2019-2020新滬教版高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期教學(xué)案01—集合的概念與表示、集合間的關(guān)系—學(xué)生版

1、1集合的概念與表示、集合間的關(guān)系知識梳理一、集合及其表示方法（1） 集合：某些指定的對象集在一起就形成一個集合（簡稱集）。+（2） 元素：集合中每個對象叫做這個集合的元素。.（3） 表示方法：1）列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合。通常元素個數(shù)較少時用列舉法。2）描述法：用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合，并把這個條件寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。有些集合的元素不能無遺漏地一一列舉出來，或者不便于、不需要一一列舉出來，常 用描述法。格式：x| x 滿足性質(zhì) p。如：集合（ X, y）| y = X2 1（4）分類：1）有限集：含有有限個元素的集合。2）無限集：含有無限

2、個元素的集合。3）空集：我們把不含任何元素的集合，記作o注意：0和 是不同的。0是含有一個元素 0 的集合， 是不含任何元素的集合。（5）性質(zhì)：1）確定性：按照明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)給定一個元素或者在這個集合里，或者不在，不能模棱兩可。2）互異性：集合中的元素沒有重復(fù)。3） 無序性：集合中的元素沒有一定的順序（通常用正常的順序?qū)懗觯＃?）常用數(shù)集及記法：1 ）非負(fù)整數(shù)集（自然數(shù)集）：全體非負(fù)整數(shù)的集合.記作 N, N0,1,2,/2）正整數(shù)集：非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0 的集+記作 N 或 N+N*=1,2,3J3）整數(shù)集：全體整數(shù)的集合 .記作 Z , Z0, 1, 2,/4）有理數(shù)集：全體有理數(shù)的集合

3、.記作 Q ,5）實數(shù)集：全體實數(shù)的集合記作 R（7）元素對于集合的隸屬關(guān)系1）屬于：如果 a 是集合 A 的元素，就說 a 屬于 A,記作 a A2）不屬于：如果 a 不是集合 A 的元素，就說 a 不屬于 A 記作A2、集合之間的關(guān)系1 子集:定義：對于兩個集合 A 與 B,如果集合 A 的任何一個元素都是集合 B 的元素，我們就說集合 A 包含于集合B,或集合 B 包含集合 A,此時我們稱 A 是 B 的子集。 即:若任意 x. A= x. B，則 A B記作：A；=B或B二A；讀作：A包含于 B 或 B 包含 A；注意：B有兩種可能：（1）A 是 B 的一部分；（2）A 與 B 是同一

4、集合2、集合相等：定義：一般地，對于兩個集合 A 與 B,如果集合 A 的任何一個元素都是集合 B 的元素，同時集合 B 的任 何一個元素都是集合 A 的元素，我們就說集合 A 等于集合 B,記作 A=B3、真子集：定義：對于兩個集合 A 與 B,如果Ad B，并且A = B，我們就說集合 A 是集合 B 的真子集；記作：M-B 或 B A;讀作：A 真包含于 B 或 B 真包含 A。注意：1）、空集是任何集合的子集；2）、空集是任何非空集合的真子集；3）、任何一個集合是它本身的子集 +4）、子集的個數(shù)：含 n 個元素的集合的所有子集的個數(shù)是 _ ，所有真子集的個數(shù)是 _，非空真子集數(shù)為 _。

5、5）、易混符號1“ 與“匸”：元素與集合之間是屬于關(guān)系；集合與集合之間是包含關(guān)系如1 N,1FN, N - R, R, 11 , 2, 320與二0是含有一個元素 0 的集合， 是不含任何元素的集合+如 C：- 0，不能寫成 =0 , 04、文氏圖用平面區(qū)域來表示集合之間關(guān)系的方法叫做集合的圖示法，所用的圖叫做文氏圖。 下圖表示的是B A的文氏圖。3例題解析一、集合及其表示方法【例 1】下列能構(gòu)成集合的是:(1)所有的非負(fù)數(shù)；(2)與 1 接近的數(shù)；(3)七寶高一所有男生；(4)七寶高一所有個子高的男生;iab【例 2】設(shè)a，b是非零實數(shù)，那么 U + 可能取的值組成集合是 _a b【例 3】

6、X 由實數(shù)x, -x,IxI,x23x3所組成的集合，最多含()(A)2 個元素(B) 3 個元素(C) 4 個元素(D) 5 個元素【例 4】方程組 =3 2y的解的集合是()j5x十y = 4A. ,一11B. 1-1,11Cx,y 11 /【例 5】設(shè) A 表示集合a2+ 2a- 3,2,3B 表示集合2 , |a + 3|，已知 5 A 且 5?B,求 a 的值.4【例 6】已知集合M=：x x_a x2_ax a -1 =O?各元素之和等于3,則實數(shù) a 的值為_【例 7】已知集合 A=kx28x - 16 =0只有一個元素，試求實數(shù)k 的值，并用列舉法表示集合 A.【例 8】M =

7、 Ix = a+b邁,a, bw Q x1M ,x M，則x1x2_M, Mx2【例 9】設(shè)a乏N, N ,a +b =2,A = (x,y j(xa$ + (y a.= 5b?,若3,2 A,求a,b的值.2【例 10】已知集合A=x|ax 2x 1 = 0,a R,x R(1)當(dāng)A只有一個元素時，求a的值，并求出這個元素(2)當(dāng)A至多含有一個元素時，求a的取值范圍.5【例 11】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，i是一個與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別相切于點C、D的定圓所圍成區(qū)域（含邊界），A、B、C、D是該圓的四等分點，若點P x, y、P x, y滿足x乞x且y丄y，則稱P優(yōu)于P，如果門中的

8、點Q滿足：不存在門中的其它點優(yōu)于Q，那么所有這樣的點Q組成的集合是劣?。ǎ眷柟逃?xùn)練】1 .下列說法正確的是（）（A）所有著名的作家可以形成一個集合（B）0 與 g；的意義相同（C）集合A = *x=丄，門乏 N+是有限集（D）方程x22x 0的解集只有一個元素2.下列四個集合中，是空集的是A.x|x 3 = 3C. x|x2乞02 2 _B.( x, y) | y x , x, y R2D. x | x - x 1 = 0)A .ABB.BCC.CDD.DA【例 12】直角坐標(biāo)平面除去兩點A（1,1）、B（2, 一 2）可用集合表示為（A.x, y)|x -1, y -1, x = 2, y

9、 = 2C.仟2h.y - -2(X, y)|(x-1)2(y-1)2(X-2)2(y 2)2-G）x = 2或64.已知A二一2, _1,0,1,B=y|y = xx A，則 B=_5若A = -2,2,3,4,B =x | x =t2,tA，用列舉法表示 B=_6.下面表示同一集合的是()(A) M= (1, 2) , N= (2, 1) ( B) M=1, 2 , N= (1, 2) (C) M= , N= (D) M=x|x2_2x 1 =0,N=127. 1 a-a- 1,a, - 1,則a的值是_.8A = y y =x2a, R 1 A，則a的取值范圍 _A =x, y) y =

10、x2+a,x R,(1,2)乏A，則a=_.9.已知由實數(shù)組成的集合A,1 A，又滿足：若xA,則丄 A.1 x(1) 設(shè) A 中含有 3 個元素，且2A,求 A;(2) A 能否是僅含一個元素的單元素集，試說明理由；(3) A 中含元素個數(shù) -定是3n(n N*)個嗎？ 若是, 給出證明，若不是，說明理由.3方程組fx+y =2的解構(gòu)成的集合是x y =0A(1,1)B 1,1C. ( 1, 1)( )D1.710設(shè)集合M二xx二a2-b2,a,b Z，求證:(1) 奇數(shù)屬于M(2) 偶數(shù)4k _2(k Z)不屬于M(3)屬于M的兩個整數(shù)，其積屬于M二、集合間的關(guān)系【例 13】下列關(guān)系式0=

11、 -=0:- ?。?0 = -0-0()(A) 4( B)5( C) 6( D) 7【例 14】對于集合AB,若 蟲A不成立，則下列理解正確的是()(A)集合B的任何一個元素都屬于A( B)集合B的任何一個元素都不屬于A(C)集合B中至少有一個元素屬于A( D)集合B中至少有一個元素不屬于A其中正確的個數(shù)8【例 15】寫出集合A = (x,y) y = -x2+ x+6,N,y N全部子集.9【例 16】若非空集合A=x|2a+1 xw3a -5 , B=x|3 x 22，則能使A =B 成立的所有 a 的集合是( )A.a|1waw9B.a|6waw9C.a|aw9D.【例 17】若集合 A

12、=x2a+1 ExE2a+4, B=x3ExE22,則能使Au B成立的a的取值范圍【例 18】已知A =x x22x3 = 0，B = xmx1 = 0，若A，則m=_【例 19】已知集合A = xx2-3x+2 = ,B = x x2- ax十(a -1) = 0且B匸A,求實數(shù)a的值.【例 20】設(shè)A =x | x24 = 0, B =x| x22(a 1)x a2-0，若BA,求a的值.【例21】已知集合A -、m,m d, m 2d，B -、m,mq,mq2匚,其中m = 0,且A = B,求q的值.【例 22】滿足條件0,1睪A匸0,1,2,3,4的集合A的個數(shù)是 _個.10【例

13、23】設(shè)S=0,1,2,3,4,5,A是S的一個子集,當(dāng)x A時,若x+仁人且x-1FA,則稱x是A的一個孤立元素。那么S的 4 元子集中,不含孤立元素的子集共有 _ 個11 1【例 24】若 x A 則 A,就稱 A 是伙伴關(guān)系集合，集合 M= 1, 0, , 1, 2, 3, 4的所有非空子集中，具x3 2有伙伴關(guān)系的集合的個數(shù)為（）85A . 15 B . 16 C . 2D . 2【例 25】已知A =XX=14m 36n,m,n Z, B =xx = 2k,k Z，求證A = B【例 26】若f (x) = x2+ px + q ( p, q乏R ),集合A = xx = f ( x

14、 ), xR,集合B = xx=ff(x)l,xR, 求證：A B當(dāng)A-1,3l時，求集合B:A為單元素集合時，求證：A = B11【鞏固訓(xùn)練】1 已知集合 A 中有 n 個元素，則集合 A 的子集個數(shù)有 _ 個，真子集有 _個，非空真子集 _ 個.2已知M 2,a,b N：2a,2,b2?,且M =N,求實數(shù)a,b的值.3.以下六個關(guān)系式:009 -, 0.3 - Q錯誤的個數(shù)是()A. 4 B .3 C.2D . 10 N,a,b；二ba?，x|x2-2 = 0,x Z是空集,4.19Ag123，則集合A的個數(shù)是_ 個.5已知A B, A C,B1,2,3,5力J0,2,4,8求A.6下列

15、式子中，正確的是（）A.R RC.空集是任何集合的真子集B. Z-二x | x蘭0, ZD.-/127.已知A =x 2蘭x蘭5,B =x m+1蘭x蘭2m1,B匸A,求m的取值范圍.2&已知M =y y =x 1,x R, P =x x =|a 1,a R,則集合 M 與 P 的關(guān)系是（）A.M=P B.P二RC.MP D.M2 P9.已知A=x|m_x _2m -1 ,B=x|_2 _x _5，若A B,求實數(shù)m的取值范圍.10.A=x|x10,B=x|x1 + n）且 BA,求m的范圍.11.設(shè)集合A=1,2,3,.,10求集合A的所有非空子集元素和的和.12 .集合S二 x,

16、y, z x、y、z N，且x y z、y z x、z x y恰有一個成立，若x, y, z盧S且（z, w,x尸S,則下列選項正確的是（）13A.y,z, w S,X, y,wB .y,z, w S,x, y,w SC.y,z,w S,x, y,WiS D .y,z,W i】S,x, y,w pSa13.設(shè) P 是一個數(shù)集，且至少含兩個數(shù)，若對任意a,b P，都有a b,a -b,ab, P（b = 0），則稱 P 是一個數(shù)b域例如有理數(shù)集 Q 是數(shù)域；數(shù)集F二a 2|a,b Q也是數(shù)域給出下列命題：整數(shù)集是數(shù)域；若有理數(shù)集Q M，則數(shù)集 M 必為數(shù)域；數(shù)域必為無限集；存在無窮多個數(shù)域.其中

17、正確的命題是_ .（填序號）反思總結(jié)集合元素具有三個特征：確定性、互異性、無序性；確定性用來判斷符合什么條件的研究對象可組成集合；互 異性是相同元素只寫一次，在解決集合的關(guān)系或運算時，要注意驗證互異性；無序性，即只要元素完全相同的兩個 集合是相等集合，與元素的順序無關(guān)；集合中的元素的確定性和互異性，一是可以作為解題的依據(jù)；二可以檢驗所求結(jié)果是否正確.用描述法表示集合時， 一定要明確研究的代表元素是什么，女口；x|y=x2-4?表示的是由二次函數(shù)y=x2-4的自變量組成的集合，即y=x2-4的定義域；1y|y=x2-4?表示的是由二次函數(shù)y = x2- 4的函數(shù)值組成的集 合，即y=x2-4的值

18、域；（x, y） | y = x2-4表示的是由二次函數(shù)y = x2-4的圖像上的點組成的集合，即y = x2-4的圖像.要注意空集的特殊性，空集不含任何元素，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集子集與真子集的區(qū)別與聯(lián)系：集合A 的真子集一定是其子集，而集合A 的子集不一定是其真 子集；若集合 A 有n 個元素，則其子集個數(shù)為2n，真子集個數(shù)為2n-1，非空真子集有.2n-2。判斷兩集合的關(guān)系常有兩種方法： 一是化簡集合，從表達(dá)式中尋找兩集合間的關(guān)系； 二是用列舉法表示各集合， 從元素中尋找關(guān)系.在進行集合運算時要盡可能地借助韋恩（Venn）圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化.一般地，集合元素離

19、散時用韋恩（Venn）圖表示；集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示.14課后練習(xí)1 如果A Jxx .-心，那么錯誤的結(jié)論是（）（A）0 A（B）;O = A（C）A(D)A2.下列四個命題中，其中正確命題的個數(shù)為（）與 1 非常接近的全體實數(shù)能構(gòu)成集合；二1,（-1）2表示一個集合；空集是任何一個集合的真子集；任何一個非空集合必有兩個以上的子集。（A）0 個（B）1 個(C 2 個(D) 3 個3下列各對象可以組成集合的是（）（A）與 1 非常接近的全體實數(shù)（B）某校2015-2016學(xué)年度笫一學(xué)期全體高一學(xué)生（C）高一年級視力比較好的同學(xué)（D）與無理數(shù)p相差很小的全體實數(shù).4集合,1,4,9,16,2

20、5用描述法來表示為_5.下列四個集合中，是空集的是（）2 2A. x|x+3=3B.（ x, y） | y = -x , x, R2 2Cx | x 0Dx | x x + 1=0,xR6. 下面有四個命題：（1）集合N中最小的數(shù)是1;（2）若-a不屬于N，則a屬于N；（3）若a N,b N,則a b的最小值為2；（4）x22x的解可表示為4仁；其中正確命題的個數(shù)為（）A. 0 個 B .1個 C .2個 D .3個157 用符號“ ”或“填空（1）0_ N,J5_N,VT6_ N1（2） QJI Q,2- -（3）.2 - -3, 23x|x二a、6b,a Q,b Qi&下列命題正確

21、的有（）（1）很小的實數(shù)可以構(gòu)成集合；（2） 集合y| y二x21與集合x, y | y = x2仁是同一個集合;3 61（3）1, ,-,0.5這些數(shù)組成的集合有5個元素；2 42（4）集合x, y |xy0,x,yR是指第二和第四象限內(nèi)的點集。A. 0 個 B .1個 C .2個 D .3個9.下列命題中正確的（）10與0表示同一個集合；2由 1,2,3 組成的集合可表示為1,2,3或3,2,1;3方程（x 1）2（x 2） = 0 的所有解的集合可表示為1,1,2;4集合x|4x5可以用列舉法表示.A.只有和B .只有和C.只有D .以上語句都不對10.用列舉法表示集合x|x2 2x+ 1= 0為（ ）A. 1,1 B . 12C. x = 1 D . x 2x + 1 = 011.已知集合 A= x N|-肅Wxw寸 5，則必有（）A.1A B.0AC.