格林公式及其應(yīng)用ppt課件

1、一、格林公式二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件三、二元函數(shù)的全微分求積9.7 格林公式及其應(yīng)用一、格林公式v單連通與復(fù)連通區(qū)域 v區(qū)域的邊界曲線的方向 當(dāng)觀察者沿區(qū)域D的邊界曲線L行走時 如果左手在區(qū)域D內(nèi) 則行走方向是L的正向 單連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域 設(shè)D為平面區(qū)域 如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于D 則稱D為平面單連通區(qū)域 否則稱為復(fù)連通區(qū)域 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( v定理1v 設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成 函數(shù)P(x y)及Q(x y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 則有 其中L是D的取正向的邊界曲線 格林公式 應(yīng)注意的問題: 對復(fù)連通區(qū)域D 格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部

2、邊界的曲線積分 且邊界的方向?qū)^(qū)域D來說都是正向 提示 格林公式: v用格林公式計算區(qū)域的面積 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 設(shè)區(qū)域D的邊界曲線為L 那么DLdxdyxdyydx2 或在格林公式中 令Py Qx 則有 LydxxdyA21 或LDydxxdydxdyA21 格林公式: v用格林公式計算區(qū)域的面積 例1 求橢圓xacosq ybsinq 所圍成圖形的面積A LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 設(shè)區(qū)域D的邊界曲線為L 那么LydxxdyA21 解解 設(shè)L是由橢圓曲線 那么 LydxxdyA212022)cossin(21dabababdab2021LydxxdyA2120

3、22)cossin(21dabab abdab2021 提示:因而, 由格林公式有 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 格林公式: v用格林公式計算二重積分 例 2 計算Dydxdye2 其中 D是以 O(0 0) A(1 1) B(0 1) 為頂點的三角形閉區(qū)域 解解 要使2yeyPxQ 只需 P0 2yxeQ 令 P0 2yxeQ 則2yeyPxQ 因而, 由格林公式有 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 格林公式: v用格林公式計算二重積分 例 2 計算Dydxdye2 其中 D是以 O(0 0) A(1 1) B(0 1) 為頂點的三角形閉區(qū)域 解解 BOABOAyDydyxedx

4、dye22)1 (2111022edxxedyxexOAy)1 (2111022edxxedyxexOAy)1 (2111022edxxedyxexOAy BOABOAyDydyxedxdye22 令 P0 2yxeQ 則2yeyPxQ v用格林公式求閉曲線積分 令P2xy Qx2 那么 證證 因而 由格林公式有 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 格林公式: 例3 設(shè)L是任意一條分段光滑的閉曲線 證明 Ldyxxydx022 022xxyPxQ 0022dxdydyxxydxDL0022dxdydyxxydxDL 提示 解解 yPyxxyxQ22222)( 022Lyxydxxdy 例 4

5、 計算Lyxydxxdy22 其中 L 為一條無重點、分段光滑且 不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線 L的方向為逆時針方向 當(dāng)(0 0)D時 由格林公式得 記L所圍成的閉區(qū)域為D 這里22yxyP 22yxxQ 當(dāng)x2y20時 有 在D內(nèi)取一圓周l x2y2r2(r0) 例 4 計算Lyxydxxdy22 其中 L 為一條無重點、分段光滑且 不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線 L的方向為逆時針方向 當(dāng)(0 0)D時 解解 記L所圍成的閉區(qū)域為D 記L及l(fā)所圍成的復(fù)連通區(qū)域為D1 應(yīng)用格林公式得0)(122 dxdyyPxQyxydxxdyDlL 其中l(wèi)的方向取順時針方向 于是 lLyxydxxdyyxydxxdy22

6、222022222sincosdrrrlLyxydxxdyyxydxxdy22222022222sincosdrrr2 2 二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件v曲線積分與路徑無關(guān) 設(shè)G是一個開區(qū)域 P(x y)、Q(x y)在區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 21LLQdyPdxQdyPdx與路徑無關(guān) 否則說與路徑有關(guān) 如果對于G內(nèi)任意指定的兩個點A、B以及G內(nèi)從點A到點B的任意兩條曲線L1、L2 等式恒成立 就說曲線積分LQdyPdx在 G 內(nèi) 二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件v曲線積分與路徑無關(guān) 這是因為 設(shè)L1和L2是G內(nèi)任意兩條從點A到點B的曲線 則L1(L2-)是G內(nèi)一條任意的閉曲線 而

7、且有021LLQdyPdxQdyPdx 0)(21 LLQdyPdx 21LLQdyPdxQdyPdx021LLQdyPdxQdyPdx 意閉曲線 C 的曲線積分LQdyPdx等于零曲線積分LQdyPdx在 G 內(nèi)與路徑無關(guān)相當(dāng)于沿 G 內(nèi)任在 G 內(nèi)恒成立xQyP閉曲線的曲線積分為零)的充分必要條件是等式數(shù) 則曲線積分LQdyPdx在 G 內(nèi)與路徑無關(guān)(或沿 G 內(nèi)任意設(shè)函數(shù)P(x y)及Q(x y)在單連通域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件v曲線積分與路徑無關(guān) v定理2 (曲線積分與路徑無關(guān)的判斷方法) 定理證明 意閉曲線 C 的曲線積分LQdyPdx等于零曲線積分L

8、QdyPdx在 G 內(nèi)與路徑無關(guān)相當(dāng)于沿 G 內(nèi)任v應(yīng)用定理2應(yīng)注意的問題 (1)區(qū)域G是單連通區(qū)域 (2)函數(shù)P(x y)及Q(x y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 如果這兩個條件之一不能滿足 那么定理的結(jié)論不能保證成立.0 xQyPQdyPdxQdyPdxLL與路徑無關(guān)討論 設(shè)L為一條無重點、分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線 L的方向為逆時針方向 問 是否一定成立？ 022Lyxydxxdy提示 則 ABOALdyxxydxdyxxydxdyxxydx222222 .0 xQyPQdyPdxQdyPdxLL與路徑無關(guān) 解解 這里P2xy Qx2 選擇從O(0 0)到A(1 0)再到B(1 1)

9、的折線作為積分路線 11102dy 因為xxQyP2 所以積分 Ldyxxydx22與路徑無關(guān) 例 5 計算Ldyxxydx22 其中 L 為拋 物線yx2上從O(0 0)到B(1 1)的一段弧 三、二元函數(shù)的全微分求積 表達(dá)式P(x y)dxQ(x y)dy與函數(shù)的全微分有相同的結(jié)構(gòu)但它未必就是某個函數(shù)的全微分 那么在什么條件下表達(dá)式P(x y)dxQ(x y)dy是某個二元函數(shù)u(x y)的全微分呢？當(dāng)這樣的二元函數(shù)存在時 怎樣求出這個二元函數(shù)呢？ 二元函數(shù)u(x y)的全微分為du(x y)=ux(x y)dxuy(x y)dy v原函數(shù) 如果函數(shù)u(x y)滿足du(x y)=P(x

10、y)dxQ(x y)dy 則函數(shù)u(x y)稱為P(x y)dxQ(x y)dy的原函數(shù). 設(shè)函數(shù)P(x y)及Q(x y)在單連通域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 則P(x y)dxQ(x y)dy在G內(nèi)為某一函數(shù)u(x y)的全微分的充分必要條件是等式 在G內(nèi)恒成立 xQyPv定理3 v求原函數(shù)的公式 ),(),(00),(),(),(yxyxdyyxQdxyxPyxu yyxxdyyxQdxyxPyxu00),(),(),(0 xxyydxyxPdyyxQyxu00),(),(),(0 解解 這里 因為P、Q在右半平面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 且有 yPyxxyxQ22222)( 22yxyP 22yxxQ 所以在右半平面內(nèi) 22yxydxxdy 是某個函數(shù)的全微分 ),()0 , 1 (22),(yxyxydxxdyyxu 取積分路線為從A(1 0)到B(x 0)再到C(x y)的折線yyxxdy0220 xyarctanyyxxdy0220 xyarctan 半平面內(nèi)是某個函數(shù)的全微分 并求出一個這樣的函數(shù) 例 6 驗證22yxydxxdy在右 則所求函數(shù)為 例7 驗證 在整個xOy面內(nèi) xy2dxx2ydy是某個函數(shù)的全微分 并求出一個這樣的函數(shù) 這里