá)式。用ezplot產(chǎn)生和的幅值圖。這些圖能對(duì)2和3中的答案進(jìn)行確認(rèn)嗎？中等題5定義符號(hào)表達(dá)式y(tǒng)1代表下面連續(xù)時(shí)間信號(hào)： 它可以作為兩個(gè)Heaviside函數(shù)之差。6用解析方法求的CTFT，。7定義符號(hào)表達(dá)式y(tǒng)2表示信號(hào)。你能像對(duì)y1那樣用兩個(gè)