dy初高中數(shù)學(xué)銜接教材(FPC)

1、 校本課程教材 初高中銜接三、初高中數(shù)學(xué)銜接前言第一講 數(shù)與式的運(yùn)算（兩課時(shí)）第二講 因式分解（兩課時(shí)）第三講 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（一課時(shí)）第四講 不 等 式（兩課時(shí)）第五講 二次函數(shù)的最值問(wèn)題（一課時(shí)）第六講 簡(jiǎn)單的二元二次方程組（一課時(shí)）第七講 分式方程和無(wú)理方程的解法（一課時(shí)）第八講 直線、平面與常見(jiàn)立體圖形（一課時(shí)）第九講 直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系（一課時(shí)）第一講 數(shù)與式的運(yùn)算（兩課時(shí)）在初中，我們已學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)，知道字母可以表示數(shù)用代數(shù)式也可以表示數(shù)，我們把實(shí)數(shù)和代數(shù)式簡(jiǎn)稱為數(shù)與式代數(shù)式中有整式（多項(xiàng)式、單項(xiàng)式）、分式、根式。它們具有實(shí)數(shù)的屬性，可以進(jìn)行運(yùn)算。在多項(xiàng)式的乘法運(yùn)

2、算中，我們學(xué)習(xí)了乘法公式（平方差公式與完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多項(xiàng)式的運(yùn)算簡(jiǎn)便。由于在高中學(xué)習(xí)中還會(huì)遇到更復(fù)雜的多項(xiàng)式乘法運(yùn)算，因此本節(jié)中將拓展乘法公式的內(nèi)容，補(bǔ)充三個(gè)數(shù)和的完全平方公式、立方和、立方差公式。在根式的運(yùn)算中，我們已學(xué)過(guò)被開(kāi)方數(shù)是實(shí)數(shù)的根式運(yùn)算，而在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)接觸到被開(kāi)方數(shù)是字母的情形，但在初中卻沒(méi)有涉及，因此本節(jié)中要補(bǔ)充。基于同樣的原因，還要補(bǔ)充“繁分式”等有關(guān)內(nèi)容。一、乘法公式【公式1】證明： 等式成立【例1】計(jì)算： 說(shuō)明：多項(xiàng)式乘法的結(jié)果一般是按某個(gè)字母的降冪或升冪排列?！竟?】(立方和公式) 證明: 【例2】計(jì)算：【公式3】(立方差公式)請(qǐng)同學(xué)

3、觀察立方和、立方差公式的區(qū)別與聯(lián)系，公式1、2、3均稱為乘法公式?！纠?】計(jì)算：（1） （2）（3） （4）說(shuō)明：（1）在進(jìn)行代數(shù)式的乘法、除法運(yùn)算時(shí)，要觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)是否滿足乘法公式的結(jié)構(gòu)。 （2）為了更好地使用乘法公式，記住1、2、3、4、20的平方數(shù)和1、2、3、4、10的立方數(shù)，是非常有好處的。【例4】已知，求 的值。說(shuō)明：本題若先從方程中解出的值后，再代入代數(shù)式求值，則計(jì)算較煩瑣本題是根據(jù)條件式與求值式的聯(lián)系，用整體代換的方法計(jì)算，簡(jiǎn)化了計(jì)算。請(qǐng)注意整體代換法。本題的解法，體現(xiàn)了“正難則反”的解題策略，根據(jù)題求利用題知，是明智之舉?！纠?】已知，求的值。說(shuō)明：注意字母的整體代換技巧

4、的應(yīng)用。引申：同學(xué)可以探求并證明： 二、根式式子叫做二次根式，其性質(zhì)如下：(1) (2) (3) (4) 【例6】化簡(jiǎn)下列各式：(1) (2) 說(shuō)明：請(qǐng)注意性質(zhì)的使用：當(dāng)化去絕對(duì)值符號(hào)但字母的范圍未知時(shí)，要對(duì)字母的取值分類討論。【例7】計(jì)算(沒(méi)有特殊說(shuō)明，本節(jié)中出現(xiàn)的字母均為正數(shù))：(1) (2) (3) 說(shuō)明：(1)二次根式的化簡(jiǎn)結(jié)果應(yīng)滿足：被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式。(2)二次根式的化簡(jiǎn)常見(jiàn)類型有下列兩種：被開(kāi)方數(shù)是整數(shù)或整式?；?jiǎn)時(shí)，先將它分解因數(shù)或因式，然后把開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式開(kāi)出來(lái)；分母中有根式(如)或被開(kāi)方數(shù)有分母(如)這時(shí)可將其化為形式

5、(如可化為) ，轉(zhuǎn)化為 “分母中有根式”的情況化簡(jiǎn)時(shí)，要把分母中的根式化為有理式，采取分子、分母同乘以一個(gè)根式進(jìn)行化簡(jiǎn)(如化為，其中與叫做互為有理化因式)?！纠?】計(jì)算：(1) (2) 說(shuō)明：有理數(shù)的的運(yùn)算法則都適用于加法、乘法的運(yùn)算律以及多項(xiàng)式的乘法公式、分式二次根式的運(yùn)算?！纠?】設(shè)，求的值說(shuō)明：有關(guān)代數(shù)式的求值問(wèn)題：(1)先化簡(jiǎn)后求值；(2)當(dāng)直接代入運(yùn)算較復(fù)雜時(shí)，可根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，倒推幾步，再代入條件，有時(shí)整體代入可簡(jiǎn)化計(jì)算量。三、分式當(dāng)分式的分子、分母中至少有一個(gè)是分式時(shí)，就叫做繁分式，繁分式的化簡(jiǎn)常用以下兩種方法：(1) 利用除法法則；(2) 利用分式的基本性質(zhì)【例10】化簡(jiǎn)說(shuō)

6、明：解法一的運(yùn)算方法是從最內(nèi)部的分式入手，采取通分的方式逐步脫掉繁分式，解法二則是利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)一般根據(jù)題目特點(diǎn)綜合使用兩種方法?！纠?1】化簡(jiǎn)說(shuō)明：(1) 分式的乘除運(yùn)算一般化為乘法進(jìn)行，當(dāng)分子、分母為多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)先因式分解再進(jìn)行約分化簡(jiǎn)；(2) 分式的計(jì)算結(jié)果應(yīng)是最簡(jiǎn)分式或整式。練 習(xí)第二講 因式分解（兩課時(shí)）因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形。在分式運(yùn)算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用。是一種重要的基本技能。因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，還有公式法(立方和、立方差公式)、十字相

7、乘法和分組分解法等等。一、公式法(立方和、立方差公式)在第一講里，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了乘法公式中的立方和、立方差公式： (立方和公式) (立方差公式)由于因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過(guò)來(lái)寫(xiě)，就得到：這就是說(shuō)，兩個(gè)數(shù)的立方和(差)，等于這兩個(gè)數(shù)的和(差)乘以它們的平方和與它們積的差(和)。運(yùn)用這兩個(gè)公式，可以把形式是立方和或立方差的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解?！纠?】用立方和或立方差公式分解下列各多項(xiàng)式：(1) (2) 分析： (1)中，(2)中。說(shuō)明：(1) 在運(yùn)用立方和(差)公式分解因式時(shí)，經(jīng)常要逆用冪的運(yùn)算法則，如，這里逆用了法則；(2) 在運(yùn)用立方和(差)公式分解因式時(shí)，一

8、定要看準(zhǔn)因式中各項(xiàng)的符號(hào)?！纠?】分解因式：(1) (2) 分析：(1) 中應(yīng)先提取公因式再進(jìn)一步分解；(2) 中提取公因式后，括號(hào)內(nèi)出現(xiàn)，可看作是或。二、分組分解法從前面可以看出，能夠直接運(yùn)用公式法分解的多項(xiàng)式，主要是二項(xiàng)式和三項(xiàng)式。而對(duì)于四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，如既沒(méi)有公式可用，也沒(méi)有公因式可以提取。因此，可以先將多項(xiàng)式分組處理。這種利用分組來(lái)因式分解的方法叫做分組分解法。分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組。1分組后能提取公因式【例3】把分解因式。分析：把多項(xiàng)式的四項(xiàng)按前兩項(xiàng)與后兩項(xiàng)分成兩組，并使兩組的項(xiàng)按的降冪排列，然后從兩組分別提出公因式與，這時(shí)另一個(gè)因式正好都是，這樣可以繼續(xù)提取公因式。說(shuō)明：用

9、分組分解法，一定要想想分組后能否繼續(xù)完成因式分解，由此合理選擇分組的方法。本題也可以將一、四項(xiàng)為一組，二、三項(xiàng)為一組，同學(xué)不妨一試。【例4】把分解因式。分析：按照原先分組方式，無(wú)公因式可提，需要把括號(hào)打開(kāi)后重新分組，然后再分解因式。說(shuō)明：由例3、例4可以看出，分組時(shí)運(yùn)用了加法結(jié)合律，而為了合理分組，先運(yùn)用了加法交換律，分組后，為了提公因式，又運(yùn)用了分配律。由此可以看出運(yùn)算律在因式分解中所起的作用。2分組后能直接運(yùn)用公式【例5】把分解因式。分析：把第一、二項(xiàng)為一組，這兩項(xiàng)雖然沒(méi)有公因式，但可以運(yùn)用平方差公式分解因式，其中一個(gè)因式是；把第三、四項(xiàng)作為另一組，在提出公因式后，另一個(gè)因式也是?！纠?】

10、把分解因式。分析：先將系數(shù)2提出后，得到，其中前三項(xiàng)作為一組，它是一個(gè)完全平方式，再和第四項(xiàng)形成平方差形式，可繼續(xù)分解因式。說(shuō)明：從例5、例6可以看出：如果一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)分組后，各組都能直接運(yùn)用公式或提取公因式進(jìn)行分解，并且各組在分解后，它們之間又能運(yùn)用公式或有公因式，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以分組分解法來(lái)分解因式。三、十字相乘法1型的因式分解這類式子在許多問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點(diǎn)是：(1) 二次項(xiàng)系數(shù)是1；(2) 常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；(3) 一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和。因此，運(yùn)用這個(gè)公式，可以把某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式?！纠?】把下列各式因式分解： (1) (2) 說(shuō)明：此例可以

11、看出，常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩個(gè)同號(hào)因數(shù)，它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同?！纠?】把下列各式因式分解：(1) (2) 說(shuō)明：此例可以看出，常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩個(gè)異號(hào)的因數(shù)，其中絕對(duì)值較大的因數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同。【例9】把下列各式因式分解： (1) (2) 分析：(1) 把看成的二次三項(xiàng)式，這時(shí)常數(shù)項(xiàng)是，一次項(xiàng)系數(shù)是，把分解成與的積，而，正好是一次項(xiàng)系數(shù)。 (2) 由換元思想，只要把整體看作一個(gè)字母，可不必寫(xiě)出，只當(dāng)作分解二次三項(xiàng)式。2一般二次三項(xiàng)式型的因式分解大家知道，反過(guò)來(lái)，就得到：我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù)分解成，常數(shù)項(xiàng)分解成，把寫(xiě)成，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到，如果它正

12、好等于的一次項(xiàng)系數(shù)，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行。這種借助畫(huà)十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十字相乘法。必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過(guò)多次嘗試，才能確定一個(gè)二次三項(xiàng)式能否用十字相乘法分解?！纠?0】把下列各式因式分解： (1) (2) 說(shuō)明：用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式很重要當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)較困難，具體分解時(shí)，為提高速度，可先對(duì)有關(guān)常數(shù)分解，交叉相乘后，若原常數(shù)為負(fù)數(shù)，用減法”湊”，看是否符合一次項(xiàng)系數(shù)，否則用加法”湊”，先”湊”絕對(duì)值，然后調(diào)整，添加正、負(fù)號(hào)。四、其它因式分解的方法1配方法【例11】分解因式說(shuō)明：這種設(shè)法

13、配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后將二次三項(xiàng)式化為兩個(gè)平方式，然后用平方差公式分解。當(dāng)然，本題還有其它方法，請(qǐng)大家試驗(yàn)。2拆、添項(xiàng)法【例12】分解因式分析：此多項(xiàng)式顯然不能直接提取公因式或運(yùn)用公式，分組也不易進(jìn)行細(xì)查式中無(wú)一次項(xiàng)，如果它能分解成幾個(gè)因式的積，那么進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，必是把一次項(xiàng)系數(shù)合并為0了，可考慮通過(guò)添項(xiàng)或拆項(xiàng)解決。說(shuō)明：本解法把原常數(shù)4拆成1與3的和，將多項(xiàng)式分成兩組，滿足系數(shù)對(duì)應(yīng)成比例，造成可以用公式法及提取公因式的條件。本題還可以將拆成，將多項(xiàng)式分成兩組和。一般地，把一個(gè)多項(xiàng)式因式分解，可以按照下列步驟進(jìn)行：(1) 如果多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式；(2) 如

14、果各項(xiàng)沒(méi)有公因式，那么可以嘗試運(yùn)用公式來(lái)分解；(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組或其它方法(如十字相乘法)來(lái)分解；(4) 分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。練 習(xí)第三講 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（一課時(shí)）現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用，而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系，在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著許多應(yīng)用。本節(jié)將對(duì)一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行闡述。一、一元二次方程的根的判斷式一元二次方程，用配方法將其變形為：(1) 當(dāng)時(shí)，右端是正數(shù)。因此，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：(2) 當(dāng)時(shí)，

15、右端是零。因此，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：(3) 當(dāng)時(shí)，右端是負(fù)數(shù)。因此，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。由于可以用的取值情況來(lái)判定一元二次方程的根的情況。因此，把叫做一元二次方程的根的判別式，表示為：【例1】不解方程，判斷下列方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)：(1) (2) (3) 說(shuō)明：在求判斷式時(shí)，務(wù)必先把方程變形為一元二次方程的一般形式。【例2】已知關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)下列條件，分別求出的范圍： (1) 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2) 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； (3)方程有實(shí)數(shù)根；(4) 方程無(wú)實(shí)數(shù)根。【例3】已知實(shí)數(shù)、滿足，試求、的值。二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的兩個(gè)根為：=, =所以：，定

16、理：如果一元二次方程的兩個(gè)根為，那么：說(shuō)明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為”韋達(dá)定理”。上述定理成立的前提是。【例4】若是方程的兩個(gè)根，試求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 。分析：本題若直接用求根公式求出方程的兩根，再代入求值，將會(huì)出現(xiàn)復(fù)雜的計(jì)算。這里，可以利用韋達(dá)定理來(lái)解答。說(shuō)明：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：，等等。韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體思想?！纠?】已知關(guān)于的方程，根據(jù)下列條件，分別求出的值。(1) 方程兩實(shí)根的積為5； (2) 方程的兩實(shí)根滿足。分析：(1) 由韋達(dá)定理即可求之；(2) 有兩種可能，一是，

17、二是，所以要分類討論。說(shuō)明：根據(jù)一元二次方程兩實(shí)根滿足的條件，求待定字母的值，務(wù)必要注意方程有兩實(shí)根的條件，即所求的字母應(yīng)滿足?！纠?】已知是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。(1)是否存在實(shí)數(shù)，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)您說(shuō)明理由。(2)求使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)的整數(shù)值。說(shuō)明：(1)存在性問(wèn)題的題型，通常是先假設(shè)存在，然后推導(dǎo)其值，若能求出，則說(shuō)明存在，否則即不存在。（2）本題綜合性較強(qiáng)，要學(xué)會(huì)對(duì)為整數(shù)的分析方法。練 習(xí)第四講 不 等 式（兩課時(shí)）初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次不等式和一元一次不等式組的解法。高中階段將進(jìn)一步學(xué)習(xí)一元二次不等式和分式不等式等知識(shí)。本講先介紹一些高中新課標(biāo)中關(guān)于不等

18、式的必備知識(shí)。一、一元二次不等式及其解法1形如的不等式稱為關(guān)于的一元二次不等式。2一元二次不等式與二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系(簡(jiǎn)稱：三個(gè)二次)。以二次函數(shù)為例：(1) 作出圖象；(2) 根據(jù)圖象容易看到，圖象與軸的交點(diǎn)是，即當(dāng)時(shí)，。就是說(shuō)對(duì)應(yīng)的一元二次方程的兩實(shí)根是。(3) 當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)圖像位于軸的上方。就是說(shuō)的解是。當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)圖像位于軸的下方。就是說(shuō)的解是。一般地，一元二次不等式可以結(jié)合相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程求解，步驟如下：(1) 將二次項(xiàng)系數(shù)先化為正數(shù)；(2) 觀測(cè)相應(yīng)的二次函數(shù)圖象。如果圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(也可由根的判別式來(lái)判斷)。那么(

19、圖1)： 如果圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)相的實(shí)數(shù)根(也可由根的判別式來(lái)判斷)。那么(圖2)： 無(wú)解如果圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根 (也可由根的判別式來(lái)判斷) 。那么(圖3)： 取一切實(shí)數(shù) 無(wú)解如果單純的解一個(gè)一元二次不等式的話，可以按照一下步驟處理：(1) 化二次項(xiàng)系數(shù)為正；(2) 若二次三項(xiàng)式能分解成兩個(gè)一次因式的積，則求出兩根那么“”型的解為(俗稱兩根之外)；“”型的解為(俗稱兩根之間)；(3) 否則，對(duì)二次三項(xiàng)式進(jìn)行配方，變成，結(jié)合完全平方式為非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解?！纠?】解不等式。分析：不等式左邊可以因式分解，根據(jù)“符號(hào)法則正正(負(fù)負(fù))得正、

20、正負(fù)得負(fù)”的原則，將其轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組。說(shuō)明：當(dāng)把一元二次不等式化為的形式后，只要左邊可以分解為兩個(gè)一次因式，即可運(yùn)用本題的解法?！纠?】解下列不等式： (1) (2) （x-1）(x+2)(x-2)(2x+1)分析：要先將不等式化為的形式，通常使二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)?！纠?】解下列不等式：(1) (2) (3) 【例4】已知對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒為正數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍?！纠?】已知關(guān)于的不等式的解為，求的值。分析：對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根是和，且對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上。根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以求解。說(shuō)明：本例也可以根據(jù)方程有兩根和，用代入法得：，且注意，從而。二、簡(jiǎn)單分式不等式的

21、解法【例6】解下列不等式：(1) (2) 分析：(1) 類似于一元二次不等式的解法，運(yùn)用“符號(hào)法則”將之化為兩個(gè)一元一次不等式組處理；或者因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)(式)相除異號(hào)，那么這兩個(gè)數(shù)(式)乘也異號(hào)，可將分式不等式直接轉(zhuǎn)化為整式不等式求解。(2) 注意到經(jīng)過(guò)配方法，分母實(shí)際上是一個(gè)正數(shù)?！纠?】解不等式說(shuō)明：(1) 轉(zhuǎn)化為整式不等式時(shí)，一定要先將右端變?yōu)?。(2) 本例也可以直接去分母，但應(yīng)注意討論分母的符號(hào)：三、含有字母系數(shù)的一元二次不等式一元一次不等式最終可以化為的形式。(1) 當(dāng)時(shí)，不等式的解為：；(2) 當(dāng)時(shí)，不等式的解為：；(3) 當(dāng)時(shí)，不等式化為：； 若，則不等式無(wú)解； 若b0，則不等式的

22、解是全體實(shí)數(shù)?！纠?】求關(guān)于的不等式的解?！纠?】已知關(guān)于的不等式的解為，求實(shí)數(shù)的值。分析：將不等式整理成的形式，可以考慮只有當(dāng)時(shí)，才有形如的解，從而令。練 習(xí)第五講 二次函數(shù)的最值問(wèn)題（一課時(shí)）二次函數(shù)是初中函數(shù)的主要內(nèi)容，也是高中學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。在初中階段大家已經(jīng)知道：二次函數(shù)在自變量取任意實(shí)數(shù)時(shí)的最值情況(當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得最小值，無(wú)最大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得最大值，無(wú)最小值。本節(jié)我們將在這個(gè)基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)當(dāng)自變量在某個(gè)范圍內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)的最值問(wèn)題。同時(shí)還將學(xué)習(xí)二次函數(shù)的最值問(wèn)題在實(shí)際生活中的簡(jiǎn)單應(yīng)用?！纠?】當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值。分析：作出函數(shù)在所給范圍的及其對(duì)稱軸的草圖，觀察

23、圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，由此得到函數(shù)的最大值、最小值及函數(shù)取到最值時(shí)相應(yīng)自變量的值。 【例2】當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值。【例3】當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的取值范圍。【例4】當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值(其中為常數(shù))。分析：由于所給的范圍隨著的變化而變化，所以需要比較對(duì)稱軸與其范圍的相對(duì)位置?！纠?】某商場(chǎng)以每件30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量(件)與每件的銷售價(jià)(元)滿足一次函數(shù)。(1) 寫(xiě)出商場(chǎng)賣這種商品每天的銷售利潤(rùn)與每件銷售價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2) 若商場(chǎng)要想每天獲得最大銷售利潤(rùn)，每件商品的售價(jià)定為多少最合適？最大銷售利潤(rùn)為多少？練 習(xí) 第六講 簡(jiǎn)單的二元二次方程組（一課時(shí)）在初

24、中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程組的解法，掌握了用消元法解二元一次方程組高中新課標(biāo)必修2中學(xué)習(xí)圓錐曲線時(shí)，需要用到二元二次方程組的解法因此，本講講介紹簡(jiǎn)單的二元二次方程組的解法。含有兩個(gè)未知數(shù)、且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做二元二次方程。由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組，或由兩個(gè)二元二次方程組組成的方程組，叫做二元二次方程組。一、由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組一般都可以用代入法求解其蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化思想：將二元一次方程化歸為熟悉的一元二次方程求解?！纠?】解方程組分析：由于方程(1

25、)是二元一次方程，故可由方程(1)，得，代入方程(2)消去。說(shuō)明：(1) 解由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組的步驟：由二元一次方程變形為用表示的方程，或用表示的方程(3)；把方程(3)代入二元二次方程，得一個(gè)一元二次方程；解消元后得到的一元二次方程；把一元二次方程的根，代入變形后的二元一次方程(3)，求相應(yīng)的未知數(shù)的值；寫(xiě)出答案。(2)消，還是消，應(yīng)由二元一次方程的系數(shù)來(lái)決定若系數(shù)均為整數(shù)，那么最好消去系數(shù)絕對(duì)值較小的，如方程，可以消去，變形得，再代入消元。 (3)消元后，求出一元二次方程的根，應(yīng)代入二元一次方程求另一未知數(shù)的值，不能代入二元二次方程求另一未知數(shù)的值，因?yàn)檫@樣可

26、能產(chǎn)生增根，這一點(diǎn)切記?！纠?】解方程組分析：本題可以用代入消元法解方程組，但注意到方程組的特點(diǎn)，可以把、看成是方程的兩根，則更容易求解。說(shuō)明：(1) 對(duì)于這種對(duì)稱性的方程組，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程時(shí)，未知數(shù)要換成異于、的字母，如。(2) 對(duì)稱形方程組的解也應(yīng)是對(duì)稱的，即有解，則必有解。二、由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組1可因式分解型的方程組方程組中的一個(gè)方程可以因式分解化為兩個(gè)二元一次方程，則原方程組可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)方程組，其中每個(gè)方程組都是由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成?！纠?】解方程組分析：注意到方程，可分解成，即得或，則可得到兩個(gè)二元二次方程組，且每個(gè)方程組中均

27、有一個(gè)方程為二元一次方程。說(shuō)明：由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組中，有一個(gè)方程可以通過(guò)因式分解，化為兩個(gè)二元一次方程，則原方程組轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)方程組，其中每一個(gè)方程組均有一個(gè)方程是二元一次方程。【例4】解方程組分析：本題的特點(diǎn)是方程組中的兩個(gè)方程均缺一次項(xiàng)，我們可以消去常數(shù)項(xiàng)，可得到一個(gè)二次三項(xiàng)式的方程對(duì)其因式分解，就可以轉(zhuǎn)化為例3的類型。說(shuō)明：若方程組的兩個(gè)方程均缺一次項(xiàng)，則消去常數(shù)項(xiàng)，得到一個(gè)二元二次方程此方程與原方程組中的任一個(gè)方程聯(lián)立，得到一個(gè)可因式分解型的二元二次方程組?！纠?】解方程組分析：(1) +(2)得：，(1) -(2)得：，分別分解(3)、(4)可得四個(gè)二元一次方程組。說(shuō)明：

28、對(duì)稱型方程組，如、都可以通過(guò)變形轉(zhuǎn)化為的形式，通過(guò)構(gòu)造一元二次方程求解。2可消二次項(xiàng)型的方程組【例6】解方程組分析：注意到兩個(gè)方程都有項(xiàng)，所以可用加減法消之，得到一個(gè)二元一次方程，即轉(zhuǎn)化為由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組說(shuō)明：若方程組的兩個(gè)方程的二次項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)成比例，則可用加減法消去二次項(xiàng)，得到一個(gè)二元一次方程，把它與原方程組的任意一個(gè)方程聯(lián)立，解此方程組，即得原方程組的解二元二次方程組類型多樣，消元與降次是兩種基本方法，具體問(wèn)題具體解決。練 習(xí)第七講 分式方程和無(wú)理方程的解法（一課時(shí)）初中大家已經(jīng)學(xué)習(xí)了可化為一元一次方程的分式方程的解法。本講將要學(xué)習(xí)可化為一元二次方程的分式方

29、程的解法以及無(wú)理方程的解法并且只要求掌握(1)不超過(guò)三個(gè)分式構(gòu)成的分式方程的解法，會(huì)用”去分母”或”換元法”求方程的根，并會(huì)驗(yàn)根；(2)了解無(wú)理方程概念，掌握可化為一元二次方程的無(wú)理方程的解法，會(huì)用”平方”或”換元法”求根，并會(huì)驗(yàn)根。一、可化為一元二次方程的分式方程1去分母化分式方程為一元二次方程【例1】解方程 。分析：去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程。說(shuō)明：(1) 去分母解分式方程的步驟：把各分式的分母因式分解； 在方程兩邊同乘以各分式的最簡(jiǎn)公分母；去括號(hào)，把所有項(xiàng)都移到左邊，合并同類項(xiàng)； 解一元二次方程； 驗(yàn)根。(2) 驗(yàn)根的基本方法是代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn)，但代入原方程計(jì)算量較大。而分式方程可能產(chǎn)生的

30、增根，就是使分式方程的分母為0的根。因此我們只要檢驗(yàn)一元二次方程的根，是否使分式方程兩邊同乘的各分式的最簡(jiǎn)公分母為0。若為0，即為增根；若不為0，即為原方程的解。2用換元法化分式方程為一元二次方程【例2】解方程 分析：本題若直接去分母，會(huì)得到一個(gè)四次方程，解方程很困難。但注意到方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，設(shè)，即得到一個(gè)關(guān)于的一元二次方程。最后在已知的值的情況下，用去分母的方法解方程。說(shuō)明：用換元法解分式方程常見(jiàn)的錯(cuò)誤是只求出的值，而沒(méi)有求到原方程的解，即的值?！纠?】解方程 分析：注意觀察方程特點(diǎn)，可以看到分式與互為倒數(shù)。因此，可以設(shè)，即可將原方程化為一個(gè)較為簡(jiǎn)單的分式方程。說(shuō)明：解決分式方程的方法就是采

31、取去分母、換元等法，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，體現(xiàn)了化歸思想二、可化為一元二次方程的無(wú)理方程根號(hào)下含有未知數(shù)的方程，叫做無(wú)理方程1平方法解無(wú)理方程【例4】解方程 分析：移項(xiàng)、平方，轉(zhuǎn)化為有理方程求解 說(shuō)明：含未知數(shù)的二次根式恰有一個(gè)的無(wú)理方程的一般步驟：移項(xiàng)，使方程的左邊只保留含未知數(shù)的二次根式，其余各項(xiàng)均移到方程的右邊；兩邊同時(shí)平方，得到一個(gè)整式方程；解整式方程；驗(yàn)根【例5】解方程 分析：直接平方將很困難可以把一個(gè)根式移右邊再平方，這樣就可以轉(zhuǎn)化為上例的模式，再用例4的方法解方程 說(shuō)明：含未知數(shù)的二次根式恰有兩個(gè)的無(wú)理方程的一般步驟：移項(xiàng)，使方程的左邊只保留一個(gè)含未知數(shù)的二次根式；兩邊平方，得到含未知數(shù)的二次根式恰有一個(gè)的無(wú)理方程；一下步驟同例4的說(shuō)明2換元法解無(wú)理方程【例6】解方程 分析：本題若直接平方，會(huì)得到一個(gè)一元四次方程，難度較大注意觀察方程中含未知數(shù)的二次根式與其余有理式的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)：因此，可以設(shè)，這樣就可將原方程先轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程處理 說(shuō)明：解決根式方程的方法就是采取平方、換元等法，將根式方程轉(zhuǎn)化為有理方程，體現(xiàn)了化歸思想練 習(xí)第八講 直線、平面與常