122_加減消元法

1、二元一次方程組的解法二元一次方程組的解法本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容1.21.2.2 加減加減消元法消元法 如何解下面的二元一次方程組如何解下面的二元一次方程組？ 23 = 1 23 =5 x+ yx y- -， . . -探究探究 我們可以用學(xué)過(guò)的我們可以用學(xué)過(guò)的代入消元法來(lái)解這個(gè)方程代入消元法來(lái)解這個(gè)方程組，得組，得=1= 1xy - -，. . 還有沒(méi)有更簡(jiǎn)單的解法呢？還有沒(méi)有更簡(jiǎn)單的解法呢？ 我們知道解二元一次方程組的關(guān)鍵是消去一我們知道解二元一次方程組的關(guān)鍵是消去一個(gè)未知數(shù)個(gè)未知數(shù)，使方程組轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元一次方程使方程組轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元一次方程. 分析方程分析方程和和，可以發(fā)現(xiàn)未知數(shù)可以發(fā)現(xiàn)未知數(shù)

2、x的系數(shù)相同的系數(shù)相同， 23 = 1 23 =5 x+ yx y- ， . . - -2x + 3y = - -12x - - 3y = 56y = - -6- -因此只要把這兩個(gè)方程的兩邊分別相減因此只要把這兩個(gè)方程的兩邊分別相減， 就可以消去其就可以消去其中一個(gè)未知數(shù)中一個(gè)未知數(shù)x，得到一個(gè)一元一次方程得到一個(gè)一元一次方程.即即- -，得得2x+3y- -( (2x- -3y) )= - -1- -5 ，6y = - -6，解得解得 y = - -1. .把把y=- -1代入代入式式，得得2x+3( (- - 1) )= - -1，解得解得 x = 1.因此原方程組的解是因此原方程組的解

3、是 23 = 1 23 =5 x+ yx y- ， . . - -=1= 1xy- -把把y=- -1代入代入式可以嗎式可以嗎？把y=-1 代入式可以嗎？把y=-1 代入式可以嗎？ 解上述方程組時(shí)解上述方程組時(shí)，在消元的過(guò)程中在消元的過(guò)程中，如果把如果把方程方程與方程與方程相加相加，可以消去一個(gè)未知數(shù)嗎可以消去一個(gè)未知數(shù)嗎？做一做做一做例例3 解解二元一次方程二元一次方程組：組：舉舉例例 73 = 1 23 = 8 x+ y xy , , . . - -解解+ + ，得得7x+3y+2x- -3y=1+8 , , 9x = 9. 解得解得 x = 1 73 = 1 23 = 8 x+ y xy

4、 , , . . - -把把x=1代入代入式式 ，得得 71+3y = 1因此原方程組的解是因此原方程組的解是= 1 = 2xy, ,. .- -解得解得 y = - -2分析分析: 因?yàn)榉匠桃驗(yàn)榉匠?、中中y的系數(shù)相反，用的系數(shù)相反，用 + +即即可消去未知數(shù)可消去未知數(shù)y. 兩個(gè)二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相同兩個(gè)二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相同或相反時(shí)，把這兩個(gè)方程相減或相加，就能消去或相反時(shí)，把這兩個(gè)方程相減或相加，就能消去這個(gè)未知數(shù)，從而得到一個(gè)一元一次方程，這種這個(gè)未知數(shù)，從而得到一個(gè)一元一次方程，這種解方程組的方法叫做解方程組的方法叫做加減消元法加減消元法，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱加減法加減

5、法.例例4 用加減法解二元一次方程組：用加減法解二元一次方程組：舉舉例例 23 = 11 65 = 9x+ y xy - - -, , . . 23 = 11 65 = 9x+ y xy - - -, , . . 分析分析：這兩個(gè)方程中沒(méi)有同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)這兩個(gè)方程中沒(méi)有同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同或相反，直接加減這兩個(gè)方程不能消去任相同或相反，直接加減這兩個(gè)方程不能消去任一個(gè)未知數(shù)一個(gè)未知數(shù). 但如果把但如果把式兩邊都乘式兩邊都乘3，所得方程與方，所得方程與方程程中中x的系數(shù)相同，這樣就可以用加減的系數(shù)相同，這樣就可以用加減法來(lái)解法來(lái)解. .解解3 ，得得 6x+9y = - -33. 解得解得

6、 y = - -3把把y=- -3代入代入式式，得得 2x+3(-(-3) )=- -11因此原方程組的一個(gè)解是因此原方程組的一個(gè)解是= 1 = 3xy- - -, ,. .解得解得 x = - -1- - ，得得 - -14y = 42. 做一做做一做 在例在例4中中，如果先消去如果先消去y應(yīng)如何解應(yīng)如何解？會(huì)與上述會(huì)與上述結(jié)果一致嗎結(jié)果一致嗎？練習(xí)練習(xí)用加減法解二元一次方程組用加減法解二元一次方程組： 1234 2= 2 52 = 11 23 = 18 53 = 4 24 = 34 32 = 8 65 = 47 52 =31 x+ y a bx+ ya+ bx ym+ n mnx+ y-

7、- - -） ） ） ） , , ,； . . , , ,； . . （2= 21 23 =18 x+ yx+ y, , ） - - -（= 3 = 4xy, ,. .- -解解: + ，得得 4y=16解得解得 y=4把把y=4代入代入，得，得 2x+4=- -2解得解得 x=- -3因此原方程組的解是因此原方程組的解是52 = 112 5 +3 = 4 a bab- - -, , ） （= 1 = 3ab- -, ,. .解解: - - ，得得 - -5b=15解得解得 b=- -3把把b=- -3代入代入，得，得 5a- -2( (- -3) )=11解得解得 a=1因此原方程組的解是因

8、此原方程組的解是32 = 83 65 = 47 m+ n mn-, , ） （= 2 = 7mn- - , ,. .解解: 2，得得 6m+4n=16 - -，得得 9n=63解得解得 n=7把把n=7代入代入 ，得，得 3m+27= 8解得解得 m =- -2因此原方程組的解是因此原方程組的解是24 = 34 4 52 =31 x yx+ y- -, , ） （= 8 = 92- -xy, ,. .解解: 2，得得 10 x+ +4y=62 + ，得得 12x=96解得解得 x=8把把x=8代入代入 ，得，得 28- -4y=34因此原方程組的解是因此原方程組的解是解得解得9=2y- - 加

9、減消元法和代入消元法是解二元一次方程加減消元法和代入消元法是解二元一次方程組的兩種方法，它們都是通過(guò)消去其中一個(gè)未知組的兩種方法，它們都是通過(guò)消去其中一個(gè)未知數(shù)數(shù)（消元消元），使二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次，使二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，從而求解，只是消元的方法不同方程，從而求解，只是消元的方法不同. 我們可以根據(jù)方程組的具體情況來(lái)靈活選擇我們可以根據(jù)方程組的具體情況來(lái)靈活選擇適合它的消元方法適合它的消元方法.例例5 解二元一次方程組：解二元一次方程組：舉舉例例 = 25223 = 4 m n m+ n - -, , . . 解解10 ，得得 2m- -5n=20. 解得解得 n = -

10、 -2 = 2 5223 = 4 m n m+ n - -, , . . 把把n=- -2代入代入式式，得得 2m+3( (- -2) )=4因此原方程組的解是因此原方程組的解是=5 = 2mn- -, ,. .分析分析:方程方程與方程與方程不能直接消去不能直接消去m或或n， 在方程在方程的兩邊都乘的兩邊都乘10，去分母得，去分母得2m- -5n= 20，使得兩個(gè)方程中未知數(shù)，使得兩個(gè)方程中未知數(shù)m的系數(shù)相同，然后的系數(shù)相同，然后用加減法來(lái)解用加減法來(lái)解.解得解得 m = 5- -，得得 3n- -( (- -5n) )=4- -20. 例例6 解解二元一次方程方程組：組：舉舉例例 34 =

11、8 43 = 1 x+ y x+ y - -, , . . 解解4 ，得得 12x+16y=32. 解得解得 y = 5 34 = 8 43 = 1 x+ y x+ y , , . . - -把把y=5代入代入式式，得得 3x+45=8因此原方程組的解是因此原方程組的解是= 4 = 5xy, ,. .- -分析分析: :為了使方程組中兩個(gè)方程的未知數(shù)為了使方程組中兩個(gè)方程的未知數(shù)x的系數(shù)相的系數(shù)相同同（或相反或相反），可以在方程，可以在方程的兩邊都乘的兩邊都乘4解得解得 x = - -43 ，得得 12x+9y=- -3. - - ，得得 16y- -9y=32- -( (- -3) ). 在

12、方程在方程的兩邊都乘的兩邊都乘3，然后將這兩個(gè)，然后將這兩個(gè)方程相減，就可將方程相減，就可將x消去消去.你能用代入法解例你能用代入法解例6的方程組嗎的方程組嗎？ 34 = 8 43 = 1 x+ y x+ y - -, , . . 例例7 在方程在方程 y=kx+b中，當(dāng)中，當(dāng)x=1時(shí)，時(shí)，y=- -1； 當(dāng)當(dāng)x=- -1時(shí)，時(shí)，y =3. 試求試求k和和b的值的值.舉舉例例分析分析 把把x，y的兩組值分別代入的兩組值分別代入y=kx+b中，可中，可 得到一個(gè)關(guān)于得到一個(gè)關(guān)于k，b的二元一次方程組的二元一次方程組. .+ +， 得得 2 = 2b, ,解得解得b = 1.把把b=1 代入代入式

13、，式， 得得k = - - 2 .所以所以k = - - 2 ，b = 1 .解解 根據(jù)題意得根據(jù)題意得 1= 3 = k+b k+b- - -, , . . 練習(xí)練習(xí)1. 解下列二元一次方程組：解下列二元一次方程組： 122132 = 5 25 = 24 52 =31 3 = 6 x+ y x yx+ yxy- - -） ） , , ,. . ； （21 = 5 32 1 3 = 6 x+y xy- -, , ； （ ）解解6 ，得得 4x+ +3y=30. 因此原方程組的解是因此原方程組的解是36= 52= 5xy, ,. .+ +，得得 x+4x- -3y+3y=6+30. 解得解得36

14、= 5x 36= 5x 把把 代入代入式式，得得36365y=- -解得解得2= 5y 25 = 24 2 52 =31 x yx+ y- -, , ） （= 7 = 2xy, ,. .- -解解: 5，得得 10 x- -25y=120 2，得得 10 x +4y = 62 - - ，得得 - -29y=58解得解得 y=- -2把把y=- -2代入代入 ，得，得 2x- -5( (- -2) )= 24解得解得 x =7因此原方程組的解是因此原方程組的解是2. 已知已知 和和 都是方程都是方程y = ax + b的解，的解， 求求a，b的值的值.= 1 = 0 xy- - , , = 2

15、=3 xy, , - -， 得得 - -3 = - -3a, ,解得解得a = 1.把把a(bǔ)=1 代入代入式，式， 得得b = 1 .所以所以a = 1 ，b = 1 .解解 根據(jù)題意得根據(jù)題意得 0= 3 =2 - -a+b a +b, , . . 中考中考 試題試題例例1 方程組方程組 的解是的解是 （ ）3 =4 23 = 1x+ yxy，-+得得 3x = 3， x=1解析解析3 =4 23 = 1 x+ yxy， -B把把x=1代入代入得得 y = 1,=1 =1 . xy， 所以原方程組的解為所以原方程組的解為故選故選B.= 1=1= 2= 2A B C D= 1=1=2= 1xxxx. . . . yyyy-中考中考 試題試題 解方程組解方程組 2 =2 32 =10 x+yx y