基于人口增長模型的數(shù)學(xué)建模

1、數(shù)學(xué)建模論文 題 目：人口增長模型的確定 專業(yè)、姓名： 專業(yè)、姓名： 專業(yè)、姓名： 人口增長模型 摘 要 隨著人口的增加，人們越來越認(rèn)識(shí)到資源的有限性，人口與資源之間的矛盾日漸突出，人口問題已成為世界上最被關(guān)注的問題之一。問題給出了17901980年間美國的人口數(shù)據(jù)，通過分析近兩百年的美國人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表，得知每10年的人口數(shù)的變化。預(yù)測美國未來的人口。對于問題我們選擇建立Logistic模型(模型2)現(xiàn)實(shí)中，影響人口的因素很多，人口也不能無限的增長下去，Logistic 模型引進(jìn)常數(shù)N 表示自然資源和環(huán)境所能承受的最大人口數(shù)，因而得到了一個(gè)貝努利方程的初值問題公式，從實(shí)際效果來看，這個(gè)公式較好

2、的符合實(shí)際情況的發(fā)展，隨著時(shí)間的遞增，人口不是無限增長的，而是趨近于一個(gè)數(shù)，這個(gè)即為最大承受數(shù)。我們還同時(shí)對數(shù)據(jù)作了深入的探討，作數(shù)據(jù)分析預(yù)測，通過觀測比較選擇一個(gè)比較好的擬合模型（模型3）進(jìn)行預(yù)測。預(yù)測接下來的每隔十年五次人口數(shù)量，分別為251.4949， 273.5988 ， 293.4904 ， 310.9222 325.8466。關(guān)鍵詞：人口預(yù)測 Logistic模型 指數(shù)模型1、 問題重述1790-1980年間美國每隔10年的人口記錄如下表所示。表1 人口記錄表年份1790180018101820183018401850186018701880人口(´106)3.95.37

3、.29.612.917.123.231.438.650.2年份1890190019101920193019401950196019701980人口(´106)62.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5試用以上數(shù)據(jù)建立馬爾薩斯(Malthus)人口指數(shù)增長模型，并對接下來的每隔十年預(yù)測五次人口數(shù)量，并查閱實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行比對分析。如果數(shù)據(jù)不相符，再對以上模型進(jìn)行改進(jìn)，尋找更為合適的模型進(jìn)行預(yù)測。2、 問題分析人口預(yù)測是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的問題，影響人口增長除了人口數(shù)與可利用資源外，還與醫(yī)藥衛(wèi)生條件的改善，人們生育觀念的變化等因素有關(guān). 可以采取

4、幾套不同的假設(shè)，做出不同的預(yù)測方案，進(jìn)行比較。人口預(yù)測可按預(yù)測期長短分為短期預(yù)測 (5年以下)、中期預(yù)測(520年)和長期預(yù)測(2050年)。在參數(shù)的確定和結(jié)果討論方面，必須對中短期和長期預(yù)測這兩種情況分開討論。中短期預(yù)測中所用的各項(xiàng)參數(shù)以實(shí)際調(diào)查所得數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，根據(jù)以往變動(dòng)趨勢可較準(zhǔn)確加以估計(jì)，推算結(jié)果容易接近實(shí)際，現(xiàn)實(shí)意義較大。3、 問題假設(shè)1.在模型中預(yù)期的時(shí)間內(nèi)，人口不會(huì)因發(fā)生大的自然災(zāi)害、突發(fā)事故或戰(zhàn)爭等而受到大的影響；2. 假設(shè)美國人口的增長遵循馬爾薩斯人口指數(shù)增長的規(guī)則3. 假設(shè)人口增長不受環(huán)境最大承受量的限制4、 變量說明： 數(shù)據(jù)的起始時(shí)間，即1790年t： 時(shí)間r： 人口增長

5、率x¥：人口常數(shù)最大值5、 模型建立模型一 圖一由圖1可以發(fā)現(xiàn)美國人口的變化規(guī)律曲線近似為一條指數(shù)函數(shù)曲線，因此我們假設(shè)美國的人口滿足函數(shù)關(guān)系x=f(t), f(t)=ea+bt，a,b為待定常數(shù)，根據(jù)最小二乘擬合的原理，a,b是函數(shù)的最小值點(diǎn)。其中xi是ti時(shí)刻美國的人口數(shù)。利用MATLAB軟件中的曲線擬合程序“l(fā)sqcurvefit”。模型二上述模型對過去的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合得較好，但也存在問題，即人口是呈指數(shù)規(guī)律無止境地增長，此時(shí)人口的自然增長率隨人口的增長而增長，這不可能。一般說來，當(dāng)人口較少時(shí)增長得越來越快，即增長率在變大；人口增長到一定數(shù)量以后，增長就會(huì)慢下來，即增長率變小這是

6、因?yàn)椋匀毁Y源、環(huán)境條件等因素不允許人口無限制地增長，它們對人口的增長起著阻滯作用，而且隨著人口的增加，阻滯作用越來越大。而且人口最終會(huì)飽和，趨于某一個(gè)常數(shù)x¥，我們假設(shè)人口的靜增長率為r(1-x(t)/x¥)，即人口的靜增長率隨著人口的增長而不斷減小，當(dāng)t®¥時(shí)，靜增長率趨于零。按照這個(gè)假設(shè)，得到 (1)這便是荷蘭數(shù)學(xué)家Verhulst于19世紀(jì)中葉提出的阻滯增長模型（logistic模型）。 利用分離變量法，人口的變化規(guī)律為： (2)利用MATLAB軟件中的“l(fā)sqcurvefit”命令和函數(shù)(2) 來擬合所給的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，從而確定出(2)中的待定

7、參數(shù)r和x¥。模型三從圖5 看出，在前一段吻合得比較好，但在最上面，若擬合曲線更接近原始數(shù)據(jù)，對將來人口的預(yù)測應(yīng)該更好。因此，把用函數(shù)(2)來擬合所給人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的評價(jià)準(zhǔn)則略加修改，看效果如何。將擬合準(zhǔn)則改為： 其中w為右端幾個(gè)點(diǎn)的誤差權(quán)重，在此處應(yīng)該取為大于1的數(shù)，這樣會(huì)使右邊的擬合誤差減小，相應(yīng)的，其他點(diǎn)的誤差會(huì)有所增加。如何才能使這些誤差的增減恰當(dāng)呢？可以通過調(diào)整w和n的具體取值，比較他們?nèi)「鞣N不同值時(shí)的擬合效果，從而確定出一個(gè)合適的數(shù)值。6、 模型求解模型一圖二a =0.0154 -25.1080x1 =279.0104x2 =325.6156x3 =380.0056x4 =

8、443.4808X5=517.5587模型二圖三a =285.8931 0.0286x1=230.9149x2 =242.5078x3 =252.0148x4 =259.6639x5 =265.7242模型三圖四a =388.7178 0.0260x1 =251.4949x2 =273.5988x3 =293.4904x4 =310.9222x5 =325.84667、 結(jié)果分析從圖二可以看出，模型一對過去的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合得較好，但也存在問題，即人口是呈指數(shù)規(guī)律無止境地增長，此時(shí)人口的自然增長率隨人口的增長而增長，這不可能。一般說來，當(dāng)人口較少時(shí)增長得越來越快，即增長率在變大；人口增長到一定數(shù)量

9、以后，增長就會(huì)慢下來，即增長率變小這是因?yàn)?，自然資源、環(huán)境條件等因素不允許人口無限制地增長，它們對人口的增長起著阻滯作用，而且隨著人口的增加，阻滯作用越來越大。而且人口最終會(huì)飽和，趨于某一個(gè)常數(shù)。這時(shí)模型二比較符合。從圖三看，在前一段吻合得比較好，但在最上面，若擬合曲線更接近原始數(shù)據(jù)，對將來人口的預(yù)測應(yīng)該更好。因而用將模型二進(jìn)行改進(jìn)后的模型三擬合，此時(shí)后面的值更為擬合，預(yù)測結(jié)果更為準(zhǔn)確。所以，1990-2030年的人口預(yù)測數(shù)目為251.4949，273.5988，293.4904，310.9222，325.8466（百萬），經(jīng)過與1990,2000,2010的實(shí)際查找數(shù)據(jù)（251.4，281.

10、4,308.7）比較，誤差較小，可以作為預(yù)測數(shù)據(jù)。8、 參考文獻(xiàn)【1】姜啟源，謝金星，葉俊，數(shù)學(xué)模型（第三版），北京：高等教育出20039、 附錄一function f=fun1(a,t)f=exp(a(1)*t+a(2);t=1790:10:1980;x=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 . 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5;plot(t,x,'-*');a0=0.001,1;a=lsqcurvefit('fun1',a0,t,x)ti

11、=1790:5:2040;xi=fun1(a,ti);hold onplot(ti,xi,.);t1=1990;x1=fun1(a,t1)t2=2000;x2=fun1(a,t2)t3=2010;x3=fun1(a,t3)t4=2020;x4=fun1(a,t4)t5=2030;x5=fun1(a,t5)hold off二x=1790:10:1980;y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 . 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5;plot(x,y,'-*')

12、;a0=0.001,1;a=lsqcurvefit('fun3',a0,x,y)xi=1790:5:2040;yi=fun3(a,xi);hold onplot(xi,yi);t1=1990;x1=fun3(a,t1)t2=2000;x2=fun3(a,t2)t3=2010;x3=fun3(a,t3)t4=2020;x4=fun3(a,t4)t5=2030;x5=fun3(a,t5)hold off三function f=fun4(a)n=16;w=30;x=1790:10:1980;x1=x(1:n);x2=x(n+1:20);y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 . 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5;y1=y(1:n);y2=y(n+1:20);f=fun3(a,x1)-y1,w*fun3(a,x2)-w*y2;t=1790:10:1980;x=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 . 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5;plot(t,x,'-*');a0=300,0.03;a=ls