必修四向量與三角形內心、外心、重心、垂心知識的交匯

1、、四心的概念介紹(1)重心中線的交點：重心將中線長度分成2: 1;(2)垂心一一高線的交點：高線與對應邊垂直；(3)內心一一角平分線的交點(內切圓的圓心)：角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等;(4)外心一一中垂線的交點(外接圓的圓心)：外心到三角形各頂點的距離相等。二、四心與向量的結合(1) OA OB OC 0 O 是 ABC 的重心.證法 1：設 O(x, y), A(xi, yi), B(x2, y2),C(X3, y3)x1X2x3 (x1 x)OA OB OC 0(y1 y)。是ABC的重心.證法2:如圖OA OB OCOA 2OD 0AO 2ODA、O、D三點共線，且。分AD 為

2、2: 1O是ABC的重心(x2 x) (x3 x) 0(y2 y) (y3 y) oy1y2y3(2) OA OB OB OC OC OA證明：如圖所示 O是三角形ABC的垂心,OA OB OB OC OB(OA OC)O為ABC的垂心.BE垂直AC AD垂直BC, D、E是垂足.Ob Ca oOB AC同理 OA BC , OC ABO為ABC的垂心(3)設a, b, c是三角形的三條邊長,O是 ABC的內心aOA bOB cOC 0 O 為 ABC 的內心.AB AC .證明：3、二匕分別為ar AC方向上的單位向量,c bABACAO一平分 b.ABBAC,ACbbca b cAO化簡得

3、(abc a b c b c)OAABcbABACT)cAC 0aOA bOB cOC 0 OA OB Oc|O為ABC的外心。典型例題：例1： O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點OP OA (AB AC),0, ，則點P的軌跡一定通過 ABC的(A外心 B .內心 C .重心 D .垂心分析：如圖所示 ABC, D、E分別為邊BC、AC的中點.P滿足)AB AC 2ADOP OA 2 ADOP OA APAP 2 ADAP AD P ABC C例2: (03全國理4) O是平面上一定點,- -/AB AC、滿足 OP OA(Ti 1_1),0,AB ACA外心 B .內

4、心 CA、B、C是平面上不共線的三個點，,則點P的軌跡一定通過 ABC的.重心 D .垂心動點P(B )分析:普普分別為AB ACAB、AC方向上的單位向量,ABABBAC,AC 丁八尸(平分AC點P的軌跡一定通過 ABC的內心，即選 B.OP OA (-；AB cosB( )A.外心BP滿足ABC的例3： O是平面上一定點，A、B、AC-*),AC cosC.內心 CC是平面上不共線的三個點，動點0,則點P的軌跡一定通過.重心 D .垂心分析：如圖所示 AD垂直BC, BE 垂直 AC,D、E是垂足.ABACBCAB cosBAC cosCAB BC AC BCAB cosB AC cosC

5、AB BC cos BAC BCcosBcosCACcosCBC + BC =0點P的軌跡一定通過 ABC的垂心，即選 D .練習:1.已知 ABC三個頂點A、B、C及平面內一點P ,滿足PA PB PC 0 ,若實D . 61, OA OB OC 0,則 OAOB ()-22OC 0 ,則 ABC面積與凹四邊形滿足：AB AC AP,則的值為（A. 2B . - C . 322 .若 ABC的外接圓的圓心為 Q半徑為A. - B .0 C .1 D 23 .點O在 ABC內部且滿足 OA 2OBABOC面積之比是（）A. 0B , - C .5 D .42434 . abc的外接圓的圓心為

6、o,若OH Oa Ob OC,則h是 abc的（）A.外心 B .內心 C .重心 D .垂心 2 2. 25 . O是平面上一定點， A、B、C是平面上不共線白三個點，若 OA BC OB222CA OC AB ,則。是 ABC 的（）A.外心B .內心 C .重心 D .垂心6. ABC的外接圓的圓心為 O,兩條邊上的高的交點為 H, Oh m（OA OB OC）, 則實數(shù)m =,一 aB aC - l aB aC i 皿7. （06陜西）已知非零向量 ABWACf足（ + ）- BC=0H =-,則 |AB| |AC|AB| |AC| 2 ABC/（）A三邊均不相等的三角形B .直角三角形C.等腰非等邊三角形D .等邊三角形8.已知 ABC三個頂點A、