電動(dòng)力學(xué)——矢量和張量課件

1、矢量和張量vectors and tensors中山大學(xué)理工學(xué)院 黃迺本教授(2005級(jí),2007年3月)如果不理解它的語(yǔ)言,沒(méi)有人能夠讀懂宇宙這本書(shū),它的語(yǔ)言就是數(shù)學(xué).Galileo經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的研究對(duì)象電磁相互作用的經(jīng)典場(chǎng)論狹義相對(duì)論電動(dòng)力學(xué)的相對(duì)論協(xié)變性主要數(shù)學(xué)工具微積分、線性代數(shù)、矢量與張量分析、數(shù)學(xué)物理方程、級(jí)數(shù)等.教材和參考書(shū)教材：郭碩鴻電動(dòng)力學(xué)（第二版）高等教育出版社，1997參考書(shū)：1黃迺本，方奕忠電動(dòng)力學(xué)（第二版）學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書(shū)，高等教育出版社，20042J.D.杰克孫經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)人民教育出版社，19783費(fèi)恩曼物理學(xué)講義，第2卷，上?？萍汲霭嫔?，20054朗道等場(chǎng)論人民教育出版

2、社，19595蔡圣善等電動(dòng)力學(xué)（第二版），高等教育出版社，20036尹真電動(dòng)力學(xué)（第二版），科學(xué)出版社，20057Daniel R Frankl,ELECTROMAGNETIC THEORY,Prentice-Hall,Inc.,1986矢量和張量目錄(contens)1.矢量和張量代數(shù)(the algebra of vectors and tensors)2.矢量和張量分析(the analysis of vectors and tensors)3.函數(shù)( function)4.球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系1 矢量和張量代數(shù)在三維歐幾里德空間中，按物理量在坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)下的變換性質(zhì)，可分為標(biāo)量（零階張量）

3、，矢量（一階張量），二階張量，及高階張量.（見(jiàn)郭碩鴻，電動(dòng)力學(xué)，P258）分為：0 階張量，即標(biāo)量(scalar)，在3維空間中，只有30 = 1個(gè)分量.標(biāo)量是空間轉(zhuǎn)動(dòng)下的不變量.例如，空間中任意兩點(diǎn)之間的距離r，就是坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)下的不變量.溫度、任一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的能量、帶電粒子的電荷、電場(chǎng)中的電勢(shì)，等等,都是標(biāo)量.1階張量，即矢量(vector)，在3維空間中，由31 = 3個(gè)分量構(gòu)成有序集合.例如，空間中任意一點(diǎn)的位置矢量r，質(zhì)點(diǎn)的速度v和加速度a,作用力F和力矩M,質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量p和角動(dòng)量L、電流密度J,電偶極矩p,磁偶極矩m,電場(chǎng)強(qiáng)度E,磁感應(yīng)強(qiáng)度B,磁場(chǎng)矢勢(shì)A，等等都是矢量.2階張量(tow

4、order tensor)，在3維空間中，由32 = 9個(gè)分量構(gòu)成有序集合.例如，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,電四極矩,等.3階張量，在3維空間中，由33 = 27個(gè)分量構(gòu)成有序集合.矢量表示印刷用黑體字母，如 r , A 書(shū)寫(xiě)在字母上方加一箭頭，如 正交坐標(biāo)系的基矢量正交坐標(biāo)系(如直角坐標(biāo)系,球坐標(biāo)系,柱坐標(biāo)系)基矢量的正交性可表示為 (1.1)一般矢量A有三個(gè)獨(dú)立分量A1，A2，A3，故可寫(xiě)成 (1.2)矢量的乘積兩個(gè)矢量的標(biāo)積與矢積，三個(gè)矢量的混合積與矢積分別滿足 (1.3) (1.4) (1.5) (1.6)并矢量與二階張量?jī)蓚€(gè)矢量A和B并置構(gòu)成并矢量 (1.7)它有9個(gè)分量和9個(gè)基，一般地.三維

5、空間二階張量也有9個(gè)分量，它的并矢量形式與矩陣形式分別為 (1.8) (1.9)張量的跡是其主對(duì)角線全部元素(分量)之和： (1.10)單位張量的并矢量形式與矩陣形式分別是 (1.11) (1.12)因此(.1)式中的符號(hào)實(shí)際上是單位張量的分量.對(duì)稱(chēng)張量與反對(duì)稱(chēng)張量 若，稱(chēng)之為對(duì)稱(chēng)張量，它有6個(gè)獨(dú)立分量，若對(duì)稱(chēng)張量的跡為零，則它只有5個(gè)獨(dú)立分量.單位張量是一個(gè)特殊的對(duì)稱(chēng)張量. 若，稱(chēng)之為反對(duì)稱(chēng)張量，由于，反對(duì)稱(chēng)張量只有3個(gè)獨(dú)立分量.任何張量均可寫(xiě)成一個(gè)對(duì)稱(chēng)張量與一個(gè)反對(duì)稱(chēng)張量之和，即，只需使，.二階張量與矢量點(diǎn)乘，結(jié)果為矢量.由(.1)式，有 (1.13) (1.14)一般地 . 但單位張量與

6、任何矢量點(diǎn)乘，均給出原矢量： (1.15)并矢量與并矢量、或二階張量與二階張量雙點(diǎn)乘，結(jié)果為標(biāo)量.運(yùn)算規(guī)則是先將靠近的兩個(gè)矢量點(diǎn)乘，再將另兩個(gè)矢量點(diǎn)乘： (1.16)2 矢量和張量分析（1）算符和物理量在空間中的分布構(gòu)成“場(chǎng)”(field).表示“場(chǎng)”的物理量一般地是空間坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，也可能有間斷點(diǎn)，甚至?xí)衅纥c(diǎn).例如:溫度T、靜電勢(shì)的分布都構(gòu)成標(biāo)量場(chǎng)；電流密度J、電場(chǎng)強(qiáng)度E、磁感應(yīng)強(qiáng)度B、磁場(chǎng)矢勢(shì)A的分布都構(gòu)成矢量場(chǎng).是對(duì)場(chǎng)量作空間一階偏導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的矢量算符，是二階齊次偏導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的標(biāo)量算符，即拉普拉斯算符.在直角坐標(biāo)系中 ， (2.1)三個(gè)基矢量均是常矢量.（2）標(biāo)量場(chǎng)的梯度(gradien

7、t of a scalar field)標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的梯度 (2.2)是一個(gè)矢量，它在數(shù)值上等于沿其等值面的法向?qū)?shù)，方向沿增加的方向，即 (2.3)例如靜電勢(shì)的分布是一個(gè)標(biāo)量場(chǎng),即變成矢量場(chǎng)靜電場(chǎng).（3）矢量場(chǎng)的散度(divergence of a vector field)矢量場(chǎng)通過(guò)某曲面通量(flux)定義為 (2.4)其中是曲面某點(diǎn)附近的面積元矢量，方向沿曲面的法向.對(duì)于閉合曲面(closed surface)，規(guī)定的方向沿曲面的外法向.對(duì)于矢量場(chǎng)中包含任一點(diǎn)的小體積，其閉合曲面為，定義極限 (2.5)為矢量場(chǎng)A在該點(diǎn)的散度，它是標(biāo)量.在直角坐標(biāo)系中 (2.6)若, 則該點(diǎn)散度，該點(diǎn)就

8、是矢量場(chǎng)A的一個(gè)源點(diǎn)；若，則該點(diǎn)散度，該點(diǎn)不是矢量場(chǎng)A的源點(diǎn).若處處均有，就稱(chēng)為無(wú)散場(chǎng)(或無(wú)源場(chǎng))，它的場(chǎng)線必定是連續(xù)而閉合的曲線.磁場(chǎng)就是無(wú)散場(chǎng)(solenoidal field).高斯定理(Gaussl theorem) 對(duì)任意閉合曲面及其包圍的體積，下述積分變換定理成立 (2.7)由此推知，若是無(wú)散場(chǎng)，即處處有，則場(chǎng)通過(guò)任何閉合曲面的凈通量均為零.（4）矢量場(chǎng)的旋度(curl of a vector field)矢量場(chǎng)沿閉合路徑(closed contour)的積分稱(chēng)為沿的環(huán)量(circulateon)，其中是路徑的線元矢量.若對(duì)任意閉合路徑，均有 (2.8)則稱(chēng)為保守場(chǎng)（conserv

9、ative field）.當(dāng)閉合路徑所圍成的面積元是某點(diǎn)的無(wú)限小鄰域，我們約定：路徑積分的繞行方向即dl的方向，與其所圍成的面積元的法向成右手螺旋關(guān)系，并定義極限 (2.9)為矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的旋度在方向的分量.在直角坐標(biāo)系中 (2.10)它是矢量.按上述約定若，則線在該點(diǎn)周?chē)纬捎沂譁u旋；若，則線在該點(diǎn)周?chē)纬勺笫譁u旋；若，線在該點(diǎn)不形成渦旋.如果所有點(diǎn)上均有,A就稱(chēng)為無(wú)旋場(chǎng).例如靜電場(chǎng)就是無(wú)旋場(chǎng)(irrotational field).斯托克斯定理(stokes theorem) 對(duì)任意的閉合路徑所圍的曲面，下述積分變換成立 (2.11)（5） 矢量場(chǎng)的幾個(gè)定理標(biāo)量場(chǎng)的梯度必為無(wú)旋場(chǎng)： (2.

10、12)【證】對(duì)任意標(biāo)量場(chǎng)的梯度取旋度，可得， ，逆定理：無(wú)旋場(chǎng)必可表示成某一標(biāo)量場(chǎng)的梯度，即若,必可令例如對(duì)于靜電場(chǎng)強(qiáng)度，就可用標(biāo)勢(shì)的負(fù)梯度描寫(xiě): .矢量場(chǎng)的旋度必為無(wú)散場(chǎng)： (2.13)【證】逆定理：無(wú)散場(chǎng)必可表成另一矢量場(chǎng)的旋度，即若 , 必可令例如對(duì)于磁感應(yīng)強(qiáng)度，就可用矢勢(shì)的旋度描寫(xiě).（6）算符運(yùn)算標(biāo)量函數(shù)的梯度是矢量，矢量函數(shù)f的散度是標(biāo)量，旋度是矢量，而是二階張量： (2.14)若和是標(biāo)量函數(shù)，f和g是矢量函數(shù)，有 (2.15) (2.16) (2.17) (2.18) (2.19) (2.20) (2.21) (2.22)上述運(yùn)算不必采用化成分量的方法進(jìn)行，只要抓住算符的微分作用及

11、其矢量性質(zhì)，便可快捷準(zhǔn)確地寫(xiě)出結(jié)果.當(dāng)作用于兩個(gè)函數(shù)的乘積（或兩個(gè)函數(shù)之和）時(shí)，表示它對(duì)每一個(gè)函數(shù)都要作微分運(yùn)算，可以先考慮對(duì)第一個(gè)量的作用，并將這個(gè)量記為的下標(biāo)，以示算符只對(duì)此量執(zhí)行微分運(yùn)算，第二個(gè)量則視為常數(shù)，再考慮對(duì)第二個(gè)量的作用，此時(shí)亦將第二個(gè)量記為的下標(biāo)，第一個(gè)量則視為常數(shù)；必須注意的是，算符不能與其微分運(yùn)算對(duì)象掉換次序.例如(2.16)式，是對(duì)矢量求散度，故運(yùn)算結(jié)果的每一項(xiàng)都必須是標(biāo)量，我們有又如(2.20)式，是對(duì)標(biāo)量求梯度，結(jié)果的每一項(xiàng)都必須是矢量，先把它寫(xiě)成再根據(jù)三矢量的矢積公式(1.6)式，但結(jié)果中必須體現(xiàn)對(duì)的微分作用，以及對(duì)的微分作用，故有右方所得結(jié)果中第二項(xiàng)實(shí)際上是，第

12、四項(xiàng)是.（7）積分變換 （高斯定理） (2.23.) (2.24) （斯托克斯定理） (2.25)（格林公式） (2.26)（格林公式） (2.27)3 函數(shù)一維函數(shù)定義為 (3.1) ，當(dāng) (3.2)主要性質(zhì)為：為偶函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)；又若函數(shù)在附近連續(xù)，有，當(dāng) (3.3)這一性質(zhì)由中值定理可以證明.三維函數(shù)定義為 (3.4)，當(dāng)在V內(nèi) (3.5)因此，位于的單位點(diǎn)電荷的密度可表示為. (4.3)式可推廣到三維情形，若函數(shù)在附近連續(xù)，便有，當(dāng)在V內(nèi) (3.6)4.球坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系當(dāng)坐標(biāo)變化時(shí)，三個(gè)基矢的方向保持不變.常用的微分運(yùn)算表達(dá)式為 (4.1) (4.2) (4.3)

13、(4.4)曲線正交坐標(biāo)系任一點(diǎn)的坐標(biāo)也可用曲線正交坐標(biāo)系描述，沿三個(gè)坐標(biāo)增加方向的基矢量互相正交，隨著坐標(biāo)變化，一般地三個(gè)基矢量的取向?qū)?huì)改變.無(wú)限小線元矢量、坐標(biāo)的標(biāo)度系數(shù)，以及微分算符分別為 (4.5) (4.6) (4.7) (4.8)球坐標(biāo)系，；，.三個(gè)基矢，的方向均與坐標(biāo)和有關(guān)，而與無(wú)關(guān).與直角坐標(biāo)系基矢的變換為 (4.9) (4.10)坐標(biāo)變換為， (4.11)常用的微分運(yùn)算表達(dá)式為 (4.12) (4.13) (4.14) (4.15)立體角元、球面積元與體積元分別為 (4.16) (4.17) (4.18)柱坐標(biāo)系，； ，.三個(gè)基矢量， ，中，和的方向均與坐標(biāo)有關(guān)，則為常矢量.與直角坐標(biāo)系基矢的變換為 (4.19) (4.20)坐標(biāo)變換為， (4.21)常用的微分運(yùn)算表達(dá)式為 (4.22) (4.23) (4.24) (4.25)體積元為 (4.26)例1設(shè)是空間坐標(biāo)的函數(shù)，證明： (1) (2) (3)【證】對(duì)于，注意到，有在直角坐標(biāo)系中將矢量A寫(xiě)成分量形式，便可證明(2)式和(3)式.例2從源點(diǎn)（即電荷電流分布點(diǎn)）到場(chǎng)