橢圓的簡單幾何性質(zhì)3課時教學(xué)用

1、橢圓的定義橢圓的定義圖形圖形標(biāo)準方程標(biāo)準方程焦點坐標(biāo)焦點坐標(biāo) a,b,c的關(guān)系的關(guān)系 焦點位置的焦點位置的判斷判斷122 (220)MFMFaac 22200(,)acb acab22221 0 xyabab22221 0yxabab12yoFFMx1oFyx2FMcabM橢圓橢圓 簡單的幾何性質(zhì)簡單的幾何性質(zhì)12222byax范圍：范圍：, 122ax得：得：122 by -axa, -byb 橢圓落在橢圓落在x=a,y= b組成的矩形中（如圖）組成的矩形中（如圖） oyB2B1A1A2F1F2cab1. 觀察：觀察：x,y的范圍？的范圍？2. 思考：如何用代數(shù)思考：如何用代數(shù)方法解釋方法解

2、釋x,y的范圍？的范圍？ -axa, -byb 一一.范圍范圍二、橢圓的頂點二、橢圓的頂點22221(0)，xyabab在中令令 x=0，得，得 y=？，說明橢圓與？，說明橢圓與 y軸的交點（軸的交點（ ），）， 令令 y=0，得，得 x=？, 說明橢圓與說明橢圓與 x軸的交點（軸的交點（ ）。）。*頂點頂點：橢圓與它的對稱橢圓與它的對稱軸的四個交點，叫做橢圓的軸的四個交點，叫做橢圓的頂點。頂點。 oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2(a,0)0, ba, 0*長軸長軸、短軸短軸： 線段線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的分別叫做橢圓的長軸和短軸。長軸和短軸。a、b分別叫做橢圓的分別叫

3、做橢圓的長半長半軸長軸長和和短半軸長短半軸長。焦點總在長軸上焦點總在長軸上!三三.橢圓的對稱性橢圓的對稱性YXOP1（-x，y）P2（-x，-y）P3（-x，-y）P（x，y） 把把(X)換成換成(-X),方程不變方程不變,說明橢圓關(guān)于說明橢圓關(guān)于( )軸對稱；軸對稱； 把把(Y)換成換成(-Y),方程不變方程不變,說明橢圓關(guān)于說明橢圓關(guān)于( )軸對稱；軸對稱； 把把(X)換成換成(-X), (Y)換成換成(-Y),方程還是不變方程還是不變,說明橢圓關(guān)說明橢圓關(guān)于于( )對稱；對稱；Y X 原點原點 所以，坐所以，坐標(biāo)軸是橢圓的標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點對稱軸，原點是橢圓的對稱是橢圓的對稱中心。

4、中心。123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x練習(xí)：根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識畫出下列圖形練習(xí)：根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識畫出下列圖形1162522yx142522yx（1）（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 四四、橢圓的離心率、橢圓的離心率ace 離心率：離心率：橢圓的焦距與長軸長的比：橢圓的焦距與長軸長的比：叫做橢圓的離心率。叫做橢圓的離心率。1離心率的取值范圍：離心率的取值范圍：1）e 越接近越接近 1，c 就越接近就越接近 a，從而，從而 b就越小，橢圓就就越小，橢圓就越扁越扁因為因為 a

5、 c 0，所以，所以0e b)(ab)cea知識歸納知識歸納a2=b2+c2 ) 0(ba，標(biāo)準方程標(biāo)準方程范圍范圍對稱性對稱性頂點坐標(biāo)頂點坐標(biāo)焦點坐標(biāo)焦點坐標(biāo)半軸長半軸長離心率離心率 a a、b b、c c的關(guān)的關(guān)系系22221(0)xyabab關(guān)于關(guān)于x x軸、軸、y y軸成軸對稱；軸成軸對稱；關(guān)于原點成中心對稱關(guān)于原點成中心對稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長半軸長為長半軸長為a a, ,短半軸短半軸長為長為b. b. (ab)(ab)cea22221(0)xyabba(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -

6、c)關(guān)于關(guān)于x x軸、軸、y y軸成軸對稱；軸成軸對稱；關(guān)于原點成中心對稱關(guān)于原點成中心對稱長半軸長為長半軸長為a a, ,短半軸短半軸長為長為b.b.(ab)(ab)cea-a x a, - b y b-a y a, - b x ba2=b2+c2 ) 0(baa2=b2+c2) 0(ba)5,0(),5,0(21FF例題例題1:1: 求橢圓求橢圓 9 x2 + 4y2 =36的長軸和短軸的長、離心的長軸和短軸的長、離心 率、焦點和頂點坐標(biāo)。率、焦點和頂點坐標(biāo)。橢圓的長軸長是橢圓的長軸長是:離心率離心率:焦點坐標(biāo)是焦點坐標(biāo)是:四個頂點坐標(biāo)是四個頂點坐標(biāo)是:)3 , 0(),3, 0(),0

7、, 2(),0 , 2(2121BBAA橢圓的短軸長是橢圓的短軸長是:2a=62b=435ace解題步驟：解題步驟：1、將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準方程求、將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準方程求a、b：2、確定焦點的位置和長軸的位置、確定焦點的位置和長軸的位置.解：把已知方程化成標(biāo)準方程解：把已知方程化成標(biāo)準方程19422yx四、例題講解：四、例題講解：549,2,3cba練習(xí)練習(xí):求橢圓求橢圓 16 x2 + 25y2 =400的長軸和短軸的長、離的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點坐標(biāo)。心率、焦點和頂點坐標(biāo)。解：把已知方程化成標(biāo)準方程解：把已知方程化成標(biāo)準方程1452222yx31625,4,5cba橢圓的長

8、軸長是橢圓的長軸長是:離心率離心率:6.053ace焦點坐標(biāo)是焦點坐標(biāo)是:)0,3(),0,3(21FF四個頂點坐標(biāo)是四個頂點坐標(biāo)是:)4,0(),4,0(),0 , 5(),0 , 5(2121BBAA橢圓的短軸長是橢圓的短軸長是:2a=102b=8例例2: 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準方程：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準方程：（1）經(jīng)過點）經(jīng)過點（-3，0）、）、（0，-2）；）；22194xy22194xy解：解： 方法一：方法一：設(shè)橢圓方程為設(shè)橢圓方程為mx2ny21（m0，n0，mn），），將點的坐標(biāo)代入方程，求出將點的坐標(biāo)代入方程，求出m1/9,n1/4。所以橢圓的標(biāo)準方程為所以橢圓的標(biāo)

9、準方程為 方法二：方法二：利用橢圓的幾何性質(zhì)，以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢利用橢圓的幾何性質(zhì)，以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓與坐標(biāo)軸的交點就是橢圓的頂點，于是焦點在圓與坐標(biāo)軸的交點就是橢圓的頂點，于是焦點在x軸上，軸上，且點且點P、Q分別是橢圓長軸與短軸的一個端點，故分別是橢圓長軸與短軸的一個端點，故a3，b2，所以橢圓的標(biāo)準方程為，所以橢圓的標(biāo)準方程為 （2）離心率為）離心率為 ，經(jīng)過點（，經(jīng)過點（2,0）23練習(xí)：練習(xí)： 橢圓的一個頂點為 ,其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標(biāo)準方程02，A分析：分析：題目沒有指出焦點的位置，要考慮兩種位置 橢圓的標(biāo)準方程為： ；11422yx橢圓的標(biāo)準方程為： ；1164

10、22yx解：解：（1）當(dāng) 為長軸端點時， ， ， 2a1b02，A（2）當(dāng) 為短軸端點時， , ， 2b4a02，A綜上所述，橢圓的標(biāo)準方程是 或 11422yx116422yx練習(xí)：練習(xí)：書本書本48頁第頁第1、2、3、4、5題題作業(yè) P49.A2、3、4、5標(biāo)準方程標(biāo)準方程范圍范圍對稱性對稱性頂點坐標(biāo)頂點坐標(biāo)焦點坐標(biāo)焦點坐標(biāo)半軸長半軸長離心率離心率 a a、b b、c c的關(guān)的關(guān)系系22221(0)xyabab關(guān)于關(guān)于x x軸、軸、y y軸成軸對稱；軸成軸對稱；關(guān)于原點成中心對稱關(guān)于原點成中心對稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長半軸長為長半軸長為

11、a a, ,短半軸短半軸長為長為b. b. (ab)(ab)cea22221(0)xyabba(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)關(guān)于關(guān)于x x軸、軸、y y軸成軸對稱；軸成軸對稱；關(guān)于原點成中心對稱關(guān)于原點成中心對稱長半軸長為長半軸長為a a, ,短半軸短半軸長為長為b.b.(ab)(ab)cea-a x a, - b y b-a y a, - b x ba2=b2+c2 ) 0(baa2=b2+c2) 0(ba例1例2分析分析關(guān)鍵是找到關(guān)鍵是找到a，c所滿足的方程，所滿足的方程，根據(jù)點根據(jù)點M在橢圓上解決在橢圓上解決1.橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸，離心

12、率橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸，離心率 ，長軸長為，長軸長為6，則橢圓的方程則橢圓的方程 為（為（ ）32e 120y36x22 15y9x22 15922 xy120y36x22 1203622 xy(A)(B)(C)(D)15y9x22 或或或或C練習(xí)練習(xí)1：2.若某個橢圓的長軸、短軸、焦距依次成等若某個橢圓的長軸、短軸、焦距依次成等差數(shù)列，則其離心率差數(shù)列，則其離心率e=_已知橢圓 的離心率 ，求 的值 19822ykx21ek21e4k由 ，得：解：解：當(dāng)橢圓的焦點在 軸上時， ， ，得 82 ka92b12 kcx 當(dāng)橢圓的焦點在 軸上時， ， ，得 92a82 kbkc12y21e4191

13、k45k由 ，得 ，即 滿足條件的 或 4k45k練習(xí)2：已知橢圓 的離心率 ，求 的值 ）（111522kkykx21ek練習(xí)3：例例4：點點M(x,y)與定點與定點F(4,0)的距離和它到定直線的距離和它到定直線l:x = 的距離的比是常數(shù)的距離的比是常數(shù) ，求點，求點M的軌跡。的軌跡。42554xyoFMlF1l( (橢圓的第二定義橢圓的第二定義) )準線方程：準線方程：cxa2 解：解：如圖，設(shè)如圖，設(shè)d是點是點M到直線到直線L的距離，根據(jù)題意，所求軌的距離，根據(jù)題意，所求軌跡的集合是：跡的集合是：由此得由此得 ：222,xcycaaxc22222222()().ac xa ya ac

14、22221(0).xyabab 這是一個橢圓的標(biāo)準方程，所以點這是一個橢圓的標(biāo)準方程，所以點M的的軌跡是長軸、短軸分別是軌跡是長軸、短軸分別是2a、2b的橢圓。的橢圓。點點M（x,y）與定點）與定點F（c,0）的距離）的距離 和它到定直線和它到定直線的距離比是常數(shù)的距離比是常數(shù)2:al xc(0).caca求求M點的軌跡。點的軌跡。|M FcPMda平方，化簡得平方，化簡得 ：222,:acb令可化得若點若點F F是定直線是定直線l外一定點，動點外一定點，動點M M到點到點F F的距離的距離與它與它到直線到直線l l的距離的距離之之比比等于常等于常數(shù)數(shù)e e(0(0e e1)1)，則點，則點M

15、 M的軌跡是橢圓的軌跡是橢圓. .M MF FH Hl新知探究新知探究動畫動畫第二定義第二定義 直線直線 叫做橢圓相應(yīng)于焦叫做橢圓相應(yīng)于焦點點F F2 2(c(c，0)0)的的準線準線，相應(yīng)于焦點，相應(yīng)于焦點F F1 1( (c c，0)0)的準線方程是的準線方程是2axc=2= -axcO Ox xy yF F2 2F F1 12axc=2= -axc新知探究新知探究橢圓的準線與離心率橢圓的準線與離心率離心率離心率：橢圓的準線橢圓的準線 ：2axc2222:1(0)yxabab思考又如何呢?ceaoxyMLLFF離心率的范圍離心率的范圍：01e相對應(yīng)焦點相對應(yīng)焦點F（c,0），準線是：），準

16、線是：相對應(yīng)焦點相對應(yīng)焦點F（- c,0），準線是：），準線是：2axc2axc1. 1.基本量基本量: : a a、b b、c c、e e、幾何意義：幾何意義：a a- -長長半半軸、軸、b b- -短短半半軸、軸、c c- -半焦距，半焦距，e e- -離心率；離心率； 相互關(guān)系：相互關(guān)系： 橢圓中的基本元素橢圓中的基本元素2. 2.基本點：基本點：頂點、焦點、中心頂點、焦點、中心3. 3.基本線基本線: : 對稱軸對稱軸（共兩條線），（共兩條線），準線準線222bacace 焦點總在長軸上焦點總在長軸上!課堂小結(jié)課堂小結(jié)ca2ca2-準線準線 【答案】6作業(yè) P49.A6、7 P50.B

17、2、3、4直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓的位置關(guān)系種類:相離(沒有交點)相切(一個交點)相交(二個交點)點和橢圓的位置關(guān)系：點和橢圓的位置關(guān)系：類比點和圓類比點和圓的位置關(guān)系的位置關(guān)系 直線與橢圓的位置關(guān)系的判定代數(shù)方法代數(shù)方法222201AxByCxyab由方程組20(0)mxnxpm24nmp=00=0方程組有兩解兩個交點相交方程組有一解一個交點相切方程組無解無交點相離1.位置關(guān)系：相交、相切、相離位置關(guān)系：相交、相切、相離2.判別方法判別方法(代數(shù)法代數(shù)法) 聯(lián)立直線與橢圓的方程聯(lián)立直線與橢圓的方程 消元得到二元一次方程組消元得到二元一次方程組 (1)0直線與橢圓相交直線與橢圓相交有兩個

18、公共點；有兩個公共點； (2)=0 直線與橢圓相切直線與橢圓相切有且只有一個公共點；有且只有一個公共點； (3)k-3366-k33當(dāng) =時有一個交點當(dāng)或時有兩個交點當(dāng)時沒有交點lmm oxyml解：設(shè)直線 平行于 ，224501259xykxy由方程組22258-2250yxkxk消去 ，得22064-4 25-2250kk 由，得（）450lxyk則 可寫成：12k25k25解得=，=-25.k 由圖可知 oxy45250mxy直線 為：22402515414145mld直線 與橢圓的交點到直線 的距離最近。且思考：最大的距離是多少？max22402565414145d設(shè)直線與橢圓交于設(shè)直

19、線與橢圓交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)兩點，直線兩點，直線P1P2的斜率為的斜率為k弦長公式：弦長公式：221|1|1|ABABABkxxyyk知識點知識點2：弦長公式：弦長公式可推廣到任意二次曲線例例3：已知斜率為已知斜率為1的直線的直線L過橢圓過橢圓 的右焦點，的右焦點，交橢圓于交橢圓于A，B兩點，求弦兩點，求弦AB之長之長222:4,1,3.abc解 由橢圓方程知( 3,0).F右焦點:3.lyx直線 方程為22314yxxy258 380yxx消 得：1122( ,), (,)A x yB xy設(shè)12128 38,55xxxx22212121211()4ABkxxkxxxx

20、85例例5 ：已知橢圓：已知橢圓 過點過點P(2，1)引一弦，使弦在這點被引一弦，使弦在這點被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.解：解：韋達定理韋達定理斜率斜率韋達定理法：利用韋達定理及中點坐標(biāo)公式來構(gòu)造韋達定理法：利用韋達定理及中點坐標(biāo)公式來構(gòu)造知識點知識點3：中點弦問題：中點弦問題例例 5已知橢圓已知橢圓 過點過點P(2，1)引一弦，使弦在這點被引一弦，使弦在這點被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.點差法：利用端點在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造點差法：利用端點在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造 出中點坐標(biāo)和斜率出中點坐標(biāo)和斜率點點作差作差知識點知

21、識點3：中點弦問題：中點弦問題點差法：點差法：利用端點在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作利用端點在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造出中點坐標(biāo)和斜率差構(gòu)造出中點坐標(biāo)和斜率112200( ,), (,),(,)A x yB xyABM xy設(shè)中點，0120122,2xxxyyy則有：1212AByykxx又2211221xyab2222221xyab兩式相減得：2222221211()()0bxxayy1122( ,), (,)A x yB xy在橢圓上，2222221211()()0bxxayy由2221122212yybxxa 即2111221211AByyxxbkxxayy 2020 xbay 直線和

22、橢圓相交有關(guān)弦的中點問題，常用設(shè)而不求的思想方法 例例5已知橢圓已知橢圓 過點過點P(2，1)引一弦，使弦在這點被引一弦，使弦在這點被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.所以所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得，整理得x+2y-4=0從而從而A ,B在直線在直線x+2y-4=0上上而過而過A,B兩點的直線有且只有一條兩點的直線有且只有一條解后反思：中點弦問題求解關(guān)鍵在于充分利用解后反思：中點弦問題求解關(guān)鍵在于充分利用“中點中點”這這一一 條件，靈活運用中點坐標(biāo)公式及韋達定理，條件，靈活運用中點坐標(biāo)公式及韋達定理，練習(xí)： P49：A8例例6、如圖，已知橢圓

23、如圖，已知橢圓 與直線與直線x+y-1=0交交于于A、B兩點，兩點， AB的中點的中點M與橢圓中心連線的與橢圓中心連線的斜率是斜率是 ，試求，試求a、b的值。的值。221axby2 2,AB 22oxyABM22110axbyxy 解:2)210yab xbxb 消 得:(2)(1)0bab b =4-4(abab1122( ,), (,)A x yB x y設(shè)121221,bbxxx xabab(,)baABMab ab中點22121 21()4ABkxxx x又MOakb222ba 2212 22 ()4bbabab12,33ab 練習(xí)：練習(xí)： 已知橢圓已知橢圓5x2+9y2=45，橢圓的右焦點為，橢圓的右焦點為F，(1)求過點求過點F且斜率為且斜率為1的直線被橢圓截得的弦長的直線被橢圓截得的弦長.(2)判斷點判斷點A(1,1)與橢