必修53.3.2簡單的線性規(guī)劃問題教案

1、簡單的線性規(guī)劃問題（第一課時）說課一、內(nèi)容與內(nèi)容解析本節(jié)課是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)人教A版必修5第三章不等式中3.3.2簡單的線性規(guī)劃問題的第一課時. 主要內(nèi)容是線性規(guī)劃的相關(guān)概念和簡單的線性規(guī)劃問題的解法線性規(guī)劃是運籌學(xué)中研究較早、發(fā)展較快、應(yīng)用廣泛、方法較成熟的一個重要分支，它是輔助人們進(jìn)行科學(xué)管理的一種數(shù)學(xué)方法，廣泛地應(yīng)用于軍事作戰(zhàn)、經(jīng)濟分析、經(jīng)營管理和工程技術(shù)等方面簡單的線性規(guī)劃指的是目標(biāo)函數(shù)含兩個自變量的線性規(guī)劃，其最優(yōu)解可以用數(shù)形結(jié)合方法求出。簡單的線性規(guī)劃關(guān)心的是兩類問題：一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務(wù)；二是給定一項任務(wù)，如何合理規(guī)

2、劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成. 教科書利用生產(chǎn)安排的具體實例，介紹了線性規(guī)劃問題的圖解法，引出線性規(guī)劃等概念，最后舉例說明了簡單的二元線性規(guī)劃在飲食營養(yǎng)搭配中的應(yīng)用. 本節(jié)內(nèi)容蘊含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，突出體現(xiàn)了優(yōu)化思想、數(shù)形結(jié)合思想和化歸思想.本節(jié)教學(xué)重點：線性規(guī)劃問題的圖解法；尋求有實際背景的線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解.二、目標(biāo)和目標(biāo)解析（一）教學(xué)目標(biāo)1.了解約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念.2. 會用圖解法求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值.3.培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、作圖和理解實際問題的能力，滲透化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.4.結(jié)合教學(xué)內(nèi)容培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和“用

3、數(shù)學(xué)”的意識.（二）教學(xué)目標(biāo)解析1. 了解線性規(guī)劃模型的特征：一組決策變量表示一個方案；約束條件是一次不等式組；目標(biāo)函數(shù)是線性的，求目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值熟悉線性約束條件（不等式組）的幾何表征是平面區(qū)域（可行域）體會可行域與可行解、可行域與最優(yōu)解、可行解與最優(yōu)解的關(guān)系2.使學(xué)生學(xué)會從實際優(yōu)化問題中抽象、識別出線性規(guī)劃模型能理解目標(biāo)函數(shù)的幾何表征（一組平行直線）能依據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，運用數(shù)形結(jié)合方法求出最優(yōu)解和線性目標(biāo)函數(shù)的最大（?。┲担浠静襟E為畫、移、求、答.3.教學(xué)中不但要教教材,還要教教材中的蘊含的方法.在探究如何求目標(biāo)函數(shù)的最值時，通過以下幾方面讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想

4、在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.(1)不定方程的解與平面內(nèi)點的坐標(biāo)的結(jié)合，進(jìn)而產(chǎn)生了直線的方程.(2)線性目標(biāo)函數(shù)解析式與直線的斜截式方程的結(jié)合.(3)線性目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)值與直線的縱截距的結(jié)合.(4)二元一次不等式(組)的解集與可行域的結(jié)合.(5)線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最值與直線過可行域內(nèi)的點時縱截距的最值的結(jié)合.這樣就能使學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的理解更透徹,為以后解析幾何的學(xué)習(xí)和研究奠定基礎(chǔ), 使學(xué)生從更深層次理解“以形助數(shù)”的作用以及具體方法.4. 在線性規(guī)劃問題的探究過程中，使學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、操作、歸納、概括的認(rèn)知過程，培養(yǎng)解決運用已有知識解決新問題的能力.三、教學(xué)問題診斷分析本節(jié)課學(xué)生在學(xué)習(xí)過

5、程中可能遇到以下疑慮和困難：（1）將實際問題抽象成線性規(guī)劃問題；（2）用圖解法解線性規(guī)劃問題中，為什么要將求目標(biāo)函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為經(jīng)過可行域的直線在y軸上的截距的最值問題？如何想到要這樣轉(zhuǎn)化？（3）數(shù)形結(jié)合思想的深入理解.為此教學(xué)中教師要千方百計地為學(xué)生創(chuàng)設(shè)探究情境，并作合理適度的引導(dǎo)，通過學(xué)生的積極主動思考，運用由特殊到一般的研究方法，借助于討論、動手畫圖等形式進(jìn)行深入探究.教師的引導(dǎo)是至關(guān)重要的，要做到既能給學(xué)生啟示又能發(fā)展學(xué)生思維，讓學(xué)生通過自己的探究獲取直接經(jīng)驗. 教學(xué)難點：用圖解法求最優(yōu)解的探索過程；數(shù)形結(jié)合思想的理解.教學(xué)關(guān)鍵：指導(dǎo)學(xué)生緊緊抓住化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法找到目標(biāo)函

6、數(shù)與直線方程的關(guān)系四、教法分析新課程倡導(dǎo)學(xué)生積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，課堂中應(yīng)注重創(chuàng)設(shè)師生互動、生生互動的和諧氛圍，通過學(xué)生動手實踐、動腦思考等方法探究數(shù)學(xué)知識獲取直接經(jīng)驗，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和應(yīng)用意識等.本節(jié)課以學(xué)生為中心，以問題為載體，采用啟發(fā)、引導(dǎo)、探究相結(jié)合的教學(xué)方法.（1）設(shè)置“問題”情境，激發(fā)學(xué)生解決問題的欲望； （2）提供“觀察、探索、交流”的機會，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考，有效地調(diào)動學(xué)生思維，使學(xué)生在開放的活動中獲取直接經(jīng)驗.（3）在教學(xué)中體現(xiàn)“重過程、重情感、重生活”的理念；（4）讓學(xué)生經(jīng)歷“學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)”的過程.五、教學(xué)支持條件分析根據(jù)本節(jié)課教材內(nèi)容的特點，為了更

7、直觀、形象地突出重點，突破難點，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，借助信息技術(shù)工具，以“幾何畫板”軟件為平臺，將目標(biāo)函數(shù)與直線方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，通過直線的平行移動的演示，觀察縱坐標(biāo)的變化，求出目標(biāo)函數(shù)的最值.讓學(xué)生學(xué)會用“數(shù)形結(jié)合”思想方法建立起代數(shù)問題和幾何問題間的密切聯(lián)系 六、教學(xué)過程（一） 創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)探究欲望組織學(xué)生做選盒子的游戲活動.在下圖的方格中,每列(x)與每行(y)的交匯處都放有一個盒子,每次你只能選其中的一個盒子，每個盒子對應(yīng)一個分值，即為你的得分，而且該分值與盒子所在的行數(shù)和列數(shù)有關(guān),且每次的關(guān)系式在變化,你會選哪個盒子?例如: 第一次:分值= (即: 列數(shù)+行數(shù)) 第二次:分值= (即:

8、 行數(shù)-列數(shù)×2)xy0123451243y012345 x1243圖1圖2師生活動：教師組織學(xué)生做選盒子得分的游戲，學(xué)生用“運算比較”的方法容易解決老師提出的問題.之后，給出圖3，讓學(xué)生在圖中找目標(biāo)函數(shù)的最大值，學(xué)生沿用上面計算的方法顯然很復(fù)雜，于是學(xué)生的思維產(chǎn)生“結(jié)點”.引出課題,提出何為線性（即為一次的）？怎么規(guī)劃（即求函數(shù)的最值）？是本節(jié)課的研究重點.【設(shè)計意圖】數(shù)學(xué)是現(xiàn)實世界的反映.創(chuàng)設(shè)學(xué)生感興趣的問題情境，從興趣解決稍有困難有較大困難，使學(xué)生產(chǎn)生急于解決問題的內(nèi)驅(qū)力，同時培養(yǎng)學(xué)生從實際問題抽象出數(shù)學(xué)模型的能力.x1452379101181234Oy圖3（二）獨思共議，引導(dǎo)

9、探究方法引導(dǎo)學(xué)生由特殊到一般分析目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)值.問題1：當(dāng)時，求x，y的值.師生活動：學(xué)生通過計算找到三個點的坐標(biāo)，并觀察出三點共線，求出直線方程，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察所對應(yīng)的直線的縱截距.【設(shè)計意圖】通過特殊問題，幫助學(xué)生理解問題的實質(zhì)：求x，y的值即求不定方程的解.數(shù)形結(jié)合，將求變量x，y轉(zhuǎn)化成求點的坐標(biāo).觀察時三個盒子所在點的位置關(guān)系及直線的方程，使學(xué)生體會b值就是直線的縱截距.問題2在圖3中，求的最大值.師生活動：學(xué)生在教師的引導(dǎo)下分組討論，求b的最大值.通過之前教師的引導(dǎo)及學(xué)生對上一節(jié)“二元一次不等式表示的平面區(qū)域”的學(xué)習(xí),對學(xué)生的討論結(jié)果有兩種預(yù)案：預(yù)案1:學(xué)生通過由特殊到一般的分析

10、，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化成，x，y在取得每個可行解時，b的取值就是直線過這個點時的縱截距，而所有這些直線都是平行的，因此只需平移直線看縱截距的最大值即可.預(yù)案2：根據(jù)上一節(jié)“二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域”的知識，學(xué)生認(rèn)為b取最大值時x、y的取值一定在直線的右上方的位置，為此就依次在這些位置上畫平行于的直線，只要上面有點就不停的畫，直至最后一點.師生活動：學(xué)生展示討論結(jié)果，教師借助幾何畫板作演示、分析，滲透轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.并對學(xué)生的結(jié)論作出總結(jié)，先作直線，再作平移，觀察直線的縱截距.【設(shè)計意圖】由特殊到一般，利用數(shù)形結(jié)合，尋求解題思路.（三）變式思考，深化探究思路1將目標(biāo)函數(shù)變成， 求

11、b的最大值.師生活動：通過學(xué)生將化成的形式，做直線并進(jìn)行平移，觀察縱截距的最大值的回答過程，教師強調(diào)解題步驟:畫、作、移、求.【設(shè)計意圖】規(guī)范方法并檢驗學(xué)生對方法的理解程度，使學(xué)生感受由直線斜率的變化引起使取最大值的過程中點的變化.2將目標(biāo)函數(shù)變成，求b的最大值.師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生比較此題和上題的區(qū)別，學(xué)生發(fā)現(xiàn)平移直線時若按上題的方法找縱截距的最大值便會出現(xiàn)問題，通過思考、討論，找到本題需取截距最小的原因.【設(shè)計意圖】通過目標(biāo)函數(shù)的不同變式，讓學(xué)生熟悉求最值的方法，尤其是直線中縱截距的符號為負(fù)的情況借助“幾何畫板”集中呈現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)的圖形變化，提高課堂效率，建立精準(zhǔn)的數(shù)形聯(lián)系（四）規(guī)范格式，

12、應(yīng)用探究成果1例1：(習(xí)題3.3A組第3題)電視臺應(yīng)某企業(yè)之約播放兩套連續(xù)劇，其中，連續(xù)劇甲每次播放時間為80min，其中廣告時間為1min，收視觀眾為60萬；連續(xù)劇乙每次播放時間為40min，廣告時間為1min，收視觀眾為20萬.已知此企業(yè)與電視臺達(dá)成協(xié)議，要求電視臺每周至少播放6min廣告，而電視臺每周只能為該企業(yè)提供不多于320min的節(jié)目時間.如果你是電視臺的制片人，電視臺每周應(yīng)播映兩套連續(xù)劇各多少次，才能獲得最高的收視率？播放時間(min)廣告時間(min)觀眾人數(shù)（萬）甲80160乙40120xyO解:設(shè)甲播放x次，乙播放y次，收視觀眾z萬人次則. 用如下步驟求z的最大值：圖（1）

13、畫出可行域；（2）作出直線：（3）平移至點A處縱截距最大，即z最大；（4）解方程組： 得，因此.答：甲播放2次，乙播放4次，收視觀眾最多為200萬人次.師生活動：教師引領(lǐng)學(xué)生理解題意，讓學(xué)生繼續(xù)領(lǐng)會用表格形式描述數(shù)據(jù)的直觀性.讓學(xué)生獨立建立線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型，并正確設(shè)出變量，找好目標(biāo)函數(shù)及約束條件后自行完成此題.通過學(xué)生板演，教師規(guī)范寫法，然后借助解題的過程介紹線性目標(biāo)函數(shù)、線性約束條件、可行解、可行域、最優(yōu)解及線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)概念.【設(shè)計意圖】利用學(xué)生感興趣的例子激發(fā)學(xué)習(xí)動機，通過一道完整的簡單線性規(guī)劃問題，讓學(xué)生掌握解決簡單線性規(guī)劃問題的基本步驟，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識.同時進(jìn)一步加深對圖解

14、法的認(rèn)識.2反思例1解題過程，深入體會數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生縱觀解題過程，體會在解題中“數(shù)”與“形”是怎樣結(jié)合的，并加以總結(jié).代數(shù) 幾何線性目標(biāo)函數(shù) 直線線性目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)值 直線的縱截距線性約束條件(二元一次不等式（組）的解集)可行域線性目標(biāo)函數(shù)的最值 直線的縱截距的最值【設(shè)計意圖】通過反思總結(jié)，加強對“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識，形成學(xué)生良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).3例2：(課本例2)營養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白質(zhì)，0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg的碳水化合物，0.07kg的蛋白質(zhì)，0.14kg的脂肪,花費2

15、8元； 1kg食物B含有0.105kg的碳水化合物，0.14kg的蛋白質(zhì)，0.07kg的脂肪,花費21元.為了滿足飲食要求，同時使花費最低，需要同時食用食物A和食物B各多少kg?師生活動：學(xué)生獨自完成此題，由一位同學(xué)生展示自己的解題過程和結(jié)果.規(guī)范解題步驟和格式.解：設(shè)每天食用xkg食物A，ykg食物B，總成本為z，那么MN圖5Oxy目標(biāo)函數(shù)為. 二元一次不等式組等價于 二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域（圖5），即可行域考慮，將它變形為.這里是斜率為，隨z變化的一組平行直線，是直線在y軸上的截距，當(dāng)取最小值時，z的值最小當(dāng)然直線要與可行域相交，即在滿足約束條件時目標(biāo)函數(shù)取得最小值由圖5可見，當(dāng)

16、直線經(jīng)過可行域上的點M時，截距最小，即z最小解方程組 得M的坐標(biāo)為,. 所以答：每天食用食物A為kg，食物B為kg，能夠滿足日常飲食要求，又使花費最低，最低成本為16元.【設(shè)計意圖】通過此題檢測學(xué)生對已學(xué)知識的掌握情況，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的運算能力和準(zhǔn)確作圖的能力.4反思例2的求解過程.教師通過巡視發(fā)現(xiàn)錯解的學(xué)生，幫助學(xué)生找到錯誤的原因.并提出問題：有時若由于不可避免的誤差帶來錯解，你如何解決?師生活動:由教師幫助學(xué)生分析錯解的原因,并提出問題.學(xué)生意識到可以把所有可能的解都求出來,進(jìn)行比較即可.【設(shè)計意圖】通過反思及尋求問題答案，讓學(xué)生深入思考,培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度和解決問題的能力.（五） 歸納梳理，體會探究價值由學(xué)生和教師共同總結(jié)本節(jié)課所學(xué)到的知識.師生活動：先由學(xué)生總結(jié)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，教師作補充說明，尤其是本節(jié)課是如何經(jīng)歷的知識探究過程，如何運用化歸與數(shù)形結(jié)合思想得到方法，以及如何通過數(shù)學(xué)建模解決實際問題.再有教師介紹數(shù)學(xué)是有用的，通過本節(jié)課看到了時間如何合理分配收獲最大的問題,如何使消費最少保證飲食健康的問題,還有很多實際應(yīng)用由學(xué)生自己查資料作為拓展作業(yè).【設(shè)計意圖】通過總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)交流和表達(dá)的能力，養(yǎng)成及時總結(jié)的良好習(xí)慣，并將所學(xué)知識納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu).（六） 目標(biāo)檢測題1在線性約